文档内容
几何-直线型几何-毕克定理-2 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
毕克定理 B 1.了解格点图形的概念。 少考
2.熟悉毕克定理并且能够应用毕克
定理解决相关的格点面积。
知识提要
毕克定理
概念
格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上．
正方形格点和毕克定理
一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”．
水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”．
L
毕克定理： S=N+ -1
2
其中，N 表示多边形内部格点数，L 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．
三角形毕克定理
L 1
S=(N+ -1)×2=2N+L-
2 2
其中，N 表示多边形内部格点数，L 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．
精选例题
毕克定理
1. 如下图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃
烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的
面积为 平方厘米．【答案】 56.5
【分析】 通过分割和格点面积公式可得小马总面积为 56.5 个正方形，即面积为
56.5 平方厘米．
2. 在平面上，用边长为 1 的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点（又
称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形．最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个
顶点之外．内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形．如右图所示的格点三角形
BRS．每一个格点多边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形．那么，右图中的格点
六边形 EFGHKB 可以划分为 个本原格点三角形．【答案】 36
【分析】 根据格点面积公式：
格点多边形面积=多边形内部格点数+多边形一周的格点数÷2-1,
可得面积：
15+8÷2+1=18,
每个本原格点三角形最小面积是
1 1
1×1× = ,
2 2
所以可以划分为本原格点三角形的个数为
1
18÷ =36(个).
2
3. 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为 ．
12
【答案】
11
【分析】 连接 AD、CD、BC．则可根据格点面积公式，可以得到 △ABC 的面积为：
4
1+ -1=2,
2
△ACD 的面积为：
3
3+ -1=3.5,
2
△ABD 的面积为：
4
2+ -1=3.
2
所以
BO:OD =S :S
△ABC △ACD
¿ =4:7,
所以
4
S = ×S
△ABO 4+7 △ABD
12
¿ = .
11
4. 如图，水平相邻和竖直相邻的两个格点间的距离都是 1，则图中阴影部分的面积是
．
【答案】 17
【分析】 根据毕克定理，正方形格点图算面积：
面积=内部点+边界点÷2-1.
内部点：8 个；
边界点：20 个；
所以面积：
8+20÷2-1=17.5. 下图中正六边形的面积为 24 平方米，其中 A、B、C 都是所在边的中点，D 是 BC 的
三等分点，阴影部分的面积是 平方米．
【答案】 5
【分析】将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成 24 个面积为 1 平方米的正三角
形，根据毕克公式，内部点 n=2，边上点 b=3，则阴影的面积为：(2+3÷2-1)×2=5（平
方米）．
6. 图中由 16 个 1×1 的小正方形组成，图中 △ABC 的面积是 ．
【答案】 7
【分析】 法一：毕克定理．
由正方形格点下的毕克定理可知：
面积=内点数+边点数÷2-1.
那么 △ABC 的面积为：
6+4÷2-1=7.
法二：图形分割．
△ABC 和另外三个边外的三角形恰好组成一个正方形；
因此 △ABC 的面积为：
4×4-(4×2÷2)-(2×3÷2)-(4×1÷2)=7.
7. 如图，已知相邻两个格点距离为 1，计算这个格点多边形的面积是多少？【答案】 10
【分析】 方法一：利用割补．三角形包含在 4×6 的长方形中，所以利用整体减部
分，所以图中三角形面积是 4×6-2×4÷2-2×4÷2-2×6÷2=10．
6
方法二：利用毕克定理，N:8 个，L:6 个，S=8+ -1=10．
2
8. 下图是由 8 个边长为 1 厘米的正方形所组成，共有 15 个格点．请以这 15 个格点中的
3 个为顶点作一个面积为 3.5 平方厘米的三角形．
【答案】【分析】 方法一：总面积为 1×1×8=8（平方厘米），所以需要去掉 8-3.5=4.5
（平方厘米），如上图所示，图中三角形 ABC 的面积是 3.5 平方厘米．
方法二：根据格点图形面积的计算公式，三角形的面积是 3.5 平方厘米，则三角形的边上和
内部应该各有三个格点，同样能作出如图所示图形．
9. 如图，计算各个格点多边形的面积是多少？（水平方向或竖直方向的两个相邻格点距离是
1）．
【答案】 16；15；10；15；12
【分析】 图（1），是正方形数格点距离边长是 4，所以面积为
4×4=16(单位面积)；
图（2），长方形长是 5，宽是 3，所以面积为 5×3=15(单位面积)；
图（3），三角形的面积是 5×4÷2=10(单位面积)；
图（4），平行四边形面积是 5×3=15(单位面积)；图（5），梯形面积是 (3+5)×3÷2=12(单位面积)．
10. 如图，如果每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米．四边形 ABCD 和三角形 EFG
的面积分别是多少平方厘米？
【答案】 20 平方厘米，10 平方厘米
【分析】 四边形 ABCD 中，N:9 个，L:4 个，毕克定理可知
( 4 )
S = 9+ -1 ×2=20(平方厘米);
四边形ABCD 2
在三角形 EFG 中，N:4 个，L:4 个，
( 4 )
S = 4+ -1 ×2=10(平方厘米).
三角形EFG 2
11. 已知相邻两个格点距离为 1，分别计算图中两个格点多边形的面积是多少？
【答案】 9；10
【分析】 方法一：利用割补．左图包含在 3×4 的长方形中，所以利用整体减部分，
所以左图面积是 3×4-1×3÷2-1×3÷2=9；右图包含在 4×4 的正方形中，所以右图的
面积是 4×4-2×1÷2-1×1÷2-3×3÷2=10．8
方法二：利用毕克定理，在左图中 N:6 个，L:8 个，左图的面积是 S=6+ -1=9；在右
2
10
图中 N:6 个，L:8 个，右图的面积是 S=6+ -1=10．
2
12. 如图，每个小正方形的面积均为 2 平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米？
【答案】 19 平方厘米
( 7 )
【分析】 阴影部分的面积为： 7+ -1 ×2=19(平方厘米)．
2
13. 如图，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．
计算三角形 ABC 的面积是多少？
【答案】 10
【分析】方法一：利用割补，将 ABC 分割成四个三角形，易得 S ，S =2，S =3，
△≝¿=1¿ △ACD △AEB
S =4，所以 S =1+2+3+4=10．
△FBC △ABC
( 4 )
方法二：毕克定理，N:4 个，L:4 个，所以 S = 4+ -1 ×2=10．
△ABC 2
14. 如图，是一个漂亮礼盒的平面图，已知相邻两个格点距离为 1，请求出图形的面积是多少？
【答案】 21
【分析】 方法一：利用割补，图中长方形的面积是 2×6=12，左边三角形我们可以
把它包含在一个 4×4 的方阵中如下左图，用总面积减去其他三角形的面积，所以左边三角
形面积是 4×4-3×4÷2-1×2÷2-2×4÷2=5，右边三角形同理包含在一个 4×5 的长方
形中，所以右边三角形的面积是 4×5-(1+5)×4÷2-4×1÷2-4×1÷2=4，所以礼盒的总
面积是 12+5+4=21．方法二：利用毕克定理，略．
15. 如图，如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平
方厘米？
【答案】 20
【分析】 方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：
(2N+L-2)×单位正三角形面积
其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．
有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：
(9×2+4-2)×1=20(平方厘米).
方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有 10 个，而将不完整的小正三角
形分成 4 部分计算，其中 ① 部分对应的平行四边形面积为 4，所以 ① 部分的面积为 2，
②、③、④ 部分对应的平行四边形面积分别为 2，8，6，所以 ②、③、④ 部分的面积分别
为 1，4，3．所以粗实线内图形的面积为
10+2+1+4+3=20(平方厘米).
16. 如图，计算图形面积是多少？（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形）【答案】 12
【分析】 方法一：利用分割法，将原四边形分割成两个三角形 ABC 和 ABD，
ABC 是单位三角形 CEF 面积的 4 倍，从而面积是 4．同理 ABD 的面积是单位三角形
CEF 的 8 倍，所以面积是 8，因此四边形面积是 4+8=12．
( L )
方法二：利用三角形毕克定理：S= N+ -1 ×2，N:5 个，L:4 个，所以面积是
2
(5+4÷2-1)×2=12．
17. 如图，相邻两个格点的距离都是 1，“乡村小屋”的面积是多少？
【答案】 18
【分析】 方法一：利用割补，图形是由 18 个单位正方形组成的，所以面积是 18．
20
方法二：利用毕克定理，N:9 个，L:20 个，S=9+ -1=18．
218. 如图，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是 m，若四边形 ABCD 的面积是
23，求五边形 EFGHI 的面积．
【答案】 28
【分析】 根据毕克定理：
S=a+b÷2-1,
有
(10+5÷2-1)×m2=23,
有
m2=2;
所以五边形 EFGHI 的面积是
(12+6÷2-1)×2=28.
19. 求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形）．
【答案】 19；19；18；21
【分析】 方法一：分割法，略．
方法二：毕克定理，图（1）N:7 个，L:7 个，S=(7+7÷2-1)×2=19；
图（2）N:8 个，L:5 个，S=(8+5÷2-1)×2=19；
图（3）N:7 个，L:6 个，S=(7+6÷2-1)×2=18；
图（4）N:8 个，L:7 个，S=(8+7÷2-1)×2=21．20. 已知相邻两个格点距离为 1，求下列各个格点多边形的面积是多少？
【答案】 15；20
【分析】 利用毕克定理，图（1）N:10 个，L:12 个，面积是 10+12÷2-1=15；
图（2）N:16，L:10，面积是 16+10÷2-1=20．
21. 计算图形面积是多少？（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形）
【答案】 24
【分析】 利用毕克定理．N:8 个，L:10 个，S=(8+10÷2-1)×2=24．
22. 计算下图面积并完成表格．（每个小正方形面积是 1）【答案】 见解析
【分析】
23. 计算下面各图形面积是多少？（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形）【答案】 22；23
【分析】 利用毕克定理．图（1），N:7 个，L:10 个，S=(7+10÷2-1)×2=22；
图（2），N:5，L:15，S=(5+15÷2-1)×2=23．
24. 如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘
米？
【答案】 6.5
【分析】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：
L
(N+ -1)×单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．
2
有 N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：
7
(4+ -1)×1=6.5(平方厘米)
2
方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，
有
①=3÷2=1.5②=2÷2=1③=2÷2=1④=2÷2=1⑤=2÷2=1⑥=2÷2=1
还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为
1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,
而整个格点阵所围成的图形的面积为 16，所以粗线围成的图形的面积为：
16-9.5=6.5(平方厘米).
25. 如图，中相邻两个格点的距离都是 1，图中三个图形的面积分别是多少？【答案】 3；11；5.5
【分析】 方法一：利用割补，第一个图“喇叭”的面积是 3；第二个图“狗”的面积
是 11；第三个图“猫”的面积是 5.5．
L
方法二：利用毕克定理，S=N+ -1．用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的
2
格点，S 表示多边形面积．
内部点 边上点 正方形个数
0+8÷2-1=3¿狗¿2¿20¿2+20÷2-1=11¿猫¿0¿13¿0+13÷2-1=5.5¿
喇叭 0 ¿
