文档文本内容
义
务
教
育
教
科
书
数
学
九
年
级
下
册
湖
南
教
育
出
版
社
湖南教育出版社
定价：9.90 元
全国优秀教材二等奖
义务教育教科书
数学
S
H
U
X
U
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九年级下册
批准文号：湘发改价费规〔2022〕449 号
ࢶళ教育 Ӳ ม
九年级下册
义务教育教科书
数学
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义
务
教
育
教
科
书
数
学
九
年
级
下
册
主 编：严士健 黄楚芳
执行主编：丘维声
副 主 编：赵雄辉 胡 旺
编 委：肖果能 袁宏喜 胡伟红
理性之光照亮数学之旅
亲爱的同学们：
过去两年多的数学旅程早已将我们在数学天空中飞翔的双翼锻炼得
坚实有力. 未来，在越来越广阔和复杂的探索中，我们更需要理性之光
的照耀与引领.
在本书中，我们将学习
“二次函数”，通过建立函数模型、研究二
次函数的性质以及应用，我们会体会到：生活中有数学，数学在生活中
有用. 在“圆” 中，
我们将通过观察、探索、猜想并论证这一思维方
式来学习圆的诸多性质，丰富对“最美的平面图形” 的认识. 在“投影
与视图” 中，我们将从生活中的影子出发逐步展开对投影的认识，并借
助投影来认识视图，还将知道如何运用最合理的投影方法来反映物体的
全貌. 在“概率” 中，我们将了解到现实世界除了有确定性现象外，还
有许多随机现象，而学习概率将帮助我们更好地认识随机现象中隐含的
规律. 在这里，我们将通过大量的有趣案例、数学试验来理解概率的意
义，并解决一些简单的实际问题.
当然，在我们同行的路途中，
“综合与实践”
“IT 教室”
“数学与
文化” 都不容错过，因为任何缜密的思维，只有在通往实践的过程中，
才具备非凡的价值. 在这里，我们将感受到数学的威力与无穷魅力！
要学好这些内容，需要我们充满信心，养成良好的学习习惯，克服
许许多多的困难. 要善于回忆学过的知识与方法，并找到适合自己的数
学学习方法. 同学们可以依照书中的栏目设置，多“观察”
“探究”
“动脑筋”
“说一说”
“做一做”
“议一议”，多动手试一试，从熟悉的
生活事例中认识数学，把数学应用到你的生活中去，不断提高自己探索
问题的能力.
同学们，党的二十大报告明确指出：“教育、科技、人才是全面建
设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑.必须坚持科技是第一生
产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人
才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发
1
展新动能新优势.” 数学学科作为现代科学技术的基石，是我们攀登未
来科学高峰的攻城锤与脚手架，重要性不言而喻.作为祖国未来的建设
者与接班人，让我们共同举起理性的火把，探索奇妙、优美的数学世
界，努力使自己成为合格的社会主义建设者和接班人，成为担当民族复
兴大任的时代新人吧！
2
第1 章
二次函
!!!!!!!!!!!!!!
数
1
1.1
二次函
!!!!!!!!!!!!!!!
数
2
1.2
二次函数的图象与性
!!!!!!!!!
质
5
*1.3
不共线三点确定二次函数的表达
!!!
式
21
1.4
二次函数与一元二次方程的联
!!!!
系
24
1.5
二次函数的应
!!!!!!!!!!!
用
29
IT 教室
用计算机研究二次函数的图象与性质! 33
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
35
综合与实践
汽车能通过隧道吗？
!!!!!! 40
第2 章
圆
!!!!!!!!!!!!!!! 42
2.1
圆的对称
!!!!!!!!!!!!!
性
43
2.2
圆心角、圆周
!!!!!!!!!!!
角
47
*2.3
垂径定
!!!!!!!!!!!!!!
理
58
2.4
过不共线三点作圆
!!!!!!!!!! 61
2.5
直线与圆的位置关
!!!!!!!!!
系
64
2.6
弧长与扇形面
!!!!!!!!!!!
积
77
2.7
正多边形与
!!!!!!!!!!!!
圆
83
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
87
数学与文化
圆的再认
!!!!!!!!!
识
92
目录
Contents(
1
第3 章
投影与视
!!!!!!!!!!!!!
图
94
3.1
投
!!!!!!!!!!!!!!!
影
95
3.2
直棱柱、圆锥的侧面展开图
!!!!! 101
3.3
三视
!!!!!!!!!!!!!!!
图
105
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
114
第4 章
概
!!!!!!!!!!!!!!
率
118
4.1
随机事件与可能
!!!!!!!!!!
性
119
4.2
概率及其计
!!!!!!!!!!!!
算
124
4.3
用频率估计概
!!!!!!!!!!!
率
134
IT 教室
用计算机模拟掷硬币试
!!!!!
验
140
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
141
数学与文化
漫谈小概率事
!!!!!!!
件
145
数学词汇汉英对照
!!!!!!!!!!!!!!!!
表
147
后
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
记
１４８
2
第1 章
二次函数
二次函数
物体运动的轨迹并不总是呈直线形的，有时会成为一条
曲线.例如在跳水比赛中，运动员在空中划过一道优美的曲
线，像这样的曲线与我们将要学习的二次函数的图象很相似.
那么什么是二次函数呢？二次函数的图象有什么特征？
二次函数具有哪些性质？学完本章知识，你将能回答上述问
题，并能运用二次函数的知识去解决一些实际问题.
第章
1
1
数学
九年级下册
二次函数
1.1
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如图
1-1 所示. 已知篱笆墙的总长度为
100 m，设与围墙相邻的一面篱笆
墙的长度为x（m），那么矩形植物园
的面积Ｓ（m2）与x 之间有何关系？
图1－１
由于与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为ｘｍ，可知，与围墙相对的一面篱
笆墙的长度为（１００－２ｘ）ｍ．于是矩形植物园的面积Ｓ与ｘ之间有如下关系：
Ｓ＝ｘ（１００－２ｘ），０＜ｘ＜５０，
即
Ｓ＝－２ｘ２＋１００ｘ，０＜ｘ＜５０.
①
①式表示植物园面积Ｓ与围墙相邻的一面篱笆墙长度x 之间的关系，而且
对于x 的每一个取值，S 都有唯一确定的值与它对应，即S 是x 的函数.
某型号笔记本电脑两年前的销售价为６０００元. 现降价销售，若每年的
平均降价率为ｘ，怎样用ｘ来表示该型号电脑现在的售价y（元）？
为什么有0 < x < 50？
笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的（1-x）倍，于是我们得到售价
ｙ与平均降价率x 之间有如下的关系：
ｙ＝６０００（１－ｘ）２，０＜ｘ＜１，
即
ｙ＝６０００ｘ２－１２０００ｘ＋６０００，０＜ｘ＜１.
②
②式表示两年后的售价y 与平均降价率x 之间的关系，而且对于x 的每一
个取值，y 都有唯一确定的值与它对应，即y 是x 的函数.
2
第1 章
二次函数
像①、②式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这
样的函数称为二次函数（ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），它的一般形式是
其中ｘ是自变量，ａ，ｂ，ｃ分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数
和常数项.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但在实际问题中，它的自变量
的取值范围会有一些限制．例如，上面第一个例子中，０＜ｘ＜５０，在第二个例
子中，０＜ｘ＜1 .
例1
例
如图1-2，一块矩形木板，长为120 cm、宽
为80 cm，在木板4 个角上各截去边长为x（cm）的正方
形，求余下面积S（cm2）与x 之间的函数表达式.
分析
本问题中的数量关系是：
木板余下面积= 矩形面积- 截去面积.
解
木板余下面积S 与截去正方形边长x 有如下函数关系：
S = 120 × 80 - 4 × x2 = - 4x2 + 9 600 ，0 ＜x ≤40 .
3.
①式与②式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？
练习
写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数，
哪些是反比例函数．
（１）正方形的面积Ｓ关于它的边长ｘ的函数；
（２）圆的周长C 关于它的半径ｒ的函数；
（３）圆的面积Ｓ关于它的半径ｒ的函数；
（４）当菱形的面积Ｓ一定时，它的一条对角线的长度ｙ关于另一条对角
线的长度ｘ的函数．
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）.
图1－2
3
数学
九年级下册
习题1.1
A 组
１郾下列函数中，哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例
函数？
（１）ｙ＝３ｘ＋１；
（2）ｙ＝３ｘ２＋２ｘ＋１；
（３）ｙ＝３ｘ２＋１；
（４）ｙ＝－３ｘ２＋ｘ；
（５）ｙ＝１
３ｘ；
（６）ｙ＝１
３ｘ２．
2郾一长方体水池深２ｍ，底面矩形的周长为８ｍ，设底面一边长为ｘ（ｍ），
水池的容积为ｙ（ｍ３），求ｙ关于ｘ的函数表达式.
3郾如图，一块矩形田地长100 m，宽80 m，
现计划在田地中修2 条互相垂直且宽度为x（m）的
小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为y（m2），求
y 关于x 的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
B 组
4. 如图为一隧道的截面示意图，它的上部是一个半圆，下部是一个矩
形，且矩形的竖直的边长为２．５ｍ. 设隧道截面积为Ｓ（m2），截面半圆的半径为
r（m），试写出Ｓ关于ｒ的函数表达式．
（第4题图）
（第3题图）
2.5 m
4
第1 章
二次函数
! ! 可以证明y = x2 的图象关于y 轴对称；图象在y 轴右边的部分，函数值随
自变量取值的增大而增大，简称为“右升” .
二次函数的图象与性质
1.2
我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个
二次函数的图象呢？
列表：对于二次函数y = ｘ２，其自变量ｘ可以取任意实数. 因此让x 取0
和一些互为相反数的数，并且算出相应的函数值，列成下表：
描点：在平面直角坐标系内，以x 取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐
标，描出相应的点. 如图1-3.
图1-3
画二次函数ｙ＝ｘ２的图象．
观察图1-3，点A与点A′，点B与点B′，
…，它们有什么关系？取更多的点试试，你能
得出函数y = x2 的图象关于y轴对称吗？
观察图1-3，y 轴右边描出的各点，当横
坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的
所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大
的特点吗？
…!!!!!9
4
1
０
1
4
9
…
ｙ＝ｘ２
ｘ
…
－３!!!!－２
－１
０
１
２
３
…
5
数学
九年级下册
从图1-4 中可以看出，二次函数ｙ＝ｘ２的图象是一条曲线，它的开口向
上，对称轴与图象的交点是原点（0，0）；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，
简称为
“左降”；
当ｘ＝0 时，函数值最小，最小值为0．
一般地，当ａ＞０时，ｙ＝ａｘ２的图象都具有上述性质．于是我们画ｙ＝ａｘ２
（ａ＞０）的图象时，可以先画出图象在ｙ轴右边的部分，然后利用对称性，画出
图象在ｙ轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线” 三个步骤．
例1 画二次函数ｙ＝１
２ｘ２的图象．
解
因为二次函数y = １
２ｘ２的图象关于y 轴对称，因此列表时，自变量ｘ
可以从原点的横坐标0 开始取值.
列表：
连线：根据前面的分析，我们可以用
一条光滑曲线把原点和y 轴右边各点顺次
连接起来；然后利用对称性，画出图象在
y 轴左边的部分（把y 轴左边的点和原点
用一条光滑曲线顺次连接起来）. 这样就得
到了ｙ＝ｘ２的图象，如图1－4．
观察图1-4，函数ｙ＝ｘ２的图象除了具有关于y 轴对称和“右升” 外，
还具有哪些性质？
图1－4
!!!!!!!ｘ
０
!!１
２
３
…
ｙ＝１
２ｘ２
０
１
２
2
9
２
…
ｙ＝ｘ２
6
第1 章
二次函数
图1－5
利用对称性，画出图象在ｙ轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把ｙ轴左
边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了ｙ＝１
２ｘ２的图象. 如图1－5（2）.
练习
１郾画出二次函数ｙ＝6ｘ２的图象，并填空：
（１）图象的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，对称轴与图象的交点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（２）图象的开口向＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而＿＿＿＿＿＿；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而＿＿＿＿_＿＿．
2. 在同一直角坐标系中画出二次函数ｙ＝3ｘ２及ｙ＝１
４ｘ２的图象，并比较
它们的共同点与不同点.
我们已经会画ｙ＝１
２ｘ２的图象，能不能从它得出二次函数ｙ＝－１
２ｘ２的
图象呢？
描点和连线：画出图象在ｙ轴右边的部分．如图1－5（１）．
（１）
（2）
ｙ＝１
2 ｘ２
7
数学
九年级下册
在ｙ＝１
２ｘ２!的图象上任取一点Ｐａ，
１
２ａ２
２
"，它关于ｘ轴的对称点Ｑ的坐
标是ａ，－１
２ａ
２
"
２，如图1－6 所示. 从点Q 的
坐标看出，点Ｑ在ｙ＝－１
２ｘ２的图象上．由
此可知，ｙ＝－１
２ｘ２的图象与ｙ＝１
２ｘ２的图
象关于ｘ轴对称. 因此只要把ｙ＝１
２ｘ２的
图象沿着ｘ轴翻折并将图象“复制” 出
来，就可以得到ｙ＝－１
２ｘ２的图象，如图
1－6 的绿色曲线．
观察图1-6，函数ｙ＝－１
２ｘ２的图象具有哪些性质？
图1－6
ｙ＝- １
2 ｘ２
ｙ＝１
2 ｘ２
从图1-6 中可以看出，二次函数ｙ＝- １
２ｘ２的图象是一条曲线，它的开口
向下，图象的对称轴是y 轴，对称轴与图象的交点是原点（0，0）；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为
“左升”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为
“右降”；
当ｘ＝0 时，函数值最大，最大值为0．
一般地，当ａ＜０时，ｙ＝ａｘ２的图象都具有上述性质．于是我们画ｙ＝ａｘ２
（ａ＜０）的图象时，可以先画出图象在ｙ轴右边的部分，然后利用对称性，画
出图象在ｙ轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线” 三个
步骤.
8
第1 章
二次函数
例2 画二次函数ｙ＝－１
４ｘ２的图象．
解
列表：自变量ｘ从原点的横坐标0 开始取值.
描点和连线：
画出图象在ｙ轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在ｙ轴左边的部分.
这样就得到了ｙ＝－１
４ｘ２的图象，如图1－7．
! ! ｘ
０
１
２
３
４
…
ｙ＝－１
４ｘ２
０
－１
４
－１
－９
４
－４
! ! ! ! ! …
如图1-8，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函
数ｙ＝ａｘ２（ａ< 0）的图象相像吗？
以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向
水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如
ｙ＝ａｘ２（ａ＜０）的图象的一段．由此受到启发，我们把形如二次函数ｙ＝ａｘ２的图
象这样的曲线叫作抛物线（ｐａｒａｂｏｌａ），简称为抛物线ｙ＝ａｘ２．
图1－7
ｙ＝- １
4 ｘ２
图1－8
9
数学
九年级下册
一般地，二次函数ｙ＝ａｘ２
的图象关于ｙ轴对称，抛物线
与它的对称轴的交点（0，0）叫
作抛物线ｙ＝ａｘ２的顶点.
练习
1郾画出二次函数ｙ＝－１０ｘ２的图象，并填空：
（１）抛物线的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（２）抛物线的开口向＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
2.在同一直角坐标系中画出二次函数ｙ＝-0.3 ｘ２与ｙ＝-8 ｘ２的图象，并比
较它们的共同点与不同点.
把二次函数ｙ＝１
２ｘ２的图象Ｅ向右平移１个单位，得到图形Ｆ，如图1-9.
图1－9
意大利著名科学家伽利略将炮弹发射经过
的路线命名为“抛物线” .
10
第1 章
二次函数
在抛物线ｙ＝１
２ｘ２上任取一点Ｐａ，
１
２ａ
ａ
"
２，那么在向右平移１个单位后，
点Ｐ的像点Ｑ的坐标是什么？
记ｂ＝ａ+１，则ａ＝ｂ-１，从而点Ｑ的坐标为ｂ，１
２（ｂ- １）
ａ
"
２. 这表明：点Ｑ
在函数ｙ＝１
２（ｘ-１）２的图象上．由此得出，抛物线Ｆ是函数ｙ＝１
２（ｘ-１）２的图象．
从上面的过程可以说明：函数ｙ＝１
２（ｘ- １）２的图象是抛物线Ｆ，它的开口向
上，顶点是Ｏ′（１，０），对称轴是过点Ｏ′（１，０）且平行于ｙ轴的直线ｌ′．直线ｌ′
是由横坐标为１的所有点组成的，我们把直线ｌ′ 记作直线ｘ＝1．
类似地，我们可以证明下述结论：
二次函数ｙ＝ａ（ｘ- h ）２的图象是抛物线，它的对称轴是直线
ｘ＝h ，它的顶点坐标是（h，０）．当ａ＞０时，抛物线的开口向上；当
ａ＜０时，抛物线的开口向下．
把点Ｐ的横坐标ａ加上１，纵坐标１
２ａ２不变，
就得到像点Ｑ的坐标为ａ+ １，
１
２ａ
ａ
"
２．
! ! ! ! ! ! ! 原
像
像
抛物线Ｅ：ｙ＝１
２ｘ２
图形Ｆ也是抛物线
Ｅ的顶点Ｏ（０，０）
Ｆ的顶点是点Ｏ′（１，０）
Ｅ的对称轴是直线ｌ（与ｙ轴重合）
Ｆ的对称轴是直线ｌ′（过点Ｏ′且与ｙ轴平行）
Ｅ开口向上
Ｆ开口向上
抛物线F 是哪个函数的图象呢？
由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E 在向右平移１个单位后：
11
数学
九年级下册
由于我们已经知道了二次函数ｙ＝ａ（ｘ- h ）２的图象的性质，因此今后在
画ｙ＝a（ｘ- h ）２的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然
后利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．!在画图象的右边部分时，只需
“列表、描点、连线” 三个步骤.
例3 画函数ｙ＝（ｘ－２）２的图象．
解
抛物线ｙ＝（ｘ－２）２的对称轴是直线ｘ＝２，顶点坐标是（２，０）．
列表：自变量ｘ从顶点的横坐标２开始取值．
描点和连线：
画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在对称轴
左边的部分．
这样就得到了ｙ＝（ｘ－２）２的图象，
如图1-10．
图1－10
练习
1郾写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
（１）ｙ＝１
３（ｘ－５）２；
（２）ｙ＝－３（ｘ＋２）２.
2郾分别画出二次函数ｙ＝- （ｘ- 1）２，y = １
2 （x + 1）2 的图象.
!!!!ｘ
２
３
４
５
…
ｙ＝（ｘ－２）２
０
１
４
９
…
ｙ＝（ｘ- 2 ）２
12
第1 章
二次函数
如何画二次函数ｙ＝１
２（ｘ- １）２+ ３的图象？
图1－11
我们先来探究二次函数ｙ＝１
２（ｘ- １）２+ ３与ｙ＝１
２（ｘ- １）２之间的关系．
从上表看出：对于每一个给定的x 值，函数ｙ＝１
２（ｘ- １）２+ 3 的值都要比
函数ｙ＝１
２（ｘ- １）２的值大3，由此可见函数ｙ＝１
２（ｘ- １）２+ 3 的图象可由二
次函数ｙ＝１
２（ｘ- １）２的图象向上平移３个单位而得到（如图1-11）．因此，二
次函数ｙ＝１
２（ｘ- １）２+ ３的图象也是抛物线，它的对称轴为直线ｘ＝１（与抛物
线ｙ＝１
２（ｘ- １）２的对称轴一样），顶点坐标为（１，３）（它是由抛物线ｙ＝１
２（ｘ-１）２
的顶点（１，０）向上平移３个单位得到的），它的开口向上．
ｙ＝１
２（ｘ- １）２
ｙ＝１
２（ｘ- １）２+ ３
二次函数
图象上的点
横坐标ｘ
!!!!!!!!!!ｙ＝１
２（ｘ- １）２
ａ
１
２（ａ- １）２
ｙ＝１
２（ｘ- １）２+ ３
ａ
１
２（ａ- １）２+ ３
纵坐标y
13
数学
九年级下册
图1－12
描点和连线：
画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在对称轴左边
的部分．这样就得到了ｙ＝１
２（ｘ＋１）２－３
的图象，如图1－12．
ｙ＝１
２（ｘ+ １）２- ３
! ! ! ! ｘ
ｙ＝１
２（ｘ＋１）２－３
－１
－３
0
－2.5
1
-1
2
1.5
3
5
…
…
一般地，二次函数y = a （x - h ）2+ k 的图象是抛物线，它具有下述性质：
由于我们已经知道了二次函数ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 的图象的性质，因此画
ｙ＝ａ（ｘ- h ）２＋k 的图象的步骤如下：
第一步
写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，
描出顶点；
第二步
列表（自变量ｘ从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图
象在对称轴右边的部分；
第三步
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左
边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）．
例4 画二次函数ｙ＝１
２（ｘ＋１）２－３的图象．
解
对称轴是直线ｘ＝－１，顶点坐标为（－１，－３）．
列表：自变量ｘ从顶点的横坐标－１开始取值．
（h，k）
（h，k）
x = h
a ＜0
抛物线y = a （x - h ）2+ k
对称轴
x = h
a ＞0
顶点坐标
开口方向
性
质
向下
y 随x 的增大
而增大
y 随x 的增大
而减小
向上
在对称轴的左边在对称轴的右边
y 随x 的增大
而减小
y 随x 的增大
而增大
14
第1 章
二次函数
1郾写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：
（１）ｙ＝２
５（ｘ－９）２＋７；
（２）ｙ＝－１
３（ｘ＋１８）２－１３．
2郾画出二次函数ｙ＝－2 （ｘ－2 ）２＋３的图象.
3郾已知某抛物线的顶点坐标为（-3，2），且经过点（-1，0），求这个抛物线
所表示的二次函数的表达式.
如何画二次函数ｙ＝－２ｘ２＋6ｘ- 1 的图象？
由于我们已经会画y = a （x - h ）2+ k
的图象了，因此只需把－２ｘ２＋6ｘ－１配
方成- ２（x - h ）２＋k 的形式就可以了.
练习
例5
已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y 轴相交于点（0，4），
求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
解
由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函
数的表达式为ｙ＝a （ｘ+ 2 ）２+ 1 .
由函数图象过点（0，4），可得
4 ＝a （0 + 2 ）２+ 1 ，
解得
a = ３
4 .
因此，所求的二次函数的表达式为
y = ３
4 （ｘ+ 2 ）２+ 1 = ３
4 ｘ２+ 3ｘ+ 4 .
15
数学
九年级下册
配方：
ｙ＝－２ｘ２＋６ｘ－１
＝－２!ｘ２－３
!
"
ｘ
－１
＝－２ｘ２－３ｘ＋－３
２
!
"
２
－－３
２
!
"
２
２
$－１
＝－２ｘ－３
２
!
"
２
＋２× ９
４－１
＝－２ｘ－３
２
!
"
２
＋７
２．
故对称轴是直线ｘ＝３
２，顶点坐标是
３
２，
７
２
!
"．
列表：自变量ｘ从顶点的横坐标３
２开始取值.
观察图1－１3，当ｘ等于多少时，函数ｙ＝－２ｘ２＋６ｘ－１的值最大？这个最
大值是多少？
图1－13
可利用计算机和数学软
件来画任意一个二次函数的
图象．
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到了函数ｙ＝－２ｘ２＋
６ｘ－１的图象，
如图1－13．
ｙ＝－２ｘ２＋６ｘ－１
ｙ＝－２ｘ－３
２
!
"
２
＋７
２
ｘ
３
２
２
５
２
３
７
２
…
…
－１
－９
２
３
２
３
７
２
16
第1 章
二次函数
例6 求二次函数ｙ＝－１
２ｘ２＋２ｘ－１的最大值．
解
配方：ｙ＝－１
２ｘ２＋２ｘ－１
＝－１
２（ｘ２－４ｘ＋２２－２２）－１
＝－１
２（ｘ－２）２＋１
２× ４－１
＝－１
２（ｘ－２）２＋１．
顶点坐标是（２，１），于是当ｘ＝２时，ｙ达到最大值１．
一般地，对于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ进行配方：
y = ax2 + bx + c
= a ｘ+ b
2a
a
"
２+ 4ac - b2
4a
，
顶点坐标是（- b
2a ，4ac - b2
4a
）.
因此，当ｘ= - b
2a 时，函数达到最大值（ａ＜０）或最小值（ａ＞０）：4ac - b2
4a
.
当ｘ等于顶点的横坐标３
２时，函数值最
大，这个最大值等于顶点的纵坐标７
２．
一般地，有下述结论：
二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，当ｘ等于顶点的横坐标时，达到最大值（ａ＜０）或最
小值（ａ＞０），这个最大（小）值等于顶点的纵坐标．
17
数学
九年级下册
练习
１郾写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们
的图象.
（1）ｙ＝3ｘ２－6ｘ+ １；
（2）ｙ＝－1
4 ｘ２+ ｘ+ 1 ．
2郾求下列二次函数图象的顶点坐标：
（1）ｙ＝ｘ２－３ｘ＋２；
（2）ｙ＝－1
3 ｘ２－2ｘ+ 1 ．
3郾用配方法求第２题中各个二次函数的最大值或最小值．
习题1.2
A 组
１郾画出下列二次函数的图象：
（１）ｙ＝２ｘ２；
（２）ｙ＝－3ｘ２；
（3）ｙ＝－2
3 ｘ２；
（4）ｙ＝3
４ｘ２.
2郾写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并画出它们的图象.
（1）ｙ＝－1
4 ｘ２＋3 ；
（2）ｙ＝1
2 ｘ２- 4 ；
（3）ｙ＝７ｘ－３
４
４
"
２
；
（4）ｙ＝- １
2 （ｘ+ 2 ）２.
3郾写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们的
图象.
（1）ｙ＝１
3 （ｘ＋３）２－２；
（2）ｙ＝2 （ｘ- ３）２+ 5 ；
（3）ｙ＝－３ｘ＋４
５
４
"
２
－６；
（4）ｙ＝- １
2 （ｘ- 2 ）２+ 1 .
18
第1 章
二次函数
4郾已知某抛物线的顶点坐标为（2，3），且与y 轴相交于点（0，1），求这个
抛物线所表示的二次函数的表达式.
5郾写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并画出它们的图象.
（1）ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋１；
（2）ｙ＝－１
２ｘ２＋２ｘ＋3 ；
（3）ｙ＝－３ｘ２＋９ｘ－５；
（4）ｙ＝ｘ２－５ｘ＋７.
6. 二次函数y ＝2x2－8x ＋6 的图象大致是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
7郾用配方法求下列二次函数的最大值或最小值：
（１）ｙ＝ｘ２＋１０ｘ－７；
（２）ｙ＝－ｘ２＋5ｘ＋２；
（３）ｙ＝１
５ｘ２－２ｘ＋３；
（４）ｙ＝－２
３ｘ２＋２ｘ－６．
B 组
8郾在二次函数ｙ＝１
２ｘ２的图象上任取一点Ｐａ，１
２ａ
ａ
"
２
．
（１）点Ｐ关于ｙ轴的对称点Ｑ的坐标是什么？
（２）点Ｐ关于ｙ轴的对称点Ｑ在ｙ＝１
２ｘ２的图象上吗？为什么？
（３）从第（２）小题的结论得出，ｙ＝１
２ｘ２的图象关于哪条直线对称？
9. 填空：
对于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ．
（１）当ａ＞０时，图象的开口向＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，对称轴为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，顶
点坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿. 当ｘ＜＿＿＿＿＿＿＿时，y随x 的增大而减小；当x ＞＿＿＿＿＿＿＿时，
y 随x 的增大而增大；当ｘ= ＿＿＿＿＿＿＿＿时，y 取最＿＿＿＿＿＿＿＿.
19
数学
九年级下册
（第10 题图）
（２）当ａ＜０时，图象的开口向＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，对称轴为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，顶点
坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿．当ｘ＜＿＿＿＿＿＿＿时，y随x 的增大而增大；当x ＞＿＿＿＿＿＿＿时，
y 随x 的增大而减小；当ｘ= ＿＿＿＿＿＿＿＿时，y 取最＿＿＿＿＿＿＿＿.
10. 为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜
品种，助推村民增收致富. 该村销售员李平根据往年的销售情况，对今年该村种
植的一种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图所示，图中的抛物线（部
分）表示这种蔬菜每千克销售价与月份之间的关系. 观察图象，你能得到关于
这种蔬菜销售情况的哪些信息？
20
第1 章
二次函数
*1.3
不共线三点确定二次函数的表达式
我们学习过用待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的表达式是y =
kx + b ，只要求出k 和b 的值，就可以确定一次函数的表达式.
二次函数的表达式是y = ax2 + bx + c （ａ≠０），因此，要确定这个表达式，
就需要求出a，b，c 的值.
与一次函数相类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标（也就是函
数的三组对应值），将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c
的三元一次方程组，求出a，b，c 的值，就可以确定二次函数的表达式.
例1 已知一个二次函数的图象经过三点（1，3），（-1，-5），（3，-13），
求这个二次函数的表达式.
解
设该二次函数的表达式为y = ax2 + bx + c .
将三个点的坐标（1，3），（-1，-5），（3，-13）分别代入函数表达式，得
到关于a，b，c的三元一次方程组：
a + b + c = 3 ，
a - b + c = - 5 ，
9a + 3b + c = - 13 ，
，
$
#
$
%
解得
a = -3 ，b = 4 ，c = 2 .
因此，所求的二次函数的表达式为y = -3x2 + 4x + 2 .
例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；
（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）.
解
（1）设有二次函数y = ax2 + bx + c ，它的图象经过P，Q，R 三点，则
鄢
本节为选学内容.
21
数学
九年级下册
得到关于a，b，c的三元一次方程组：
a+ b + c = -5，
a - b + c = 3 ，
4a + 2b + c = -3，
，
#
"
#
$
解得
a = 2 ，b = -4，c = -3.
因此，二次函数y = 2x2 - 4x - 3 的图象经过P，Q，R 三点.
（2）设有二次函数y = ax2 + bx + c 的图象经过P，Q，M 三点，则得到关于
a，b，c 的三元一次方程组：
a + b + c = -5，
a - b + c = 3 ，
4a + 2b + c = -9
，
#
"
#
$
，
解得
a = 0 ，b = -4，c = -1.
因此一次函数y = -4x - 1 的图象经过P，Q，M 三点. 这说明没有一个这
样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M 三点.
例2 中，两点P（1，-5），Q（-1，3）确定了一个一次函数y = - 4x - 1 .
点R（2，-3）的坐标不适合y = - 4x - 1 ，因此点R 不在直线PQ 上，即
P，Q，R 三点不共线.
点M（2，-9）的坐标适合y=-4x-1，因此点M 在直线PQ 上，即P，Q，M
三点共线.
例2 表明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以
确定一个二次函数；而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数.
可以证明：二次函数y = ax2 + bx + c 的图象上任意三个不同的点都不在一
条直线上. 还可以证明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不
等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.
22
第1 章
二次函数
练习
已知二次函数y = ax2+ bx + c 的图象经过三点A（0，2），B（1，3），
C（－1，－1），求这个二次函数的表达式.
求当x = 1 时，y 的函数值.
3郾已知二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标分别是x1=-3，x2=1，且与
y 轴的交点为（0，-2），求这个二次函数的表达式.
B 组
4郾已知二次函数的图象经过一次函数y ＝-x + 3 的图象与x 轴、y 轴的交点，
且过点（1，1），求这个二次函数的表达式.
5郾已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
（1）P（1，6），Q（2，11），R（-1，14）；
（2）P（1，6），Q（2，11），M（-1，-4）.
x
y
- 4
- 3
- 2
3
5
3
习题1.3
A 组
１郾已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过三点A（-1，0），B（0，2），C（2，0），
求这个二次函数的表达式.
２郾已知二次函数y = ax2 + bx + c 中的部分自变量x 与所对应的函数值y 如
下表：
23
数学
九年级下册
画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x 轴的交点吗？
二次函数y = x2- 2x - 3 与一元二次方程x2- 2x - 3 ＝0 有怎样的关系？
二次函数与一元二次方程的联系
1.4
图1－14
图1－15
观察二次函数y = x2- 6x + 9，y = x2- 2x + 2
的图象（如图1-15），分别说出一元二次方程
x2- 6x + 9＝0 和x2- 2x + 2＝0 的根的情况.
ｙ＝ｘ２- 2x - ３
如图1-14，二次函数y = x2 - 2x - 3 的图象与x 轴
的交点坐标分别是（-1，0），
（3，0）. 由交点坐标可
知，当x ＝-1 时，y ＝0 ，即x2 - 2x - 3 ＝0 ，也就是说，
x ＝-1 是一元二次方程x2- 2x - 3 ＝0 的一个根.
同理，当x ＝3 时，y ＝0 ，即x2 - 2x - 3 ＝0 ，也就
是说，x ＝3 是一元二次方程x2- 2x - 3 ＝0 的一个根.
一般地，如果二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x
轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次
方程ax2 + bx + c ＝0 有两个不相等的实根x ＝x1，x ＝x2.
ｙ＝ｘ２- 2x + 2
ｙ＝ｘ２- 6x + 9
24
第1 章
二次函数
例1 求一元二次方程ｘ２－２ｘ－１＝０的根的近似值（精确到０郾１）．
分析
一元二次方程ｘ２－２ｘ－１＝０的根就是抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－１与ｘ轴的
交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与ｘ轴
的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．
解
设二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ－１.
作出二次函数y = x2 - 2x - 1 的图象，如图
1－16．可以发现抛物线与x 轴的一个交点在-1 和
0 之间，另一个交点在2 和3 之间.
通过观察或测量，可得抛物线与ｘ轴的交
点的横坐标约为－０郾４或２郾４，即一元二次方程
x2- 2x - 1 = 0 的实数根为x1 ≈- 0.4，x2 ≈2.4．
图1－16
ｙ＝ｘ２－２ｘ－１
二次函数y = x2- 2x + 2 的图象与x 轴没有交
点，而一元二次方程x2- 2x+ 2＝0 没有实数根.
二次函数y = x2 - 6x + 9 的图象与x 轴有重合
的两个交点，其坐标都是（3，0），而一元二次方
程x2- 6x+ 9 ＝0 有两个相等的实根：x1＝3，x2= 3.
一般地，二次函数y = ax2 + bx + c 的图象与x 轴的位置关系有三种：有两个
不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2 + bx +
c ＝0 的根的三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实数
根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象
与x 轴的位置关系.
从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切. 那么解一元
二次方程能不能借助二次函数呢？求一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的根就是求
二次函数y = ax2 + bx + c 在y = 0 时，自变量x 的值，也就是二次函数图象与x
轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.
由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.
25
数学
九年级下册
我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 将二次函数y = x2 -
2x - 1 在-1 至0 范围内的部分x 值所对应的y 值列表如下：
可以发现，当x = - 0.5 时，y = 0.25 ＞0；
而当x = - 0.4 时，y = - 0.04 ＜0.
结合图象可以看出，使y = 0 的x 的值一定在- 0.5 与- 0.4 之间，即- 0.5 ＜
x ＜- 0.4.
题目只要求精确到0.1，这时取x = - 0.4 或x = -0.5 作为所求的根均满足
要求. 但当x = - 0.4 时，y = - 0.04，比当x = - 0.5 时，y = 0.25 更接近于0，因
此选x = - 0.4.
同理，借助计算器，我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为x = 2.4.
例2
如图1-17，李东在扔铅球
时，铅球沿抛物线y = - x2
10 + 6
10 x + 8
5
运行，其中x 是铅球离初始位置的水平
距离，y 是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2郾1 m
时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2郾5 m，若能达到，求此时铅球离初始位
置的水平距离.
（3）铅球离地面的高度能否达到3 m？为什么？
解
（1）由抛物线的表达式得
2郾1 ＝- x2
10 + 6
10 x + 8
5 ，
即
x2- 6x + 5 = 0 ，
解得
x1 = 1，x2= 5.
即当铅球离地面的高度为2郾1 m 时，它离初始位置的水平距离是1 m 或5 m.
你能结合图1-17指出，
为什么在不同的水平距离，
铅球的高度均为2郾1 m？
图1-17
x
y
-1
2
- 0.9
1.61
- 0.8
1.24
- 0.7
0.89
- 0.6
0.56
- 0.5
0.25
- 0.4
- 0.04
- 0.3
- 0.31
- 0.2
- 0.56
- 0.1
- 0.79
0
- 1
26
第1 章
二次函数
（2）由抛物线的表达式得
2郾5 ＝- x2
10 + 6
10 x + 8
5 ，
即
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2- 6x + 9 = 0 ，
解得
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x1= x2= 3.
当铅球离地面的高度为2郾5 m 时，它离初始位置的水平距离是3 m.
（3）由抛物线的表达式得
3 = - x2
10 + 6
10 x + 8
5 ，
即
! ! ! ! ! ! ! ! ! x2- 6x + 14 = 0 ，
因为驻＝（- 6 ）2 - 4 × 1 × 14 = - 20 < 0 ，所以方程无实数根.
所以铅球离地面的高度不能达到3 m.
从例2 可以看出，已知二次函数y =ax2+bx +c 的某一个函数值y =M，求对
应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2 + bx + c = M ，这样，二次函数与
一元二次方程就紧密地联系起来了.
练习
１郾试判断下列抛物线与ｘ轴的交点情况：
（１）ｙ＝ｘ２－ｘ－２；
（２）ｙ＝９ｘ２＋１２ｘ＋４；
（３）ｙ＝ｘ２－２ｘ＋3 ．
2郾用图象法求一元二次方程ｘ２＋ｘ－１＝０的根的近似值（精确到０郾１）．
3郾某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从
亏损到赢利的过程. 如图，已知y = 1
2 x2 - 2x
刻画了该公司年初以来累积利润y （万元）与销
售时间x（月份）之间的关系. 试根据图象提供的
信息，回答下列问题：
（1）该公司亏损期是几个月？几月末开始
赢利？
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30
万元；
（3）该公司第8 月末所获利润是多少？
（第3题图）
27
数学
九年级下册
习题1.4
A!组
1. 试判断下列抛物线与ｘ轴的交点情况：
（１）y ＝4ｘ２+ 12ｘ＋5 ；
（２）ｙ＝ｘ２＋2ｘ＋1 ；
（3）y ＝ｘ２- 3ｘ＋1 ；
（4）ｙ＝2ｘ２＋3ｘ＋2 .
2郾用图象法求一元二次方程２ｘ２－２ｘ－３＝０的根的近似值（精确到０郾１）．
3郾求抛物线ｙ＝２ｘ２－２ｘ＋５上纵坐标为9 的点的横坐标．
B 组
4郾当t 取什么值时，抛物线y = 5x2 + 4tx + t2 - 1 与x 轴有一个交点？
5郾如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿
抛物线y = - 1
5 x2 + 3.5 运行，然后准确落入篮筐
内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m．
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手时离地
面的高度为2.25 m，请问他距篮筐中心的水平
距离是多少米？
（第5题图）
28
第1 章
二次函数
二次函数的应用
1.5
拱桥的纵截面是抛物线的一部分，应当是某个二次函数的图象，因此可以
建立二次函数模型来刻画.
为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为ｙ
轴，建立直角坐标系，如图1-19．由于顶点坐标是
（0，0），因此这条抛物线的形式为ｙ＝ａｘ２.
已知水面宽４ｍ时，拱顶离水面高２ｍ，因此点
Ａ（２，－２）在抛物线上．由此得出
－２＝ａ·２２，
解得
ａ＝－１
２．
因此，这个函数的表达式是ｙ＝－１
２ｘ２，其中!ｘ是水面宽度的一半，ｙ
是拱顶离水面高度的相反数．这样我们从水面宽度的变化情况可以了解到拱顶
离水面高度的变化情况．
由于拱桥的跨度为４郾９ｍ，因此自变量ｘ的取值范围是：－２．４５≤ｘ≤２．４５．
想一想，当水面宽4.6 m 时，拱顶离水面几米？
如图1-18，一座拱桥的纵截面是
抛物线的一部分，拱桥的跨度是４.9 ｍ，
当水面宽４ｍ时，拱顶离水面２ｍ. 若想
了解水面宽度变化时，拱顶离水面高
度怎样变化，你能建立函数模型来解
决这个问题吗？
图1－18
图1-19
29
数学
九年级下册
图1－14
如图1-14，用8 m 的铝材做成一个日字形窗框. 试问：
窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S 最大？最大
面积是多少？（假设铝材的宽度不计）
由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的面积S 随矩形一边长的变化而
变化. 因此设窗框的宽为x m，则窗框的高为8 - 3x
２
m，其中0 < x < 8
3 .
则窗框的透光面积为
S = x·8 - 3x
２
= －3
２x2 + 4x ，0 < x < 8
3 .
将上式进行配方，
S ＝- ３
２x2+ 4x = - ３
２
ｘ- ４
3
3
"
２
+ 8
3 .
当x = 4
3 时，S 取最大值8
3 .
这时高为8-3× 43
2 =2（m）.
则当窗框的宽为43m，高为2m时，窗框的透光面积最大，最大透光面积
为83m2!.
图1－20
如图1-20，用8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试
问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S（m2）最
大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的
图象和性质求解
实际问题的解
要考虑x ＝4
3 是不是在
自变量x的取值范围内.
30
第1 章
二次函数
例1
例
某网络玩具店引进一批进价为20 元/ 件的玩具，如果以单价30 元
销售，那么一个月内可售出180 件. 根据销
售经验，提高销售单价会导致销售量的下
降，即销售单价每上涨1 元，月销售量将相
应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该
店能在一个月内获得最大利润？
解
设每件商品的销售单价上涨x 元，一个月内获取的商品总利润为y 元.
每月减少的销售量为10 x（件），实际销售量为180 - 10 x（件），单件利润
为（30 + x - 20 ）元，则
y = （10 + x ）（180 - 10x ），
即
y = - 10x2+ 80x + 1 800 （0 ≤x ≤18 ）.
将上式进行配方，
y = - 10x2+ 80x + 1 800
＝- 10 （x - 4 ）2+ 1 960.
当x = 4 时，即销售单价为34 元时，y 取最大值1 960.
答：当销售单价定为34 元时，该店在一个月内能获得最大利润1 960元.
练习
1郾如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高
150 m，主塔之间的距离为900 m，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线
形桥所对应的二次函数表达式.
2郾小妍想将一根72 cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她
要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？
（第1 题图）
31
数学
九年级下册
A 组
1. 如图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高OA 为1 m，栅栏的跨
径BC 间有5 根间距为0.5 m 的立柱. 试建立适当的直角坐标系，求出该拱形栅
栏所对应的二次函数表达式，并求出立柱DE 的高度.
2. 如图，用长为18 m 的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃.
（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y 关于x 的函数表达式；
（2）当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
3. 某工艺厂设计了一款成本为10元/ 件的产品，并投放市场进行试销.
经过调查，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）存在一次函数关系
y = - 10x + 700 .
（1）销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大？最大利润为多少？
（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过35 元，那么销售单
价如何定位才能获取最大利润？
B!组
4. 如图，正方形EFGH的顶点在边长为2 的正方形
ABCD的边上，若设AE ＝x ，正方形EFGH的面积为y.
（1）求y 关于x 的函数表达式.
（2）正方形EFGH有没有最小面积？若有，试确定E
点的位置；若没有，试说明理由.
5郾如图，某跳水运动员在进行10 m 跳台比赛时，身
体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，已知
该运动员在离跳台的水平距离为1 m 处达到最高点，高
度为1 m，试建立适当的直角坐标系，求该抛物线的表
达式.
习题1.5
（第4题图）
（第2题图）
（第1题图）
（第5题图）
32
第1 章
二次函数
用计算机研究二次函数的图象与性质
图1
图2
图3
第1 章二次函数
在本章，我们采用描点法画出了二次函数的图象，并研究其性质.
下面，我们借助计算机软件来绘制二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象，并
研究其性质.
（1）打开计算机软件，选择【工具栏】中
的【自定义工具】，在弹出的菜单中选择【滑
块工具】，如图1. 点击【基本的水平滑块】，在
工作区出现一条线段，就得到参数a，如图2
所示. 任意拖动“a” 点，可以改变参数“a” 的
大小. 同理，可得参数b，c .
（2）同时选择参数a，b，c，选择【绘图】菜单中的【绘制新函数】
命令，如图3，在弹出的【新建函数】对话框中，输入“a*x^2 + b*x + c ”，
如图4. 点击“确定” 按钮，就可以得到二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象，
如图5. 任意拖动参数a，b，c至给定的常数，我们可以得到任意给定的二
次函数的图象.
33
数学
九年级下册
（3）任意拖动参数，观察二次函数的图象发生了怎样的变化. a的变化
对函数图象有什么影响？你能得出什么结论？同样，分别拖动参数b，c，
观察图象又会发生怎样的变化.
同时，我们可以利用作出的二次函数的图象来求得一元二次方程的根
的近似值. 例如，当抛物线与x 轴有交点时，在工具栏中选择“点工具”，
构造出两个（或一个）交点，测量出交点的横坐标，如图6，这样就得到
相应的一元二次方程的根的近似值.
请同学们用软件绘制二次函数ｙ＝ｘ２- 2ｘ- 3和ｙ＝- ｘ２- 5ｘ- 3 的图
象，并求出一元二次方程ｘ２- 2ｘ- 3 ＝0 ，- ｘ２- 5ｘ- 3 ＝0 的根的近似值.
图6
图4
图5
34
第1 章
二次函数
小结与复习
1. 什么形式的函数叫作二次函数？试举例说明.
2. 举例说明如何用描点法来作出一个二次函数的图象，并指出画图的
步骤.
3. 说出二次函数y = a （x - h ）2+ k 的图象具有哪些性质.
4. 如何将y = ax2+ bx + c （a ≠0 ）配方成y = a （x - h ）2+ k 的形式？
*5. 如何用不共线三点的坐标来求出二次函数的表达式？
6. 结合抛物线y = ax2+ bx + c 与x 轴的位置关系，说明一元二次方程ax2+
bx + c = 0 的根的各种情况.
7. 如何利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值？
8. 试结合实例说明，建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
1. 我们可以从ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象与性质出发，得出二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
的图象与性质，探究过程如下：
回顾
本章知识结构
注意
二次函数
二次函数的概念
二次函数的图象与性质
二次函数的应用
二次函数与一元二次方程的联系
* 不共线三点确定二次函数的表达式
35
数学
九年级下册
由于从二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象经过轴反射和平移可得出二次函数
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象，而轴反射和平移都不改变图形的形状和大小，因此二次
函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象都是抛物线．
2. 二次函数的图象都是轴对称图形. 抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（a ≠0 ）关于直线
x=- b
2a 对称.
3. 结合图象讨论函数性质是数形结合地研究函数的重要方法，本章我们需
认真体会这种方法的作用与价值.
4. 对于现实生活中的许多问题，我们可以通过建立二次函数模型来解决.
在此过程中，我们需体会函数模型在反映现实世界的运动变化中的作用，体会
模型是沟通数学与现实的有效桥梁.
5. 利用二次函数解决实际问题时，自变量的取值范围要结合具体问题来
确定.
ｙ＝－ａｘ２（ａ＞０）
的图象与性质
沿ｘ轴翻折
当h ＞０时，
向右平移h 个单位
当h＜０时，
向左平移｜h ｜个单位
当k ＞０时，
向上平移k 个单位
写成一般形式
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
的图象与性质
当k ＜０时，
向下平移｜k ｜个单位
ｙ＝ａ（ｘ- h ）２＋k
的图象与性质
ｙ＝ａ（ｘ- h）２
的图象与性质
ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）
的图象与性质
36
第1 章
二次函数
A!组
1. 如图，一张正方形纸板的边长为4，将它剪去4 个
全等的直角三角形，设这4 个直角三角形短直角边的长度
为ｘ，四边形ABCD 的面积为ｙ，求ｙ关于x 的函数表达式.
2郾画出下列二次函数的图象，并指出图象的对称轴、顶
点坐标和开口方向.
（１）ｙ＝－1
3 ｘ２；
（2）ｙ＝1
4 （ｘ- 2 ）２；
（3）ｙ＝－2
3 （ｘ- 3 ）２＋２；
（4）ｙ＝ｘ－7
2
2
"
２
＋２；
（5）ｙ＝－ｘ２+ 7ｘ- 11 ；
（6）ｙ＝ｘ２- 10ｘ＋21.
3郾填空：
（１）抛物线ｙ＝３ｘ２先向左平移２个单位，得到抛物线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；接着向
上平移１个单位，得到抛物线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（２）抛物线ｙ＝１
３ｘ２沿着ｘ轴翻折并“复制” 出来，得到抛物线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
接着向右平移５个单位，得到抛物线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；接着向下平移２个单位，得
到抛物线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
4郾已知二次函数的图象的顶点坐标为-3，
１
2
2
", 且过点2，11
2
2
"．求这个
二次函数的表达式及它与y 轴的交点坐标．
5郾用配方法求下列二次函数的最大值或最小值．
（１）ｙ＝- ｘ２+ 3ｘ＋4；
（2）ｙ＝１
4 ｘ２- 2ｘ＋1.
!!!!!!*6郾已知二次函数的图象与ｘ轴交于点（2，0）, （-1，0），与y 轴交于点
（0，-1）. 求这个二次函数的表达式及顶点坐标.
7郾用图象法求一元二次方程ｘ２＋４ｘ－３＝０的根的近似值（精确到０郾１）．
复习题1
（第1题图）
37
数学
九年级下册
8郾将一个小球以２０ｍ/ ｓ的初速度从地面垂直抛向空中，经过时间ｔ（ｓ），小球
的高度ｈ（ｍ）为ｈ＝２０ｔ－５ｔ２.
（１）经过多长时间，小球达到最高点？此时小球离地面多高？
（２）经过多长时间，小球落到地上？
9郾我国坚持精准扶贫、尽锐出战，打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战.
在脱贫攻坚期间，某地政府为了帮助当地一建档立卡贫困户脱贫，通过政府贴
息贷款方式帮他建了一个矩形苗圃园，其中一边利用已经建好的围墙，另外三
边用钢丝网围成. 已知围墙长为60 m，另外三边的总长为100 m. 设这个苗圃园
垂直于围墙的一边的长为x m.
（1）若平行于围墙的一边的长为y m，求y 关于x 的函数表达式.
（2）垂直于围墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出
这个最大值.
B!组
10. 如图为二次函数y = （x + m ）2+ k 的图象.
（１）根据图中提供的信息求二次函数的表达式；
（2）求图象与x 轴的交点坐标；
（3）观察图象回答：当x 取何值时，y > 0 ？当x 取
何值时，y = 0 ？当x 取何值时，y < 0 ？
11郾当ｂ２－４ａｃ分别满足什么条件时，抛物线ｙ＝
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴有两个不同的交点、有两个重合的交
点、没有交点？试判断下列抛物线与x 轴的交点情况：
（1）y = 2x2- 3x + 1 ；
（2）y = 4x2+ 4x + 1 ；
（3）y = - x2+ 2x - 4 .
12郾如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A
处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足表达式
y = a （x - 6 ）2+ h ．已知球网与O 点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边
界距O 点的水平距离为18 m．
（第10 题图）
5
２，- 9
4
4
"
38
第1 章
二次函数
（1）当h = 2.6 时，求y 关于x 的函数表达式；
（2）当h = 2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？试说明理由.
13郾在矩形ABCD中，AB ＝6 cm，BC ＝12 cm，点P 从点A 出发，沿AB
边向点B 以1 cm / s的速度移动，同时，点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C以
2 cm / s的速度移动. 如果P，Q 两点在分别到达B，C 两点后就停止移动，回
答下列问题：
（1）设运动开始后第t s 时，五边形APQCD 的面积为S（cm2），
求S 关于t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围；
（2）当t 为何值时，S 最小？并求出S 的最小值.
C!组
14. 抛物线y = ｘ２- 4ｘ+ 3.5 与x 轴交于A，B 两点，抛物线的顶点为P，求
△PAB 的面积.
15. 某地发生旱情，为抗旱保丰收，当地政府制定农户投资购买抗旱设备
的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的金额存
在下表所示的函数对应关系.
（1）分别求出y1，y2 的函数表达式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10 万元购买，请你设计一
个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
（第13题图）
（第12题图）
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
投资金额x / 万元
x
5
x
2
4
补贴金额y / 万元
y1=kx
（k≠0）
y2=ax2+bx
（a≠0）
2
2.4
3.2
型
号
金
额
39
数学
九年级下册
汽车能通过隧道吗？
在离李亮同学所在学校不远的
一条双行线公路上有一个隧道，如
图1 所示.
通过隧道的车辆应该有一个限
制高度，这个限制高度怎样确定呢？
为了解决这个问题，李亮和他的
同学经实地考察获取了以下情况：
（1）隧道的纵截面由一个矩形
和一段抛物线构成；
（2）隧道内路面的总宽度为８ｍ，双行车道宽度为６ｍ，隧道顶部最
高处距路面６ｍ，矩形的高为２ｍ；
（3）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧
道顶部在竖直方向上的高度差至少要有０．５ｍ．
李亮和他的同学运用已学的数学知识，解决了这个实际问题，其过
程如下：
画出隧道的截面图. 设双行车道的两个
端点分别为Ａ，Ｂ，以ＡＢ为ｘ轴的正方向，
ＡＢ的中点为原点建立直角坐标系，如图2 所
示，于是（０，６）为抛物线的顶点，因此可设
抛物线的表达式为
ｙ＝ａｘ２＋６，－４≤ｘ≤４．
又因为抛物线经过点（４，２），所以
２＝１６ａ＋６．
解得
ａ＝－１
４．
这样，抛物线的表达式确定为ｙ＝－１
４ｘ２＋６．
图1
数学
九年级下册
图２
40
第1 章
二次函数
若有一辆宽为4郾5 m，高度为4郾5 m的超宽超高车辆欲通过该隧道，
能通过吗？是否要采取单向限行措施呢？
（假设车辆顶部与隧道顶部
在竖直方向上的高度差不小于20 cm）？
请你收集一些素材，建立函数模型，并求出问题的解.
在老师的组织下，将自己或小组研究问题的思路（或方案）、求解
过程中使用的方法、反思与发现以报告的形式与全班同学交流，总结
建立数学模型解决实际问题的策略与收获.
交流
令ｘ＝３，得ｙ＝３．７５．
所以
３．７５－０．５＝３．２５≈３．２．
李亮和他的同学把通过隧道的车辆限制高度定为３．２ｍ．
从李亮和他的同学解决这个实际问题的过程中，我们看到，将一个
实际问题，用所学过的数学语言加以抽象概括，建立数学模型（这里是建
立适当的直角坐标系，求函数的表达式），再应用数学方法来求出能够反
映实际问题所要求的实际结果（这里是求当ｘ＝３时，ｙ的值，所求的限制高
度则为ｙ－０．５），这就是简单数学建模的全过程.
简单数学建模的过程，我们可用下面的框图来说明：
数学问题
数学结果
实际结果
抽象、概括、数学化
求解数学问题
结合实际加以检验
实际问题
综合与实践
41
数学
九年级下册
圆
在日常生活中，我们常常会见到圆形的物体，如车轮、
钟表、摩天轮等，国际奥林匹克标志图案也是用五个圆组
成的."圆的应用非常广泛."
圆是最基本也是最重要的平面图形之一，本章我们将学
习关于圆的一些知识，这包括：什么样的图形叫圆？圆有哪
些基本性质？平面上的点、直线与圆有哪些位置关系？怎样
求圆的弧长和扇形面积以及正多边形与圆有哪些关系？等等.
2
第章
2
42
第2 章
圆
圆的对称性
2.1
我们把到圆心的距离小于半径的点叫作圆内的点；到圆心的距离大于半
径的点叫作圆外的点.
图2-1
在生活中，我们经常看到圆的形象（如图2-1）．
圆（circle）是平面内到一定点的距离等于定长
的所有点组成的图形，这个定点叫作圆心（center of
a circle），定长叫作半径（radius）.
如图2－2，点Ｏ是圆心，圆心O 与圆上一点
的连线段叫作半径，线段ＯＡ是一条半径，线段
OA 的长度也叫作半径，记作半径r. 以点Ｏ为圆
心的圆叫作圆Ｏ，记作⊙Ｏ．
圆也可以看成是平面内一个动
点绕一个定点旋转一周所形成的图
形（如图2-3），定点叫作圆心，定点
与动点的连线段叫作半径.
图2－2
·
O
r
圆心
半径
图2－3
43
数学
九年级下册
1. 如图2-6，在一块硬纸板和一张薄的白纸上分别画一个圆，使它们的
半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是
否重合.
2. 如图2-7，用一根大头针穿过上述两个圆的圆心．让硬纸板保持不动，
让白纸绕圆心旋转任意角度．观察旋转后白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的
圆重合. 这体现圆具有什么样的性质？
你能说出同一平面内的点与圆有几种位置关系？怎样确定点与圆的位置
关系？请与同学交流.
一般地，设⊙Ｏ的半径为ｒ，点P 到圆心Ｏ的距离OP = d ，则有：
（1）点P 在圆内圳①d < ｒ；
（2）点P 在圆上圳d = ｒ；
（3）点P 在圆外圳d > ｒ.
连接圆上任意两点的线段叫作弦（ｃｈｏｒｄ），经过圆
心的弦叫作直径（ｄｉａｍｅｔｅｒ）. 如图2－4，线段AB，CD 是
⊙Ｏ的弦，弦AB 经过圆心Ｏ，因此线段AB 是⊙Ｏ的
直径.
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧（ａｒｃ），
弧用符号“
#
” 表示．如图2－5，⊙Ｏ上两点Ａ，Ｂ间
小于半圆的部分叫作劣弧（ｍｉｎｏｒａｒｃ），记作A
#
B ；Ａ，Ｂ
间大于半圆的部分叫作优弧（ｍａｊｏｒａｒｃ），记作AM
#
B ，
其中点Ｍ是优弧上一点．
图2－4
图2－5
①“圳” 是双向推出符号，表示从左端可以推出右端，并且从右端可以推出左端.
图2－6
·
图2－7
44
第2 章
圆
我们把能够重合的两个圆叫作等圆，把能够互相重合的弧叫作等弧.
由于圆是由一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，因此圆绕圆心旋
转任意角度，都能与自身重合．
特别地，将圆绕圆心旋转180°时能与自身重合，所以，
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
如图2-8，在纸上任画一个⊙O，并剪下来. 将⊙O 沿任意一条直径（例
如直径CD）对折，你发现了什么？
直径CD 两侧的两个
半圆能完全重合.
由此我们得到:
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
图2－8
如图2-9，为什么通常要把车轮设计成圆形？请说说理由.
图2－9
古代车轮的演变
45
数学
九年级下册
练习
1．下面的说法对吗？如不对，请说明理由.
（1）直径是弦；
（2）弦是直径；
（3）半径相等的两个圆是等圆；
（4）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.
2．已知⊙Ｏ的半径为4 cm，B 为线段OA 的中点，当线段OA 满足下列条
件时，分别指出点B 与⊙Ｏ的位置关系：
（1）OA ＝6 cm；
（2）OA ＝8 cm；
（3）OA = 10 cm.
A!组
１．如图，线段AB 过圆心O，点A，B，C，D 均
在⊙O上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们
表示出来.
2．下面的说法对吗？如不对，请说明理由.
（1）同一个圆的直径的长是半径的2 倍；
（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线
均是圆的对称轴；
（3）过圆心的线段是圆的直径；
（4）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；
（5）弦过圆心.
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，AC ＝4 cm，
AB ＝5 cm. D，E分别是AB，BC的中点，以点A为圆心，
AC为半径画圆，试判断点C，D，E与⊙A的位置关系.
B!组
4．矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？请说说理由.
习题2.1
（第3 题图）
（第1 题图）
46
第2 章
圆
如图2 －13，已知在⊙O 中，圆心角∠ＡＯＢ＝
∠ＣＯＤ．它们所对的弧A
#
B 与C
#
D 相等吗？它们所对的
弦ＡＢ与ＣＤ相等吗？
图2－13
圆心角、圆周角
2.2
2郾2郾1
圆心角
图2－10
观察图2-10 中的∠AOB，可以发现它的顶点在
圆心，角的两边与圆相交，像这样的角叫作圆心角
（ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ），我们把∠AOB 叫作A
#
B 所对的圆心
角，A
#
B 叫作圆心角∠ＡＯＢ所对的弧．
在生活中，我们常遇到圆心角，如飞镖靶中有圆心
角（如图2-11），还有手表的时针与分针所成的角（如图
2-12）等也是圆心角．
图2－12
图2－11
47
数学
九年级下册
在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的
弦也相等．
一般地，有以下结论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那
么它们所对应的其余各组量都分别相等.
由此得到下述结论：
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能与自身重合，
所以可以将⊙O绕圆心Ｏ旋转，使点Ａ与点Ｃ重合．由
于∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，因此，点Ｂ与点Ｄ重合．从而Ａ
#
Ｂ＝
C
#
D ，ＡＢ＝ＣＤ．
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的
弦相等吗？
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的
弧相等吗？
图2－14
例1 !!如图2-14，等边△ABC 的顶点A，B，C 在⊙O 上，求圆心角
∠AOB 的度数.
解
∵
△ABC 为等边三角形，
∴
AB = BC = AC.
∴
∠AOB = ∠BOC = ∠COA .
又∵
∠AOB + ∠BOC + ∠COA = 360°，
∴
∠AOB = 1
3 （∠AOB+∠BOC+∠COA）
= 1
3 × 360 ° = 120° .
上述结论对于等圆也成立.
48
第2 章
圆
图2－16
练习
1. 在⊙O中，已知∠AOB = 40°，A
A
B = C
A
D ，求∠COD 的度数.
2．如图，在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径，∠AOE = 60°，点C，D 是BE
A
的三等分
点，求∠COE 的度数.
（第1 题图）
（第2 题图）
观察图2－15 中的∠ＢＡＣ，可以发现它的顶点Ａ在圆上，它的两边都与圆
相交，像这样的角叫作圆周角（ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎｃｅａｎｇｌｅ）．
我们把∠BAC 叫作BC
A
所对的圆周角，BC
A
叫作圆
周角∠BAC 所对的弧.
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从共
青团团旗上的图案抽象出如图2－16 所示的图形，该图
形中就有许多圆周角．
图2－15
2郾2郾2
圆周角
49
数学
九年级下册
分别测量图2-15 中B
!
C 所对的圆周角∠ＢＡＣ和圆心角∠ＢOC 的度数，它
们之间有什么关系？
每位同学任画一个圆，并在圆上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角
和圆心角，测量出它们的度数. 你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么
规律？
通过度量，我发现圆周角的度数等
于它所对弧上的圆心角度数的一半.
图2－17
下面我们来证明这个结论.
已知：在⊙O中，B
!
C 所对的圆周角是∠ＢＡＣ，圆心角是∠ＢOC.
求证：∠ＢＡＣ= １
２∠ＢＯＣ.
在画图时，可以发现圆心O 与圆周角的位置关系有以下三种情形：
（1）圆周角的一边通过圆心；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部．
对于第（1）种情况，如图2－１7，圆心O 在∠ＢＡＣ
的一边ＡＢ上．
∵
ＯＡ＝ＯＣ，
∴
∠Ｃ＝∠BAC，
∴
∠ＢＯＣ＝∠Ｃ＋∠BAC
＝２∠BAC，
即
∠BAC ＝１
２∠ＢＯＣ．
对于第（2）种情况，如图2－１8，圆心Ｏ在∠ＢＡＣ
的内部．
作直径ＡＤ，根据第（1）种情况的结果得
图2－18
50
第2 章
圆
图2－19
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图2-20，∠C1，∠C2，∠C3 都是A
"
B 所对
的圆周角，那么∠C1 = ∠C2 = ∠C3 吗？
图2－20
在图2-20 中，连接AO，BO，则∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心角均为
∠AOB. 由圆周角定理，可知∠C1= ∠C2= ∠C3 .
由此得到以下结论：
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相
等的圆周角所对的弧也相等．
∠ＢＡＤ＝１
２∠BOD，∠ＤＡＣ＝１
２∠DＯＣ．
∴
∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＣ
＝１
２∠BOD + １
２∠DＯＣ
＝１
２∠BOC.
对于第（3）种情况，如图2－１9，圆心Ｏ在∠ＢＡＣ
的外部．
请你完成∠ＢＡＣ＝１
２∠ＢＯＣ的证明.
由此得到圆周角定理：
51
数学
九年级下册
例2 如图2-21，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC =
70°. 求∠ACB和∠BAC的度数.
解
∵
圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为A
A
B ，
∴
∠ACB ＝1
2 ∠AOB = 25°.
同理
∠BAC ＝1
2 ∠BOC = 35°.
图2－21
练习
1．下图中各角是不是圆周角？请说明理由.
（第3 题图）
（第2 题图）
2．如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M，若∠CAB = 25°，∠ABD =
95°，试求∠CDB 和∠ACD 的度数.
（第1 题图）
（1）
（2）
（3）
（4）
3．如图，点A，B，C 在⊙Ｏ上，AC∥OB．若∠OBA = 25°，求∠BOC的
度数.
52
第2 章
圆
!!!!!!!!在图2-22 中，AB 是⊙O的直径，那么∠C1，∠C2，∠C3的度数分别是
多少呢？
图2－22
因为A，O，B 在一条直线上，所以圆心角∠AOB
是一个平角，即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3 ＝
1
2 × 180° = 90°.
因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3所对弧上的圆心角是∠AOB，
只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出∠C1，
∠C2，∠C3的度数.
在图2-22中，若已知∠C1= 90°，它所对的弦AB是直径吗？
由此得到以下结论：
直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径.
53
数学
九年级下册
例3 如图2-23，BC 是⊙O 的直径，∠ABC = 60°，
点Ｄ在⊙O 上，求∠ADB 的度数.
解
∵
BC 为直径，
∴
∠BAC = 90°.
又
∠ABC = 60°，
∴
∠C = 30°.
又∵
∠ADB 与∠C 都是A
A
B 所对的圆周角，
∴
∠ADB = ∠C = 30°.
如图2-24，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连接
A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形
ABCD称为圆内接四边形.
这个圆叫作这个四边形的外接圆.
图2－24
图2－23
!!!!!!!!在图2-24 的四边形ABCD 中，两组对角∠A与∠C，∠B与∠D有什么关系？
在图2-24中，连接OB，OD，得图2-25.
∵
∠A所对的弧为BC
A
D ，∠C所对的弧为BA
A
D ，
又BC
A
D 与!BA
A
D 所对的圆心角之和是周角，
∴
∠A + ∠C = 360 °
2
= 180°.
由四边形内角和定理可知，∠ABC + ∠ADC = 180°.
由此得到以下结论：
圆内接四边形的对角互补.
图2－25
54
第2 章
圆
例4
如图2-26，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD 为100°，求
∠BAD 及∠BCD 的度数.
解
∵
圆心角∠BOD 与圆周角∠BAD 所对的弧为B
B
D ，
∠BOD = 100°,
∴
∠BAD = 1
2 ∠BOD = 1
2 ×100° = 50°.
∵
∠BCD + ∠BAD = 180°，
∴
∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 50° ＝130°.
图2－26
练习
1．如图，在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径，Ｃ，Ｄ是圆上两点，且ＡＣ＝ＡＤ．
求证：ＢＣ＝ＢＤ．
2. 怎样运用三角板画出如图所示的圆形件表面上的直径，并标出圆心，
试说明该画法的理由.
3．如图，圆内接四边形ABCD 的外角
∠DCE = 85°，求∠A 的度数.
（第2 题图）
（第1 题图）
（第3 题图）
55
数学
九年级下册
A!组
１．如图，点A，B，C，D在⊙O上，A
A
C = B
A
D ，AB 与CD 相等吗？为什么？
2．如图，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，A
A
C = B
A
C ，点M，N 分别是OA，
OB 的中点.
求证：MC = NC.
3．如图，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，求圆周角∠ACB 的度数.
4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A = 72°，求∠BOC 和∠OBC 的度数.
5．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点F，∠BCD = 40°，∠BFD = 70°，求
∠ADC 的度数.
习题2.2
（第5 题图）
（第3 题图）
（第1 题图）
（第2 题图）
（第4 题图）
56
第2 章
圆
（第7 题图）
6．如图，一工件的凹面要求做成半圆，如何用一把曲尺（它的角是直角）
检查工件的凹面是否符合要求？
（第6 题图）
B!组
8．如图，点A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC ＝∠CPB = 60°.
求证：△ABC 为等边三角形.
9．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，直径AD ＝3 cm，∠B ＝1
2 ∠DAC.
试求AC 的长.
10．如图，⊙O1 和⊙O2 都经过A，B 两点，经
过点A 的直线CD 与⊙O1 交于点C，与⊙O2 交于
点D. 经过点B 的直线EF 与⊙O1 交于点E，与
⊙O2!交于点F. 求证：CE∥DF. （提示：连接AB）
（第8 题图）
（第9 题图）
（第10 题图）
7. 如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个
顶点均在圆上.
（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？
（2）设⊙Ｏ的半径为2，求图中灰色部分的面积之和.
57
数学
九年级下册
垂径定理
鄢2.3
在图2-27的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直
径，且CD⊥AB，垂足为E. 试问：AE与BE，A
A
C 与
B
A
C ，A
A
D 与B
A
D 分别相等吗？
图2－27
下面我们来证明这个结论.
在图2-27 中，连接OA，OB.
∵
OA=OB，
∴
△OAB是等腰三角形.
∵
OE ⊥AB，
∴
AE = BE，∠AOD = ∠BOD.
从而
∠AOC = ∠BOC.
∴
A
A
C =B
A
C ，A
A
D =B
A
D .
由此得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
因为圆是轴对称图形，将⊙O 沿直径CD 对折，如
图2-28，我发现AE 与BE 重合，A
A
C ，A
A
D 分别与
B
A
C ，B
A
D 重合，即AE = BE ，A
A
C = B
A
C ，A
A
D = B
A
D .
图2－28
鄢
本节为选学内容.
58
第2 章
圆
练习
如图，AB 是⊙Ｏ的直径，C 是⊙Ｏ上一点，
AC ＝8 cm，AB ＝10 cm，OD ⊥BC于点D，求BD
的长.
例1
如图2-29，弦AB= 8 cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，
DE ＝2 cm，求⊙O 的直径CD 的长.
解
连接OA.
设OA= r cm，则OE ＝r - 2 （cm）.
∵
CD ⊥AB，
由垂径定理得
AE ＝AB
2 ＝4 （cm）.
在Rt△AEO中，由勾股定理得
OA2＝OE2+ AE2.
即
r 2＝（r-2）2+ 42.
解得
r ＝5 .
∴
CD = 2r = 10 （cm）.
例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
已知：如图2－30，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ与弦ＣＤ平行．
求证：A
A
Ｃ＝Ｂ
A
Ｄ．
证明
作直径ＥＦ⊥ＡＢ，
∴
A
A
Ｅ＝Ｂ
A
Ｅ.
又∵
ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ⊥ＡＢ，
∴
ＥＦ⊥ＣＤ．
∴
C
A
E ＝D
A
E ．
因此
A
A
Ｅ－Ｃ
A
Ｅ＝Ｂ
A
Ｅ－Ｄ
A
Ｅ，
即
A
A
Ｃ＝Ｂ
A
Ｄ．
图2－29
图2－30
59
数学
九年级下册
A!组
1．如图，这是一种水管的横截面，它的内径ｄ＝50 ｃｍ，如果水面宽为
4０ｃｍ，那么此时水的深度是多少？
2．如图，AB是⊙O的弦，点C，D是弦AB
上两点，并且OC ＝OD.
求证：AC ＝BD.
3．如图，１4００年前，我国隋代建造的赵
州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦
长）是３７．４ｍ，拱高（弧的中点到弦的距离）
为７．２ｍ，求桥拱的半径（精确到０．１ｍ）.
习题2.3
（第2 题图）
（第3 题图）
B!组
4．圆心相同，半径不同的两个圆叫同心圆. 如图，以点Ｏ为圆心的两个同
心圆中，小圆的弦AB 的延长线交大圆于点C. 若AB=4，BC=1，求圆环的面积.
5．如图，你能平分这段圆弧吗？说说你的作法及理由.
（第5 题图）
（第1 题图）
（第4 题图）
60
第2 章
圆
过不共线三点作圆
2.4
1．如何过一点Ａ作一个圆？过点Ａ可以作多少个圆？
2．如何过两点Ａ，Ｂ作一个圆？过两点可以作多少个圆？
对于问题1，以不与点Ａ重合的任意一点为圆心，
以这个点和点Ａ的距离为半径画圆即可，如图2－31.
由画图可知，过点A 可作无数个圆．
图2－31
图2－32
对于问题2，作线段AB 的垂直平分线l，以l 上任意一
点为圆心，以这点和点Ａ（或点B）的距离为半径画圆即可，
如图2-32. 由画图可知，过两点A，B 可以作无数个圆.
如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？
61
数学
九年级下册
已知：不在同一直线上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ．
求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ，Ｂ，Ｃ．
分析
由于圆心Ｏ与三点Ａ，Ｂ，Ｃ的距离相
等，因此圆心Ｏ既在线段ＡＢ的垂直平分线上，又
在线段ＢＣ的垂直平分线上．
作法：
（1）连接ＡＢ，作线段ＡＢ的垂直平分线ＥＦ；
（2）连接ＢＣ，作线段ＢＣ的垂直平分线ＭＮ；
（3）以ＥＦ和ＭＮ的交点Ｏ为圆心，以ＯＡ为半径作圆．
则⊙Ｏ就是所求作的圆，如图2－33．
由作法和上面的分析可知，过不在同
一直线上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ可以作一个圆且
只可以作一个圆．
过在同一直线上的三点
A，B，C 可以作一个圆吗？
经过△ＡＢＣ的三个顶点可以作一个圆吗？
由于△ＡＢＣ的三个顶点不在同一直线上，因此过这
三个顶点可以作一个圆，并且只可以作一个圆．
图2－33
!!!!!!!!经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆
（ｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅ），外接圆的圆心叫作这个三角形的外心
（ｃｉｒｃｕｍｃｅｎｔｅｒ），这个三角形叫作这个圆的内接三角形
（ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｔｒｉａｎｇｌｅ），如图2－34．从前面的讨论知道，
三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点．
图2－34
62
第2 章
圆
A!组
１．如图是某一圆弧管道，请想办法作出圆弧管道的圆心．
2．如图，在△ABC中，∠ＢＡＣ= 70°，∠ABC = 50°，点O是△ABC的外心，
求∠AOB 的度数.（提示：作△ABC的外接圆）
B!组
3．求边长为a 的等边三角形的外接圆的半径.
4．如图2-34，△ABC 是锐角三角形，它的外心O 在三角形的内部. 如果
△ABC 是钝角三角形，外心O 在三角形的什么位置？如果△ABC 是直角三角
形，外心O 在△ABC 的什么位置？分别画出它们的外接圆，并给予判断.
习题2.4
（第1 题图）
（第2 题图）
练习
1．任意画一个三角形，作这个三角形的外接圆.
2．如图是一块破残的圆形玻璃镜，现要复制一
块同样大小的圆形玻璃镜，你能画出要复制的圆形
玻璃镜图吗？
（第2 题图）
63
数学
九年级下册
直线与圆的位置关系
2.5
!!!!!!!!图2-35 是小明在海边观日出时所看到的景象示意图.
若将图中太阳看作圆，地平线看作直线，
我发现直线与圆有三种位置关系，如图2-36.
图2－36
（1）
图2－35
!!!!!!!!观察上图，你发现了什么？
可以说明：在平面内，直线与圆的位置关系有三种情况．
设圆心到直线的距离为ｄ，圆的半径为ｒ，则：
当ｄ＜ｒ时，直线与圆恰好有两个不同的公共点，这时称直线与圆相交，
这条直线叫作圆的割线；
2郾5郾1
直线与圆的位置关系
地平线
（2）
（3）
64
第2 章
圆
当ｄ＝ｒ时，直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切，这条直线
叫作圆的切线（ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ），这个公共点叫作切点（ｐｏｉｎｔｏｆｔａｎｇｅｎｃｙ）；
当ｄ＞ｒ时，直线与圆没有公共点，这时称直线与圆相离．
一般地，设⊙O 的半径为ｒ，圆心O 到直线l 的距离为d，则有：
（1）直线l 和⊙O 相交圳d < ｒ；
（2）直线l 和⊙O 相切圳d = ｒ；
（3）直线l 和⊙O 相离圳d > ｒ.
例1 如图2-37，∠C ＝30°，O为BC上一点，且CO ＝6 cm，以O为圆心，r
为半径的圆与直线CA有怎样的位置关系？为什么？
（1）r = 2.5 cm；
（2）r = 3 cm；
（3）r = 5 cm.
解
过O 作OD⊥CA 交CA 于D.
在Rt△CDO 中，∠C = 30°，
∴
OD = 1
2 CO = 3（cm）.
即圆心O 到直线CA 的距离d ＝3 cm.
（1）当r ＝2.5 cm 时，有d > r ，因此⊙O 与直线CA 相离；
（2）当r ＝3 cm 时，有d ＝r ，因此⊙O 与直线CA 相切；
（3）当r ＝5 cm 时，有d < r ，因此⊙O 与直线CA 相交.
图2-37
练习
练习
１．已知⊙Ｏ的半径ｒ＝7 ｃｍ，圆心Ｏ到直线ｌ１，ｌ２，ｌ３的距离分别为
ｄ１＝７．１ｃｍ，ｄ２＝６．８ｃｍ，ｄ３＝7 ｃｍ．判断直线ｌ１，ｌ２，ｌ３与⊙Ｏ的位置关系．
２．已知⊙Ｏ的直径为１８ｃｍ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为９ｃｍ．判断直线ｌ与
⊙Ｏ的位置关系．
65
数学
九年级下册
观察图2-38，工人用砂轮磨一把刀，在接触的
一瞬间，擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？
生活中，我们常常看到切线的实例，如何判断一条直线是不是⊙O 的切
线呢？
图2－38
如图2-39，OA是⊙Ｏ的半径，经过ＯＡ的外
端点A，作一条直线ｌ⊥OA ，圆心Ｏ到直线ｌ的
距离是多少？直线ｌ和⊙O 有怎样的位置关系？
图2－39
圆心O 到直线l 的距离等于半径OA．
由圆的切线定义可知直线l 与圆O 相切．
由此得出以下结论：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2郾5郾2
圆的切线
66
第2 章
圆
如图2-40，已知⊙O 上一点P，过点P 画⊙O 的切线．
画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P 处，并使一直角边与
半径OP 重合；
（2）过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l ，则l 就是所要画的切线.
如图2-40.
图2－40
为什么画出来的直线l
是⊙O 的切线呢？
例2 !如图2－41，已知ＡＤ是⊙O 的直径，直线ＢＣ经过点Ｄ，并且ＡＢ＝
ＡＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．
求证：直线ＢＣ是⊙O 的切线．
证明
∵
ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，
∴摇
AＤ⊥ＢＣ．
又∵
ＯＤ是⊙Ｏ的半径，且ＢＣ经过点Ｄ，
∴
直线ＢＣ是⊙O 的切线．
图2－41
D
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
１．（1）垂直于半径的直线一定是圆的切线吗？为什么？
（2）经过半径外端的直线一定是圆的切线吗？为
什么？
2．如图，已知直线ＡＢ经过⊙O 上的点Ｃ，并且
ＯＡ＝ＯＢ，ＡＣ＝ＢＣ．
求证：直线ＡＢ是⊙O 的切线．
（第2 题图）
练习
练习
67
数学
九年级下册
如图2－42，直线ｌ是⊙O 的切线，Ａ为切点，
切线ｌ与半径OA 垂直吗？
下面我们用反证法来证明这个结论.
假设直线l 与半径OA 不垂直.
过圆心O 作OB⊥l 于点B. 由于垂线段最短，可得OB ＜OA，那么圆心O
到直线l 的距离小于半径，即直线l 与⊙O 相交. 这与已知直线l 是⊙O 的切线
相矛盾.
因此直线l⊥OA.
由此，我们得出下面的结论：
圆的切线垂直于过切点的半径．
图2－42
我用量角器量得切线l 与半径OA 所
成的角为90°，即切线l 与半径OA 垂直.
例3 !如图2－43，AB 是⊙O的直径，C 为⊙O上一点，BD 和过点C 的切
线CD 垂直，垂足为D.
求证：BC 平分∠ABD．
证明
连接OC.
∵
CD 是⊙O的切线，
∴
OC ⊥CD .
又∵
BD ⊥CD ，
图2－43
68
第2 章
圆
练习
１．如图，两个同心圆的圆心是Ｏ，大圆的弦ＡＢ所在直线切小圆于点Ｃ.
求证：点Ｃ是线段ＡＢ的中点．
２．如图，在⊙O中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长
线交于点C，且AD = DC. 求∠ABD 的度数.
图2－44
例4 证明：经过直径两端点的切线互相平行．
已知：如图2－44，ＡＢ是⊙O 的直径，ｌ１，ｌ２分别是经过点Ａ，Ｂ的切线．
求证：ｌ１∥ｌ２．
证明
∵
ＯＡ是⊙O 的半径，ｌ１是过点Ａ的
切线，
∴
ｌ１⊥ＯＡ．
同理
ｌ２⊥ＯＢ．
∴
ｌ１⊥ＡＢ，且ｌ２⊥ＡＢ．
∴
ｌ１∥ｌ２．
∴
BD ∥OC .
∴
∠1 = ∠2 .
又! OC = OB ，
∴
∠1 = ∠3 .
∴
∠2 = ∠3 ，即BC 平分∠ABD.
（第1 题图）
（第2 题图）
69
数学
九年级下册
如图2-45，将三角尺的一条直角边过⊙O 外一点P 及圆上的点A，另一
条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA 是⊙O 的切线. 用同样的方法可
作出切线PB. 你能说出PA 和PB 是⊙O 的切线的理由吗？
鄢
本节为选学内容.
我把图形沿直线OP 对折后，发现线段
PA 与线段PB 重合，∠APO 与∠BPO 重合.
即PA＝PB，∠APO ＝∠BPO.
在透明纸上画出图2-46，设PA，PB 是
⊙O 的两条切线，A，B 是切点，沿直线OP
将图形对折，你发现了什么？
图2－46
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆
的切线长. 如图2-45，线段PA，PB 的长度是点P 到⊙O 的切线长.
鄢2郾5郾3
切线长定理
图2－45
70
第2 章
圆
由此我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这一点和圆
心的连线平分两条切线的夹角.
下面我们来证明这个猜测是真的.
如图2-47，连接OA，OB.
∵
PA，PB 是⊙O 的切线，
∴
∠PAO = ∠PBO = 90°，
即△PAO 和△PBO 均为直角三角形.
又∵
OA = OB，
OP = OP，
∴
Rt△PAO ≌Rt△PBO.
∴
PA = PB，∠APO = ∠BPO.
过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连
线平分两条切线的夹角.
图2－47
由此得到切线长定理：
例5 如图2-48，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O
的切线，A和B是切点，连接BD.
求证：CO∥BD.
分析
连接AB，因为AD为直径，那么
∠ABD ＝90°，即BD⊥AB. 因此要证CO∥BD，
只要证CO⊥AB即可.
证明
连接AB.
∵
CA，CB是⊙O的切线，点A，B为切点，
∴
CA = CB，∠ACO = ∠BCO.
∴
CO⊥AB.
∵
AD是⊙O的直径，
∴
∠ABD ＝90°，
即
BD⊥AB.
∴摇
CO∥BD.
图2－48
71
数学
九年级下册
１．如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD，AB，BC 相切，切点分别
为D，E，C. 设半圆O 的半径为2，AB 为5，求四边形ABCD 的周长.
2．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，若OP ＝4，
PA ＝2
3
姨
，求∠AOB 的度数.
练习
练习
（第2 题图）
（第1 题图）
想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？
2郾5郾4
三角形的内切圆
如图2－49，为了使圆形纸板的面积最大，
这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近．
图2－49
（1）
（2）
72
第2 章
圆
这使得我们猜测：这个圆应当与三角形的三条边都相切．
图2－50
如果圆与△ABC 的三条边都相切，那么圆心O 与三角
形三边的距离应等于圆的半径，从而这些距离相等.
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分
线上，因此圆心O 应是∠A 与∠B 的平分线的交点.
根据以上分析，我们可以按下面的方法画一个圆与三角形的三边都相切.
如图2-50，已知△ABC.
求作：与△ABC的各边都相切的圆.
作法：（1）作∠Ａ，∠Ｂ的平分线ＡＤ，ＢＥ，
它们相交于点Ｏ；
（2）过点Ｏ作ＡＢ的垂线，垂足为Ｍ；
（3）以点Ｏ为圆心，ＯM 为半径作圆．⊙O就是所求作的圆，如图2－50．
由以上分析和作法可知，与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个.
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆（ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｃｉｒｃｌｅ），内切圆的
圆心叫作三角形的内心（ｉｎｃｅｎｔｅｒ），这个三角形叫作圆的外切三角形（externally
tangent triangle）．
如图2-50，设点O 是△ABC 的内心，由于AB，BC，CA 都与⊙O 相切，
因此圆心O 到AB，BC，CA 的距离都等于圆的半径. 从而圆心O 在△ABC 的
每个内角的平分线上. 由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线
的交点.
与三角形的三条边都相切的圆存在吗？若存在，如何画出这样的圆？
73
数学
九年级下册
例6
如图2-51，⊙O 是△ABC 的内切圆，
∠A=70°，求∠BOC 的度数.
解
∵
∠A = 70°，
∴
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 110°.
∵
⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴
BO，CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线，
即
∠1 = 1
2 ∠ABC，∠2 = 1
2 ∠ACB.
∴
∠BOC = 180° - （∠1 + ∠2）= 180° - 1
2 （∠ABC+∠ACB）
= 180° - 1
2 × 110°
= 125° .
图2－51
1．任画一个三角形，求作它的内切圆.
2．如图，△ＡＢＣ的内切圆的三个切点分别为Ｄ，Ｅ，Ｆ，∠Ａ＝７４°，∠Ｂ＝
４７°，求圆心角∠ＥＯＦ的度数．
练习
练习
（第2 题图）
3．已知等边三角形ＡＢＣ的边长为ａ，求它的内切圆的半径．
74
第2 章
圆
A 组
1．⊙O的直径为10 ｃｍ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离是：
（1）3 cm；
（2）5 cm；
（3）7 cm. 判断直线ｌ与⊙O有几个公共点，为什么？
2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线MN 过点B，△ABC 内接于⊙O，∠CBM=∠A.
求证：MN 是⊙O 的切线.
3．如图，OC＝CA，OB 为⊙O 的半径，∠COB＝60°，求证：AB 是⊙O 的切线.
4．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC =
70°，求∠A的度数.
*5．如图，⊙O的半径为3 cm，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，点A，
B为切点，PO = 6 cm，求这两条切线的夹角及切线长.
*６．如图，若△ABC 的三边长分别为AB ＝9，
BC ＝6，AC ＝5，△ABC 的内切圆⊙O 切AB，BC，
CA 于点D，E，F，求AF 的长.
７．证明：等腰三角形的内切圆与底边的切点
是底边的中点.
习题2.5
（第2 题图）
（第3 题图）
（第5 题图）
（第4 题图）
（第6 题图）
75
数学
九年级下册
８．如图，设△ＡＢＣ的内切圆的半径为ｒ，△ＡＢＣ
的周长为ｌ，求△ＡＢＣ的面积Ｓ．
B!组
9．如图，已知⊙O的直径为6 cm，OA = OB = 5 cm，线段AB经过⊙O上一
点，长为8 cm. 求证：AB所在的直线与⊙O相切.
10．（1）证明：如果圆的两条切线互相平行，那么连接两个切点的线段是
直径．
（2）利用（1）的结论，如何用两把曲尺和一把刻度尺测量圆形工件的
直径？
*11．如图，P 是⊙O 外一点，PA，PB 是⊙O 的切线，点A，B 为切点，PA =
4 cm，∠APB = 40°，C 是A
A
B 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA，PB
于D，E.
求：（1）△PDE 的周长；
（2）∠DOE 的度数.
（第11 题图）
（第10 题图）
（第9 题图）
（第8 题图）
76
第2 章
圆
半径为ｒ的圆中，ｎ°的圆心角所对的弧长ｌ为
ｌ＝
ｎ
３６０·２πｒ＝ｎπｒ
１８０.
弧长与扇形面积
2.6
因为∠AOB=120°，所以A
A
B 的长是圆周长的１
３，
因此A
A
B 的长为１
３× 2π × 15 = 10π （m）.
如果∠AOB = n°，你能求出A
A
B 的长吗？
我们知道圆周长的计算公式为C ＝2 πr，其中r 是圆的半径，即360°的圆心
角所对的弧长就是圆周长C .
在同一个圆中，由于圆心角相等，它们所对的弧也相等，因此1°的圆心
角所对的弧长为1
360·2 πr，
n°的圆心角所对的弧长l 为
l = n· 1
360·2 πr.
由此得出以下结论：
图2－52
如图2－52 是某城市摩天轮的示意图. 点Ｏ是圆心，半径r 为15 m，点
A，B 是圆上的两点，圆心角∠ＡＯＢ= 120 °. 你能想办法求出A
A
B 的长度吗？
说说你的理由.
77
数学
九年级下册
例1 已知⊙O的半径为３０ｃｍ，求４０°的圆心角所对的弧长（精确到０郾１ｃｍ）．
解
ｌ＝４０·π·３０
１８０
≈４０× ３郾１４× ３０
１８０
≈２０郾９（ｃｍ）．
例2
如图2-53，一个边长为10 cm的等边三角形木板ABC在水平桌面上
绕顶点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的
路程为多少.
解
由图可知，由于∠A′CB′ = 60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方
向旋转了120°，即∠ACA′ = 120°，这说明顶点A经过的路程长等于AA
A
′的长.
∵
等边三角形ABC的边长为10 cm，
∴
AA
A
′所在圆的半径为10 cm.
∴
l AA
A
′ = 120·π·10
180
＝20
3 π （cm）.
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为20
3 π cm.
图2－53
练习
练习
1. 如图是一个闹钟正面的内、外轮廓线．内轮廓线由一段圆弧和一条弦
ＡＢ组成，圆心为Ｏ，半径为３郾２ｃｍ，圆心角∠ＡＯＢ＝８３°，求内轮廓线的圆
弧的长度．
（第1 题图）
2. 如图，一块铅球比赛场地是由一段80°的圆心角所对的圆弧和两条半
径围成的，若该比赛场地的周界是34 m，求它的半径OA长（精确到0.1 m）.
（第2 题图）
78
第2 章
圆
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成
的图形叫作扇形（ｓｅｃｔｏｒ）．
如图2－54，蓝色部分是一个扇形，记作扇形ＯＡＢ．
我们可以发现，扇形面积与组成扇形的圆心角的大
小有关，在同一个圆中，圆心角越大，扇形面积也越大.
我们可以把圆看作是圆心角为360°的扇形，它的面积即圆面积S = πr2.
因为圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，所以圆心角为1° 的扇形能够
互相重合，从而圆心角为1°的扇形的面积等于圆面积的1
360 ，即πr2
360 .!!因此，
圆心角为n°的扇形的面积为n· πr2
360 .
由此得到：
又因为扇形的弧长l = ｎπr
180 ，因此S 扇形= ｎπr ２
360 = 1
2 ·ｎπr
180 ·r
= 1
2 l r .
例3 !如图2－55，⊙O的半径为１郾５ｃｍ，圆心角
∠ＡＯＢ＝58°，求扇形ＯＡＢ的面积（精确到０郾１ｃｍ２）．
解
∵
ｒ＝１郾５ｃｍ，ｎ＝58 ，
∴
Ｓ扇形OAB＝５８× π × １郾５２
３６０
≈５８× ３郾１４× １郾５２
３６０
≈１郾１（ｃｍ２）．
图2－55
图2－54
半径为ｒ的圆中，圆心角为ｎ°的扇形的面积为
Ｓ扇形＝ｎπｒ２
360 .
如何求半径为r，圆心角为n°的扇形的面积呢？
79
数学
九年级下册
练习
例4
如图2-56是一条圆弧形弯道，已知ＯA ＝
20 m，ＯC ＝12 m，C
C
D 的长度为9π m，求圆弧形弯道
的面积.
解
设∠AOB = n°，
∵
OC = 12 m，C
C
D 的长度为9π m，
∴
9π = n·π·12
180
，
解得n = 135，即圆心角∠COD = 135 ° .
∴
S扇形OAB ＝135·π·202
360
= 150π （m2），
S扇形OCD ＝1
2 lr = 1
2 ·9π·12 ＝54π （m2），
∴
S弯道ACDB ＝S 扇形OAB - S 扇形OCD ＝150 π - 54π ＝96π （m2）.
答：这条圆弧形弯道的面积为96π m2.
练习
图2－56
1. 如图，在⊙Ｏ中，∠ＡＯＢ＝１２０°，弦ＡＢ的长为２
3
姨
ｃｍ，求扇形
ＯＡＢ的面积．
2. 如图，分别以△ABC 的顶点A，B，C 为圆心，以1 为半径画圆，求
图中绿色部分的面积.
（第1 题图）
（第2 题图）
80
第2 章
圆
A!组
１．如图，已知一段弯管的外轮廓线是一条圆弧A
!
B ，弧长为４郾５ｃｍ，圆弧
的半径为３ｃｍ．求这条弧所对的圆心角的度数（精确到１°）．
2．如图，8 位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节. 圆桌的半径为80 cm，每
人离圆桌的距离为10 cm. 现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再
左右调整位置，使10 人都坐下，并且10 人之间的距离与原来8 人之间的距离
（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等，求每人应向后挪动的距离.
3．如图为一扇木门上的三块扇形玻璃，已
知它们的半径相同，而圆心角分别是40° ，
60° ，40° ，每块玻璃均由金属边包裹，而所用
金属边总长度为228 cm.
（１）求扇形玻璃的半径（精确到０郾１ｃｍ）；
（２）求三块扇形玻璃的总面积（精确到０郾１ｃｍ２）．
习题2.6
（第1 题图）
（第3 题图）
3. 如图，有一直径是20 cm 的圆形纸片，
现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC，求
被剪掉部分的面积.
Ａ
B
（第3 题图）
（第2 题图）
81
数学
九年级下册
4．如图，两个同心圆被两条半径截得A
!
B ＝6π cm，C
!
D ＝10π cm，又AC=
12 cm，求图中蓝色部分的面积.
B!组
5．如图为一座圆弧形拱桥的示意图，拱形的半径为２０ｍ，拱的跨度AB 为
20
3
摇姨
ｍ.
求：（1）拱形的弧长；
（2）扇形ＯＡＢ的面积．
6．如图，以四边形ABCD 各个顶点为圆心，以1 cｍ为半径画圆，求图中红
色部分的面积之和.
7．如图，在矩形ABCD 中，BC = 2，以点A 为圆心，以AD 长为半径画
弧交BC 于点E，D
!
E 的长度为2π
3 .
（1）求圆心角∠DAE 的度数；
（2）求图中绿色部分的面积之和.
（第4 题图）
（第7 题图）
（第6 题图）
（第5 题图）
82
第2 章
圆
正多边形与圆
2.7
如图2-57，这些多边形有什么共同的特点？
每个多边形的各边都相等，各内角也相等.
我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形（regular polygon）.
图2－57
等边三角形
正方形
正五边形
!!!!!!!!如何作一个正多边形呢？
由于在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦也相等，因此可以用量角器将圆心角n 等分，从而
使圆n 等分，依次连接各等分点，可得到一个正n 边形.
将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的
内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心
叫作正多边形的中心.
正六边形
83
数学
九年级下册
已知⊙O 的半径为r，求作⊙O 的内接正六边形.
因为正六边形每条边所对的圆心角为60°，所以
正六边形的边长与圆的半径相等. 因此在半径为r 的
圆上依次截取等于r 的弦，就可以将圆六等分.
作法：
（1）作⊙O 的任意直径BE，分别以B，E 为圆
心，以r 为半径作弧，与⊙O 分别相交于点A，C 和F，D.
（2）依次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，则六边形
ABCDEF 就是所求作的⊙O 的内接正六边形，如图2-58.
例
如图2-59，已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内
接正方形.
分析
作两条互相垂直的直径，就可以将⊙O四等分.
作法：
（1）作直径AC 与BD，使AC⊥BD.
（2）依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD 就
是所求作的⊙O的内接正方形，如图2-59.
在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题. 例如设计剪纸、齿轮、汽
车轮毂等就是通过等分圆而得到的（如图2-60）.
图2－58
图2－59
图2－60
84
第2 章
圆
观察图2-57 中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？
如果是轴对称图形，画出其对称轴；如果是中心对称图形，找出其对称
中心.
图2-57 中的正方形、正六边形既是
轴对称图形，又是中心对称图形.
图2-57 中的正多边形都是轴对称图形.
由于每个正多边形都有外接圆，因此利用圆的轴对称性可得到：
正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴
都通过正n 边形的中心. 当n 为奇数时，正n 边形的n 条对称轴都是过顶点
与中心的直线；当n 为偶数时，正n 边形有n
2 条对称轴是过顶点与中心的直
线，有n
2 条对称轴是过中心与边垂直的直线.
利用圆绕圆心旋转任意角度，所得图形都与自身重合这一性质，可
得出：
一个正n 边形，绕它的中心旋转360°
n
所得图形与这个正n 边形重合，从
而当n 为偶数时，正n 边形绕它的中心旋转n
2 · 360 °
n
＝180°所得图形与这个
正n 边形重合. 因此正n 边形（n 为偶数）也是中心对称图形，它的对称中心
就是这个正n 边形的中心.
练习
练习
1. 已知⊙O 的半径为2 cm，求作⊙O 的内接正方形和内接正六边形.
85
数学
九年级下册
（第2 题图）
2. 许多图案设计都和圆有关，观察下图，请利用等分圆的方法设计一幅
图案.
习题2.7
A!组
1. 作半径为3 cm的圆内接正三角形，并求这个内
接正三角形的边长.
2. 如图，已知半径为r的圆内接正六边形ABCDEF，
求这个正六边形的周长和面积.
（第2 题图）
B!组
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10，求图中蓝色部分
的面积（精确到０郾1）．
4．如图，要把边长为6 cm 的正三角形剪成一个最大的正六边形.
（1）剪成的正六边形的边长是多少？
（2）剪去怎样的三个三角形？
（第3 题图）
（第4 题图）
86
第2 章
圆
1. 请举例说明什么叫作圆，什么叫作弦，什么叫作弧.
2. 举例说明圆有哪些对称性质.
3. 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦和弧相等吗？
4. 在同圆中，同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？
*5. 试描述垂直于弦的直径有什么性质.
6. 怎样过不在同一直线上的三个点作圆？
7. 直线与圆有哪几种位置关系？
8. 怎样判定一条直线是圆的切线？圆的切线有什么性质？
*9. 圆的切线长有什么性质？
10. 什么叫作三角形的内心和外心？怎样作已知三角形的内切圆和外接圆？
11. 举例说明如何计算弧长与扇形面积.
12. 怎样作圆的内接正方形、正六边形？正多边形有哪些对称的性质？
小结与复习
回顾
本章知识结构
圆
圆的概念
圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆是中心对称图形
圆是轴对称图形，任意一条直径所
在直线都是它的对称轴
圆的对称性
圆的性质
四边形的外接圆、三角形的外接圆
弧长与扇形面积的计算
正多边形与圆
作图
切线
* 切线长定理
三角形的
内切圆
* 垂径定理
直线与圆的位置关系
与圆有关的位置关系
87
数学
九年级下册
复习题2
注意
1. 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形. 圆的许多性质都可以由它的对
称性得出，因此，在学习本章时要充分利用圆的对称性.
2. 点、直线与圆的位置关系，体现了“形” 与“数” 的内在联系，因此，
学习本章时需认真体会数形结合是认识数学的基本方法.
3. 各边都相等的三角形是正三角形，但对于边数n 大于3 的多边形，由各
边相等不能推出各个角相等，所以需定义“各边相等，各角相等的多边形叫作
正多边形”.
A!组
１．判断（对的画“√”，错的画“ ”）：
（1）圆只有一条对称轴；
（
）
（2）直径是圆内最长的弦；
（
）
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（
）
（4）和半径垂直的直线是圆的切线.
（
）
2．如图，有一圆形展示厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，
它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监
视器多少台？
3．如图，⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AD 是⊙Ｏ的直径，连接CD，若AD ＝3，
AC ＝2，求cos D 的值. 你还能求出cos B 的值吗？
（第2 题图）
（第3 题图）
88
第2 章
圆
*4．如图，半径为4 的⊙Ｏ中，有弦AB，以AB为折痕
对折，劣弧恰好经过圆心Ｏ，求弦AB的长度.
5．已知Ｒｔ△ＡＢＣ的两直角边的长分别为６ｃｍ，８ｃｍ，
求它的外接圆的半径．
6．如图，已知BC 是⊙Ｏ的直径，点D 为BC 延长线
上一点，点A 为圆上一点，AB = AD，∠ADB ＝3０°.
（1）求证：AD 是⊙Ｏ的切线；
（2）若⊙Ｏ的半径为2，求A
A
C 的长.
7．如图，线段AB 与⊙Ｏ相切于点B，AO 的延长线交⊙Ｏ于点C，连接
BC，若∠ABC ＝12０°，OC = 3，求B
A
C 的长.
*8．如图，⊙O是△ABC的内切圆. 求证：AB + CF ＝AC + BF.
9．如图，在3 × 3 的方格纸中，每个小方格都是边
长为1 的正方形，Ｏ，A，B是格点，求A
A
B 的长及扇形
OAB的面积.
10．如图，若⊙O 的内接正三角形ABC 的边长为
12 ｃｍ，求图中蓝色部分的面积.
（第7 题图）
（第6 题图）
（第4 题图）
（第8 题图）
（第9 题图）
（第10 题图）
89
数学
九年级下册
B!组
11．如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ，D 是⊙O上的点，且AB = DC，△ABC与△DCB
全等吗？为什么？
*12．如图，⊙Ｏ的弦AB∥CD，且AB = 6，CD = 8，AB 与CD 的距离为7，求
⊙Ｏ的半径.
13．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B，⊙O 的弦AD 平
行于OC. 求证：DC 是⊙O 的切线.
14．如图，四边形ＡＢＣD 为⊙O的内接
四边形，∠A = 80°，若圆周长为18π，求
BA
A
D 的长度.
15. 如图是边长为12 m 的正方形池塘，
周围是草地，池塘边A，B，C，D处各有一
棵树，且AB ＝BC ＝CD ＝3 m. 现在用长4 m
的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为
了使羊在草地上活动区域的面积最大，应
将绳子拴在哪棵树上呢？并求出最大面积.
（第12 题图）
（第14 题图）
（第13 题图）
（第11 题图）
A
B
C
D
（第15 题图）
90
第2 章
圆
16. 如图，在半径为6 cm 的圆内画一个正六边形，求阴影部分的面积.
C!组
17．如图，在锐角三角形ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其外接圆的半
径为Ｒ．
求证：
ａ
ｓｉｎＡ＝
ｂ
ｓｉｎＢ＝
ｃ
ｓｉｎＣ＝２Ｒ．（提示：连BO 并延长交⊙O于D，连CD）
18．如图，⊙Ｏ1 与⊙Ｏ2 相交于A，B 两点，连接AＯ1 并延长交⊙Ｏ1 于点C，
连接CB 并延长交⊙Ｏ2 于点D. 若Ｏ1Ｏ2＝2，求CD 的长.
（第17 题图）
（第18 题图）
（第16 题图）
91
数学
九年级下册
圆的再认识
圆是我们生活中最常见的几何形状. 当人类仰望天空，太阳和圆
月总给我们以圆的形象；而雨滴落在池塘里，圆形的涟漪便不断扩大.
翻阅人类的历史，几乎所有的古老文明都留下了众多对圆认识的足迹.
18 000 年前的山顶洞人曾经在兽牙上钻出圆孔，到了陶器时代，人们开
始制作出许多圆形陶器. 大约在6 000 年前，美索不达米亚人做出了世
界上第一个轮子——
—圆形木盘. 在4 000 多年前，人们将圆的木盘固定
在木架下，这就成了最初的车子.
2 000 多年前，中国的墨子在《墨
经》中给圆下了一个定义：
“圆，一中
同长也. ” 意思是说：圆有一个圆心，圆
心到圆周的长都相等. 这个定义比古希
腊数学家欧几里得给圆下定义还要早.
说到圆，就不能不谈起数千年来被众多数学家所研究的圆周率. 美
索不达米亚人在做出世界上第一个轮子的时候，就已知道圆周率是3.
中国魏晋时期的刘徽于公元263 年给《九章算术》作注时，发现“周三
径一” 只是圆内接正六边形周长和直径的比值. 他创立了割圆术，认为
圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长. 他算到圆内接
正3 072 边形时，可得π = 3 927
1 250 . 刘徽把极限的概念运用于解决实际数
学问题中，这在世界数学史上也是一项重大的成就.
祖冲之（公元429—
500 年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.141 592 6 与
3.141 592 7 之间，这一成果使得他成为世界上最早将圆周率精确到小数
点后第7 位的人. 在欧洲，直到16 世纪，德国人鄂图和安托尼兹才得到
这个数值. 现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后12 400 亿
位了.
数学
九年级下册
92
第2 章
圆
圆的应用也大量见于雕塑、舞蹈等. 例如舞蹈家们在长期的舞蹈实
践与研究中，发现以“圆” 为中心设计舞蹈动作，舞姿优美. 这从唐代
敦煌壁画乃至近现代的芭蕾舞、体操运动员的动作中，我们都可以看到
这种回旋圆融的运动痕迹.
人们也常借助圆的均匀、对称的特性来表达公正、公平的寓意. 奥
运会的五环标志，象征着全球五大洲人民，通过体育竞技构筑友谊；国
际上重大会议都以圆桌会议的形式举行，此举在于不分大国、小国，国
家之间一律平等.
随着时代的发展，
“圆” 也渗透进我们生活的方方面面，这也寓意
着人们一直在渴望追求圆满的生活与人生.
随着人们对圆的认识不断深入，圆也被各民族文化所选择、运用.
中国古人崇尚“方地为舆，圆天为盖”，因此圆在中国古建筑中有比较明
显的体现. 例如天坛等古代祭神的场所便采用了圆形的屋顶，这给人们
一种雄武、神圣和圆润辉煌之感.
第2 章
圆
93
数学
九年级下册
投影与视图
你读过李白的诗句“举杯邀明月，对影成三人” 吗？光线
照射物体，会在平面上留下它的影子. 俗话说“形影不离”，
影子和物体之间有着怎样的关系呢？你能从物体的影子判断物
体的大致形状吗？
要回答这些问题，我们需要了解什么是投影，投影有哪些
性质. 通过学习，我们将知道仅凭一个物体在一个投影面上的
形状是很难确定它本身的形状，必须从多个方向对物体进行观
察. 通过视图知识的学习，我们将知道如何通过最合理的投影
方法来反映物体的全貌.
第章
3
日晷是我国古代利
用日影测定时刻的仪器.
94
第3 章
投影与视图
投影
3.1
太阳光照射物体，会在地面上留下影子.
图3-1
在灯光旁做不同的手势，会在墙壁上留下影子．
如图3-1（1）、（2）那样，光线照射物体，会在平面上（如地面、墙壁）留下它的
影子，把物体映成它的影子叫作投影（projec鄄
tion）. 照射的光线叫投影线，投影所在的平面
叫投影面. 物体在投影下的像简称为物体的
投影.
由于太阳距离地球很远，从太阳射到地面
的光线可以看成平行光线，因此这种投影称为
平行投影（parallel projection）. 如图3-2.
图3-2
（1）
（2）
95
数学
九年级下册
如果光线从一点发出（如灯泡、电影放映
机、幻灯机的光线），这样的投影称为中心投
影（center projection），如图3-4.
图3-4
在中国古代，天文学家利用日影来测定时间，北京故宫中的日晷就是利用
晷针投射在石盘面上的影子来显示时刻（如图3-3（1））；人们还利用平行光线不
易发散，照射得更远的特性制造了探照灯（如图3-3（2））；在现代工业中，人们
利用仪器发出平行光线，并照射产品的光洁面来检测划痕、微小气泡等.
图3-5
在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，就称为“正投影”，如图
3-5.
正投影属于平行投影.
在生活中，人们常常利用中心投影来形成
光影效果. 例如，艺人在银幕后，用灯光把人
物剪影照射在银幕上，形成皮影戏. 电影放映
机把电影胶片上的图像投影到银幕上，再配以
声音，就形成了电影.
皮影戏
图3-3
（1）
（2）
96
第3 章
投影与视图
图3-6
如图3-7，按照箭头所指的投影方向，分别画出纸板ABCD 在投影面P
上的正投影：（1）纸板平行于投影面；（2）纸板倾斜于投影面；（3）纸板垂直
于投影面. 说一说哪一种情形下的纸板的正投影不改变纸板的形状和大小.
当纸板ABCD 平行于投影面P 时，纸
板的正投影与纸板的形状、大小一样.
当纸板ABCD 倾斜或垂直于投影面
P 时，纸板的形状和大小发生了变化.
图3-7
如图3-6，按照箭头所指的投影方向，分别画出线段AB 在投影面P 上
的正投影的像A1B1：（1）线段AB 平行于投影面；（2）线段AB 倾斜于投影面；
（3）线段AB 垂直于投影面. 试比较AB 与A1B1 的长度.
（3）AB垂直于投影面：
A1与B1
.
（1）AB平行于投影面：
（2）AB倾斜于投影面：
AB
A1B1；
AB
A1B1；
97
数学
九年级下册
图3-8
事实上，当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与该面的形
状、大小完全相同.
例
如图3-8，按照箭头所指的投影方向，画出长方体的正投影，并标
明尺寸：
解
（1）正投影是一个矩形，如图3-9（1）.
（2）正投影是一个矩形，如图3-9（2）.
图3-9
3. 按照箭头所指的投影方向，画出圆柱形物体的正投影.
练习
练习
（第3 题图）
（1）
（2）
1.
（1）上午站在太阳光下，越接近正午，人的影子越摇
摇摇摇.
（2）下午站在太阳光下，越接近傍晚，人的影子越
摇摇摇.
2. 你能举出生活中平行投影和中心投影的例子吗？
（2）
（1）
（1）
（2）
98
第3 章
投影与视图
习题3.1
A!组
1. 一个与地面平行的圆盘，在与地面垂直的太阳光线照射下，影子是什么
形状？在与地面倾斜的太阳光线照射下，影子还会是圆盘形状吗？
2. 下面是对同一棵树分别在中午和下午拍的两张照片，哪张照片是下午
拍的？
（第2 题图）
3. 路灯下有两根木棍AB，CD，请画出夜晚时木棍在路灯下的影子.
（第3 题图）
4. 画出右图中长方体的正投影：
（1）投影线由物体的前方射到后方；
（2）投影线由物体的左方射到右方；
（3）投影线由物体的上方射到下方.
（第4 题图）
10
4
4
99
数学
九年级下册
B!组
5. 如图，三角尺在灯光照射下形成投影，已知三角尺与其投影的相似比为
2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角尺的对应边长为（
）
（A）8 cm
（B）20 cm
（C）3.2 cm
（D）10 cm
6. 如图是一个立体图形的示意图，若光线由上至下照射这个物体，试问该
物体各个面的正投影分别是什么？
（第5 题图）
（第6 题图）
三角尺
投影
100
第3 章
投影与视图
直棱柱、圆锥的侧面展开图
3.2
在几何中，我们把上述这样的立体图形称为直棱柱，其中“棱” 是指两个
面的公共边，它具有以下特征：（1）有两个面互相平行，称它们为底面；（２）其余
各个面均为矩形，称它们为侧面；（3）侧棱（指两个侧面的公共边）垂直于底面.
根据底面图形的边数，我们分别称图3-10 中的立体图形为直三棱柱、直
四棱柱、直五棱柱、直六棱柱. 例如，长方体和正方体都是直四棱柱. 底面是
正多边形的直棱柱叫作正棱柱.
收集几个直棱柱模型，再把侧面沿一条侧棱剪开，它们的侧面能否展开
成平面图形，是矩形吗？
观察图3-10 中的立体图形，它们的形状有什么共同特点？
图3-10
图3-11
将直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开，可以展开成平面图形，像这样的平面
图形称为直棱柱的侧面展开图. 如图3-11 所示
是一个直四棱柱的侧面展开图.
直棱柱的侧面展开图是一个矩形，这个矩
形的长是直棱柱的底面周长，宽是直棱柱的侧
棱长（高）.
101
数学
九年级下册
例1 一个食品包装盒的侧面展开图如图3-12 所示，它的底面是边长为
2 的正六边形，这个包装盒是什么形状的几何体？试根据已知数据求出它的侧
面积.
解
根据图示可知该包装盒的侧面是矩形，又已知上、
下底面是正六边形，因此这个几何体是正六棱柱（如图3-13
所示）.
由已知数据可知它的底面周长为2 × 6 = 12，
因此它的侧面积为12 × 6 = 72.
图3-12
图3-13
图3-14
在几何中，我们把上述这样的立体图形称为圆锥，
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，它的底面是
一个圆，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高，圆
锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥的母线，
母线的长度均相等．如图3-15，PO 是圆锥的高，PA 是
母线.
图3-15
图3-14 是雕塑与斗笠的形象，它们的形状有什么特点？
102
第3 章
投影与视图
1. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面
是正三角形，那么这个立体图形是（
）
（Ａ）三棱柱
（B）四棱柱
（C）三棱锥
2. 如图为一直三棱柱，试画出它的侧面展开图，
并求侧面展开图的面积.
3. 如图，圆锥的顶点为Ｐ，ＡＢ是底面⊙Ｏ的一条直径，∠ＡＰＢ＝９０°，底
面半径为ｒ，求这个圆锥的侧面积和表面积.
练习
（第2 题图）
例2 如图3-17，小刚用一张半径为24 cm 的扇形纸板
做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的
底面半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积S 是多少？
分析
圆锥形帽子的底面周长就是扇形的弧长.
解
扇形的弧长（即底面圆周长）为
l = 2 × π × 10 = 20 π（cm）.
所以扇形纸板的面积S = １
２× 20π × 24 = 240 π（cm2）.
图3-17
（第3 题图）
把圆锥沿它的一条母线剪开，它的侧面可以展开
成平面图形，像这样的平面图形称为圆锥的侧面展开
图，如图3-16 所示.
圆锥的侧面展开图是一个扇形. 这个扇形的半径
是圆锥的母线长PA，弧长是圆锥底面圆的周长.
图3-16
P
A
（第1 题图）
103
数学
九年级下册
习题3.2
A!组
1. 有一种牛奶包装盒如图所示. 为了生产这种包装盒，
需要先画出侧面展开图纸样.
（1）你能画出牛奶盒的侧面展开图吗？
（2）求牛奶盒的侧面积和表面积.
2. 一个正五棱柱的侧面积为250 cm2，高为10 cm. 如果
把它的底面边长变为原来的2 倍，高不变，那么它的侧面
积变为多少？
3. 一个圆锥的底面半径为6 cm，它的侧面展开图是圆
心角为240°的扇形，求圆锥的母线长.
4. 如图，已知一个圆锥的母线AB = 10 cm，底面半径
OB = 5 cm，求圆锥的侧面积.
（第4 题图）
B!组
5. 如图是一个正六棱柱的侧面展开图，计算这个正六棱柱的表面积和体积.
6. 用一张A4纸制作一个长方体包装盒，使其体积尽
可能大.
7．请制作如图所示的纸帽，使纸帽的高为30 cm，
底面半径为16 cm （要求画出纸帽的侧面展开图的示意
图，并标明尺寸）.
（第7 题图）
（第1 题图）
（第5 题图）
104
第3 章
投影与视图
上一节我们知道在正投影下，当物体的某个面平行于投影面时，这个面的
正投影不改变这个面的形状和大小. 按照这个原理，当我们从某一角度观察物
体在这种正投影下的像就称为该物体的一个视图.
可以采用下述方法来画圆柱的视图.
影子是圆的物体可以是圆盘，可以是球，
在正午的阳光下，还可以是立着的圆柱，……
单凭在地面上的影子，不可以确定物
体的形状.
三视图
3.3
如图3-18，在正午的阳光下，一个物体在
地面上的影子是一个圆，你能确定这个物体的
形状吗？
因此，只从一个方向看物体，不能确定物体的形状，应该从多个方向对
物体进行观察.
制造一个圆柱形家具，为了让工人师傅知道工件的准确形
状和大小，设计人员应该如何画出这个工件的图呢？
图3-18
105
数学
九年级下册
第一步：从前往后看，画出圆柱在立于它的后面的竖直平面上的正投影，
如图3-19，这称为“主视图”. 通俗地说，就是从圆柱的正面看这个圆柱.
第二步：从左往右看，画出圆柱在立于它的右边的竖直平面上的正投影，
这称为“左视图”. 通俗地说，就是从圆柱的左面看这个圆柱.
第三步：从上往下看，画出圆柱在置于它的下方的水平面上的正投影，这
称为“俯视图”. 通俗地说，就是从圆柱的上面看这个圆柱.
图3-19
图3-20
在画三视图时，俯视图
在主视图的下边，左视图在
主视图的右边.
为表示圆柱、圆锥、球等几何体的对称轴，可在视图中加画点划线.
从前后、左右、上下三个方向观察物体，能够比较全面地了解物体的大小
和形状，我们把主视图、左视图、俯视图统称为“三视图”. 如图3-20，即为
圆柱的三视图.
106
第3 章
投影与视图
图3-21
例1 画球的三视图（如图3-21）.
分析
一个球无论在哪个平面上的正投影都是圆，并且
圆的半径与球的半径相等，所以球的主视图、左视图、俯视
图都是半径与球的半径相等的圆及其内部.
解
这个球的三视图如图3-22 所示.
例2 画圆锥的三视图（如图3-23）．
分析
从正面看这个圆锥，它的投影是一个等腰三角形及其内部；从左
面看这个圆锥，它的投影是和主视图一样的等腰三角形及其内部；从上面看
这个圆锥，它的投影是一个圆及其内部，其中圆锥顶点的投影是这个圆的圆心.
解
这个圆锥的三视图如图3-24 所示.
图3-23
图3-24
图3-22
107
数学
九年级下册
图3-26
图3-25
例3 如图3-25，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱，画出它的三视图．
分析
从正面看，这个正三棱柱的投影是一个矩形及其内部，其中侧棱
C1C 的投影是这个矩形的上、下两边中点的连线段，由于看不见，因此用虚
线表示；从左面看，这个正三棱柱的投影是一个矩形及其内部；从上面看，这
个正三棱柱的投影是正三角形及其内部.
解
这个正三棱柱的三视图如图3-26 所示.
三视图可以反映物体在各个方向的形状与大小，因此设计人员可以把设计
的作品用三视图表示出来，再交由工人去制造. 你能根据简单物体的三视图描
述几何体吗？
练习
（第1 题图）
（第2 题图）
1. 画出如图摆放的正三棱柱的三视图.
2. 画出如图所示物体的三视图.
你能看出这个正三棱
柱的主视图与左视图的区
别吗？
108
第3 章
投影与视图
1. 图3-27 所给的三视图表示什么立体图形？
图3-27
2. 图3-28 所给的三视图表示什么立体图形？
从正面、上面看立
体图形，图像都是矩形，
从左面看是圆，因此这
个物体是圆柱.
图3-28
图3-29
例4 根据图3-29 所给的三视图描述物体的形状.
从三个方向看立体图形，
图像都是矩形，因此这个物
体是长方体.
由三视图想象立体图形，要先根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形
的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形.
109
数学
九年级下册
分析
由主视图可知，物体的正面是矩形的样子，且中
间有两条棱（实线）可见到；由俯视图可知，由上向下看物体
是正六边形的样子；由左视图可知，物体的侧面是矩形的样
子，且中间有一条棱可见到. 综合各视图可知，该物体是正
六棱柱.
解
物体是正六棱柱，如图3-30 所示.
图3-30
1. 下图所给的三视图表示什么立体图形？
（1）
练习
例5 如图3-31是一个零件的三视图，试描述出这个零件的形状.
图3-31
解
这个零件由两部分组成：上面是一个圆柱，下面是一个长方体，圆柱
立于长方体的中央（如图3-32）.
图3-32
110
第3 章
投影与视图
（2）
（第1 题图）
2. 用四块一样的正方体，根据下图所示的三视图，摆出它表示的立体
图形.
（第2 题图）
习题3.3
A!组
1．画出下列立体图形的三视图：
（第1 题图）
111
数学
九年级下册
2. 如图，空心圆柱的左视图是（
）
3．如图，将两个大小完全相同的杯子叠放在一起，则该实物的俯视图是
（
）
4．如图是一个物体的三视图，试描述这
个物体的形状. 现实生活中什么样的物体像
这种几何体？
（第4 题图）
B!组
5．画出下图中立体图形的三视图.
（第5 题图）
（1）
（第3 题图）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）
（3）
（第2 题图）
（A）
（B）
（C）
112
第3 章
投影与视图
（第7 题图）
（第6 题图）
7．根据下图所给的三视图描述物体的形状.
6．如图是一个直三棱柱，它的底面是一个直角三角形及其内部，两条
直角边长分别为3 cm，4 cm，直三棱柱的高为6 cm.
画出这个直三棱柱的
三视图.
113
数学
九年级下册
1. 试结合生活实例说明什么是中心投影，什么是平行投影.
2. 什么是正投影？正投影有什么性质？
3. 三视图包括哪三个方向的视图？
4. 怎样根据三视图想象和描述物体的形状？
5. 直棱柱、圆锥的侧面展开图是什么图形？你能根据展开图想象和制作实
物模型吗？
小结与复习
回顾
1. 在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，称为“正投影” . 当物体
的某个面平行于投影面时，这个面的正投影不改变这个面的形状和大小，三视
图就是根据这个原理来反映物体的形状的.
2. 三视图的位置有规定：俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边.
注意
本章知识结构
投影
（光照）
立体图形
（实物）
想
象
三视图
中心投影（点光源）
正投影
平行投影（平行光）
直棱柱、圆锥的侧面展开图
114
第3 章
投影与视图
复习题3
A 组
1．
（1）某日的上午或下午，观察在太阳光线下，一根直立在地面上的棍
子，它的影子是不是一条线段？
（2）观察在路灯下，一根直立在地面上的棍子，它的影子是不是一条线段？
由（1）、（2）小题，你能猜测在平行投影或中心投影下，在同一条直线上
的点，它们的像是否仍在同一条直线上？
2．如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌
面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图. 已知桌面的直径为1.2 m，桌面距
离地面1 m，若灯泡距离地面3 m，求地面上的投影面积（精确到0.01 m2）．
3.
（1）已知一个底面为正方形的直棱柱的侧面展开图是一个边长为8 的
正方形，求这个直棱柱的表面积和体积；
（2）已知一个圆锥的底面半径为3 cm，它的侧面展开图是圆心角为120°的
扇形，求圆锥的侧面积.
4．下列四个立体图形中，它们各自的三视图有两个相同，而另一个不同的
是（
）
（A）①②
（B）②③
（C）②④
（D）③④
①正方体
②圆柱
③圆锥
④球
（第4 题图）
（第2 题图）
115
数学
九年级下册
5. 由若干个相同的小立方体搭成的物体的三视图如图所示，求搭成这个物
体的小立方体的个数是多少.
6. 一个物体的三视图如下，其中主视图和左视图都是腰长为3、底边为2 的
等腰三角形，根据三视图求这个物体的表面积，并画出该物体的侧面展开图.
7. 设计一个你喜欢的笔筒，画出三视图和侧面展开图，并制作笔筒模型.
（第5 题图）
（第6 题图）
（第7 题图）
116
第3 章
投影与视图
9. 如图为一机器零件的三视图.
（1）请写出符合这个机器零件形状的几
何体的名称；
（2）若俯视图中三角形为等边三角形，
那么请根据图中所标的尺寸，画出该零件的
侧面展开图，并计算其表面积.
C 组
10.
（1）如图（a），一个正四棱柱的底面边长为4 cm，侧棱长为6 cm. 一只蚂
蚁从棱柱的底面A 处沿着侧面爬到C′处，蚂蚁怎样爬路程最短？
（2）如图（b），一个圆锥底面圆周A 处有一只蚂蚁，它要沿圆锥侧面爬一圈后
回到A 处，请你结合圆锥的侧面展开图设计一条最短路径.
（第9 题图）
10
5
B!组
8．如图，人行道上有一路灯杆AB，其顶端A 点发出灯光. 小芳和小明沿人
行道直行，当小芳在点D 处时，小明测得她的影长DF=3 m，小芳继续前行到达
F 处，此时测得她的影长FG=4 m，如果小芳的身高为1.6 m，求路灯杆AB 的高.
（第8 题图）
（第10 题图）
（a）
（b）
A
B
G
C
D
E
F
117
数学
九年级下册
概
率
足球比赛前，主裁判用抛硬币的方式决定甲、乙两队谁
先选边."这种做法，对甲、乙双方都公平吗？
在自然界和人类社会中有许多现象具有这样的特点：
在基本条件相同的情况下，却可能出现不同的结果，究竟
出现哪一种结果，随机遇而定."这类现象称为随机现象."而
随机事件的可能性有大小之分，如何用一个数值来表示呢？
这就需要学习本章的新知识——
—概率.
第章
4
118
第4 章
概
率
随机事件与可能性
4.1
1. 晴天的早晨，太阳一定从东边升起来吗？
2. 通常，在1 个标准大气压下，水加热到100 ℃会
沸腾吗？
3. “种瓜” 能“收豆” 吗？
4. 买1 张福利彩票，开奖后，一定能中奖吗？
5. 掷一枚均匀硬币，落下时，一定是正面朝上吗？
举出你在日常生活中见到的随机现象的例子.
问题1，2 的回答都是“一定”，问题3 的回答是“一定不” . 在一定条件
下，必然发生的事件称为必然事件；一定不发生的事件称为不可能事件. 必然
事件与不可能事件统称为确定性事件.
问题4，5 的回答都是“不一定”，买1 张彩票，开奖后，可能中奖，也可
能没有中奖；掷一枚硬币，落下时，可能正面朝上，也可能反面朝上. 像这样
的一类现象，在基本条件相同的情况下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一
种结果，随“机遇” 而定，带有偶然性，这类现象称为随机现象. 在随机现象
中，如果一件事情可能发生，也可能不发生，那么称这件事情是随机事件.
通常，确定性事件和随机事件统称为事件，一般用大写英文字母A，B，…
表示.
经过有信号灯的十字路口时，
可能遇到红灯，也可能遇到绿灯.
我每次跑50 m 的时间.
119
数学
九年级下册
1. 掷一枚均匀硬币，当硬币落地后，是“正面朝上” 的可能性大，还是
“反面朝上” 的可能性大？
2. 一个袋中装有8 个球：5 红3 白，球的大小和质地完全相同. 搅均匀
后，从袋中任意取出一球，是“取得红球” 的可能性大，还是“取得白球”
的可能性大？
掷一枚均匀骰子（如图4-1），骰子的6 个面上分别刻有
1，2，3，4，5，6的点数，试问：下列哪些是必然事件，
哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）出现的点数大于0；
（2）出现的点数为7；
（3）出现的点数为3.
我们可以重复进行掷骰子试验，从试验结果可以发现，每次掷骰子的结果
不一定相同，1，2，3，4，5，6 点这6 种情况都有可能出现. 因此，事件（1）
是必然事件；而骰子中的6 个面上没有7 点，因此事件（2）是不可能事件；事件
（3）可能发生，也可能不发生，因此这是随机事件.
练习
下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）掷一枚6 个面上分别刻有1，2，…，6 点的均匀骰子，朝上一面的
点数是偶数；
（2）在全是红球的袋中任意摸出一球，结果是白球；
（3）地球绕着太阳转.
对于问题1，由于硬币是均匀的，没有理由说明哪一个面朝上的可能性更
大，所以，硬币出现“正面朝上” 和“反面朝上” 的可能性是一样大的.
图4-1
120
第4 章
概
率
对于问题2，一次摸球可能“摸出红球”，也可能“摸出白球”，但是，袋
中的红球多于白球，又已经搅均匀，所以“摸出红球” 的可能性大于“摸出
白球” 的可能性.
例1
例
如图4-2，一个质地均匀的小立方体有6 个面，
其中1 个面涂成红色，2 个面涂成黄色，3 个面涂成蓝色.
在桌面掷这个小立方体，正面朝上的颜色可能出现哪些结
果？这些结果发生的可能性一样大吗？
解
小立方体落在桌面后，可能出现：
“红色朝上”
“黄色朝上”
“蓝色朝上” 这3 种情况.
由于小立方体涂成蓝色的面最多，黄色次之，红色最少，因此，发生“蓝
色朝上” 的可能性最大，发生“黄色朝上” 的可能性次之，发生“红色朝上”
的可能性最小.
想一想，若请你来设计这个小立方体的颜色，你有什么办法可使得“红色
朝上”
“黄色朝上”
“蓝色朝上” 的可能性一样大？
图4-2
袋中装有许多大小、质地都相同的球，搅均匀后，从中取出10 个球，
发现有7 个红球、3 个白球；将取出的球放回后搅乱，又取出10 个球，发现
有8 个红球、2 个白球.
（1）是否可以认为袋中的红球有可能比白球多？
（2）能否肯定袋中的红球一定比白球多？
（3）袋中还可能有其他颜色的球吗？
取球有一定的偶然性，因此袋
中有可能还有其他颜色的球，只是
这两次取球还没有取到它们.
从两次取球的情况分析，因为每次取得的红球多，所以
我猜想袋中的红球很可能比白球多，因而取得红球的可能性
大；但每次取球都是搅乱后随意取出的，不可避免带有偶然
性，所以不能绝对肯定红球一定比白球多.
121
数学
九年级下册
练习
1. 比较下列随机事件发生的可能性大小.
（1）如图，转动一个能自由转动的转盘，指针指
向红色区域和指向白色区域；
（2）小明和小亮做掷硬币的游戏，他们商定：将
一枚硬币掷两次，如果两次朝上的面相同，那么小
明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜. 谁
获胜的可能性大？
2. 10 张扑克牌中有3 张黑桃、2 张方片、5 张红桃. 从中任意抽取一张，
抽到哪一种花色牌的可能性最大？抽到哪一种花色牌的可能性最小？
（第1题图）
习题4.1
A!组
1. 下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）打开电视机，正在播放新闻；
（2）树上掉下的苹果落到地面；
（3）种瓜得瓜；
（4）三角形三边之长为4 cm，5 cm，10 cm；
（5）买一张长途汽车票，座位号是奇数号；
（6）掷两枚均匀骰子，点数之和为8 点.
2. 从分别写有1，2，…，49，50 的50 张卡片中任取一张，试比较随机事
件A，B 的可能性的大小.
（1）A：取出的卡片上的数是奇数；
B：取出的卡片上的数是偶数.
（2）A：取出的卡片上的数是3 的倍数；
B：取出的卡片上的数是5 的倍数.
122
第4 章
概
率
3. 一个盒子里有3 个红球、2 个绿球和4 个黄球，
球的大小、质地完全相同，搅均匀后从盒中随机地摸出
1 个球.
（1）每种颜色球被取出的可能性一样大吗？
（2）你能怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球
被取出的可能性一样大？
B!组
4. 甲、乙两人练习投篮，各投50 次，甲投中40 次，乙投中27 次，若两
人各再投一次，你认为谁投中的可能性较大？他一定能投中吗？
5. 李伟、王亮、张明三人得到朋友送来的一张电影票. 这张票该给谁，一
时不好确定. 李伟出了个主意，他说：“我们来掷两枚硬币，如果出现两个正
面，票就给王亮；如果出现两个反面，就给张明；如果一正一反，票就归我
了.” 王亮忙说：“这个办法好，我赞成. 掷两枚硬币刚好有三种结果，票也正
好分给我们三人中的一个.” 李伟的方法公平吗？
6. 用硬纸板做一个小正方体，并在正方体的6 个面上各写上1 个数字，使
掷出“1” 朝上的可能性比掷出“7” 朝上的可能性大.
（第3 题图）
（第6 题图）
123
数学
九年级下册
在同样的条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生，那么，它发生
的可能性究竟有多大？能否用数值来进行刻画呢？
我们来看两个试验：
1. 在一个箱子里放有1 个白球和1 个红球，它们除颜色外，大小、质地都
相同. 从箱子中随机取出1 个球，它可能是红球也可能是白球，由于球的大小
和质地都相同，又是随机摸取，所以每个球被取到的可能性是一样大的. 很自
然地，我们用１
２表示取到红球的可能性，同理，取到白球的可能性也是１
２.
2. 一个能自由转动的游戏转盘如图4-3 所示，红、
黄、绿3 个扇形的圆心角度数均为120°，让转盘自由
转动，当它停止后，指针指向的区域可能是红色、黄
色、绿色这3 种情况中的1 种. 由于每个扇形的圆心角
度数相等，对指针指向“红色区域”
“黄色区域”
“绿
色区域” 这3 个事件，发生的条件完全相同，所以出现
每种情况的可能性大小相等. 很自然地，我们用１
3 表示
指针指向红色区域、黄色区域和绿色区域的可能性大小.
上述例子和其他大量例子表明，在随机现象中，出现的每一个结果的可能
性大小，能够用一个不超过1 的非负数来刻画. 一般地，对于一个随机事件
A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率
（probability），记为P（A）.
例如，上述摸球试验中，P （摸出红球）= １
２，P （摸出白球）= １
２.
又如，在转盘试验中，P （指针指向红色区域）= １
3 ，……
4郾2郾1 概率的概念
概率及其计算
4.2
图4-3
124
第4 章
概
率
（1）在上述试验中，可能取出序号为1，2，3，4，5 中的任意一个小纸
团，而且这5 个纸团被取出的可能性都相等.
（2）
“取出数字3” 是随机事件，它包含5 种可能结果中的1 种可能结果，
因此，P （取出数字3）= 1
5 .
（3）
“取出数字小于4” 是随机事件，它包含5 种可能结果中的3 种可能
结果，即取出数字1，2，3，
因此，P （取出数字小于4）= 3
5 .
（4）
“取出数字小于6” 是必然事件，它包含全部5 种可能结果，即取出
数字1，2，3，4，5，无论取到其中的哪个数字都小于6,
因此，P （取出数字小于6）= 5
5 = 1.
（5）由于盒子中没有数字“6” 这个小纸团，因此，这一事件是不可能事
件，它包含的结果数是0，因此，P （取出数字6）= 0
5 = 0.
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，其中每一种结果发生的
可能性相等，那么出现每一种结果的概率都是1
n . 如果事件A 包含其中的m 种
可能的结果，那么事件A 发生的概率
P（A）= 1
n + 1
n + … + 1
n = m
n .
把分别写有数字１，２，３，４，５的5 张一样的小纸片捻成小纸团放进盒
子里，摇匀后，随机取出一个小纸团，试问：
（1）取出的序号可能出现几种结果，每一个小纸团被取出的可能性一样吗？
（2）
“取出数字3” 是什么事件？它的概率是多少？
（3）
“取出数字小于4” 是什么事件？它的概率是多少？
（4）
“取出数字小于6” 是什么事件？它的概率是多少？
（5）
“取出数字6” 是什么事件？它的概率是多少？
ｍ个
事件A 包含的可能结果数
一次试验所有可能出现的结果数
①
125
数学
九年级下册
在①式中，由m 和n 的含义可知0 ≤m ≤n ，因此0 ≤m
n ≤1 ，
即0 ≤P （A ）≤1 .
特别地，当A 为必然事件时，P （A ）= 1 ；
当A 为不可能事件时，P （A ）= 0 .
事件发生的概率越大，则该事件就越有可能发生.
例1 假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面（即正面朝
上），第二枚出现反面，就记为（正，反），如此类推（如图4-4）.
.
.
事件发生的可能性越来越大
不可能事件
事件发生的可能性越来越小
必然事件
0
概率为
1
概率为
（1）写出掷两枚硬币的所有可能结果.
（2）写出下列随机事件发生的所有可能结果.
A：“两枚都出现反面”；
B：“一枚出现正面、一枚出现反面”；
C：“至少有一枚出现反面”.
（3）求事件A，B，C 的概率.
解
（1）掷两枚均匀硬币，所有可能的结果有4 个，即（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反），而且这4 个结果出现的可能性相等.
（2）A，B，C 事件发生的所有可能结果分别是：
A：
（反，反）；
B：
（正，反），（反，正）；
C：
（反，正），（正，反），（反，反）.
（3）由（1）、（2）可知，
P（A）= １
4 ，P（B）= 2
4 = １
2 ，P（C）= 3
4 .
图4-4
126
第4 章
概
率
1. 掷一枚均匀的骰子，骰子的6 个面上分别刻有1，2，3，4，5，
6 点，求下列事件的概率：
（1）点数为3；
（2）点数为偶数；
（3）点数为7；
（4）点数大于2 小于6.
2. 一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如
图所示的方格地面上（每个小方格都是边长相等
的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率
为___________．
（第2题图）
练习
4郾2郾2 用列举法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可
能性都相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件的概率.
李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数之和为奇数，则李明赢；
如果两枚骰子的点数之和为偶数，则刘英赢. 这个游戏对双方公平吗？
游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相等. 各掷一枚骰子，可能出现的
结果数目较多，为了不重不漏地列举所有可能的结果，通常采用列表法.
我们可以把掷两枚骰子的全部可能结果列表如下：
127
数学
九年级下册
从表中可以看出，所有可能结果共有36 个. 由于骰子是均匀的，这些结
果出现的可能性相等.
由上表可知，两枚骰子的点数之和为偶数的可能结果有18 个（即表中的蓝色
格子），而两枚骰子的点数之和为奇数的可能结果有18 个（即表中的红色格子）.
因此，P （点数之和为偶数）= 18
36 = 1
2 ；P （点数之和为奇数）= 18
36 = 1
2 .
由此可见，这个游戏对双方而言是公平的.
1 点
2 点
3 点
4 点
5 点
6 点
1 点
2 点
3 点
4 点
5 点
6 点
第二枚
第一枚
2
点数之和
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
图4-5
R1
R2
W1
W2
（R1，R2）
（R1，W1）
（R1，W2）
R1
R2
W1
W2
第2 次
第1 次
如图4-5，袋中装有大小和质地都相同的4 个球：2 红2 白. 从中依次任
意取出2 个球（第1 次取出的球不放回袋中），求下列事件的概率：
A：取出的2 个球同色；
B：取出2 个白球.
（1）列表列举.
用R1，R2 表示两红球；用W1，W2 表示两白球；
用（R1，W2）表示第1 次取出红球R1，不放回即取第
2 次，取得白球W2，如此类推.
将所有可能结果填在下面的表中：
128
第4 章
概
率
共有
个可能结果.
（2）写出各指定事件发生的可能结果：
A：取出的2 个球同色
（共
种）；
B：取出2 个白球
（共
种）.
（3）指定事件的概率为
P（A）＝
，P（B）＝
.
1. 如图，有三条绳子穿过一块木板，姐妹两
人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段
绳子．若每边每段绳子被选中的机会相等，则两
人选到同一条绳子的概率为多少？
2. 小军同时抛掷两枚骰子，求两枚骰子点数
之和小于7 的概率.
练习
小明和小华做“剪刀、石头、布” 的游戏，游戏规则是：若两人出的不
同，则石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头；若两人出的相同，则为平局.
（1）怎样表示和列举一次游戏的所有可能的结果？
（2）用A，B，C 表示指定事件：
A：“小明胜”；
B：“小华胜”；
C：“平局”.
求事件A，B，C 的概率.
（1）为了不重不漏地列出所有可能的结果，除了列表法，我们还可以借助
树状图法.
（第1题图）
129
数学
九年级下册
小明
小华
结果
石头
（石头，石头）
石头
剪刀
（石头，剪刀）
布
（石头，布）
石头
（剪刀，石头）
剪刀
剪刀
（剪刀，剪刀）
布
（剪刀，布）
石头
（布，石头）
布
剪刀
（布，剪刀）
布
（布，布）
一次游戏共有9 个可能结果，而且它们出现的可能性相等.
（2）事件A 发生的所有可能结果：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头）；
事件B 发生的所有可能结果：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀）；
事件C 发生的所有可能结果：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布）.
因此P （A）= 3
9 = 1
3 ，P （B）= 3
9 = 1
3 ，P （C）= 3
9 = 1
3 .
例2
如图4-6，甲、乙、丙三人做传球的
游戏. 开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人
将球任意传给其余两人中的一人，如此传球3 次.
（1）写出3 次传球的所有可能结果（即传球的
方式）；
（2）指定事件A：“传球3 次后，球又回到甲
的手中”，写出A 发生的所有可能结果；
（3）求P（A）.
解
（1）一种可能传球的方式（结果）是：甲传给乙、乙传给丙、丙又传
给甲，即球依次落入乙、丙、甲手中，记为（乙，丙，甲）.
图4-6
130
第4 章
概
率
我们可以用“树状图” 表示所有可能结果：
共有8 个可能结果，而且它们出现的可能性相等.
（2）传球3 次后，球又回到甲手中，即事件A 发生有2 个可能结果：
（乙，丙，甲），
（丙，乙，甲）.
（3）P（A）= 2
8 = 0.25.
丙
乙
开始：甲
乙
甲
丙
甲
甲
（丙，乙，甲）
丙
（丙，乙，丙）
乙
（乙，甲，乙）
丙
（乙，甲，丙）
甲
（乙，丙，甲）
乙
（乙，丙，乙）
乙
（丙，甲，乙）
丙
（丙，甲，丙）
结果
第3 次
第2 次
第1 次
练习
（第1题图）
1. 如图，小球从A 入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可
能，且可能性相等. 用树状图法求小球从E 点落出的概率.
2. 如图，从车站到书城有A1，A2，A3 三条路线可走，从书城到广场有
B1，B2 两条路线可走，现让你随机选择一条从车站出发经过书城到达广场的
行走路线，那么恰好选到经过路线B1 的概率是多少？
（第2题图）
A1
A2
A3
B1
B2
131
数学
九年级下册
习题4.2
A!组
1. 小明给小华打电话，但电话本中电话号码的最后一位已模糊不清.
（1）当小明拨到最后一位时，随意拨了一个数，求电话能打通的概率；
（2）若电话号码的最后一位是偶数，当他拨到最后一位时，随意拨了一个
偶数，求电话能打通的概率.
2. 如图是一个能自由转动的正五边形转盘，指针的位置
固定，让转盘自由转动，当转盘停止后，观察指针指向区域
内的数，求下列事件的概率：
（1）这个数是一个偶数；
（2）这个数是一个奇数；
（3）这个数大于5；
（4）这个数小于4.
3. 同时抛掷两枚均匀的正四面体骰子，骰子的4 个面上分别刻有1 , 2 , 3 , 4
点，求下列事件的概率：
（1）骰子着地一面出现的点数之和为偶数；
（2）骰子着地一面出现的点数之和为奇数.
4. 根据某合唱比赛的比赛规则，每个参赛的合唱团在比赛时须演唱4 首歌
曲. 爱乐合唱团已确定了2 首歌曲，还需在A，B 两首歌曲中确定一首，在C，
D 两首歌曲中确定另一首，求同时确定A，C 为参赛歌曲的概率.
5. 小刚参观上海世博会，他上午从A — 中国馆、B —沙特馆、C —美国馆
中任意选择一处参观，下午从D —韩国馆、E — 英国馆、F —德国馆中任意选
择一处参观．
（1）请用列举的方法分析并写出小刚所有可能的参观方式；
（2）求小刚上午和下午都恰好参观亚洲国家展馆的概率．
（第2 题图）
上海世博会全景
132
第4 章
概
率
我让你们先抽，如果你们
都没抽中，那就是我去参赛了.
抽签有先有后，先抽的人与后抽的人中签的概率一样大吗？请用树状图法
列出所有中签的可能结果，并分析这几名同学的看法是否有道理.
（提示：假设三名同学抽签的顺序为甲、乙、丙，3 张纸条中，画有记号的
纸条记作A，其余2 张纸条分别记作B1 和B2 .）
中签的机会应
该是一样大的吧.
先下手为强，我先抽，抽
中了，后面的人就没机会了.
B!组
6. 从-2，-1，2 这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，求该点在
第四象限的概率.
7. 在一个袋中有4 个大小和质地都相同的小球，把它们分别标号为
1，2，3，4，小明和小强采取的摸取方法分别是：
小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记
下标号；
小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机摸取一个小球，记下
标号．
（1）请用列举的方法分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；
（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5 的概率．
8. 某班要从三名同学中选取一名参加“践行社会主义核心价值观知识抢答
赛”，因为他们的水平相当，所以准备采取抽签的方式来决定谁作为班级代表
参赛. 即准备3 张相同的纸条，只在其中1 张纸条上画上记号，并把它们折叠
好放在一个盒子中搅匀，然后让三名同学先后去抽签.
133
数学
九年级下册
图4-7
（1）抛掷一枚均匀硬币400 次，每隔50 次，分别记录“正面朝上” 和
“反面朝上” 的次数，汇总数据后，完成下表：
（2）根据上表的数据，在图4-7 中画折线统计图表示“正面朝上” 的
频率.
（3）在图4-7 中，用红笔画出表示频率为１
２的直线，你发现了什么？
累计抛掷次数
“正面朝上” 的频数
“正面朝上” 的频率
50
100
150
200
250
300
350
400
用频率估计概率
4.3
我们知道，抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，出现“正面朝上” 的可能性
和“反面朝上” 的可能性是一样的，即“正面朝上” 的概率和“反面朝上” 的
概率都是１
２. 在实际掷硬币时，会出现什么情况？若只抛一次说明不了什么问
题，我们不妨多抛掷几次试试.
134
第4 章
概
率
可以看出，随着掷硬币次数的增加，
“正面
朝上” 的频率稳定在１
２左右.
看来用频率估计硬币出现“正
面朝上” 的概率是合理的.
在一块平整地板上抛掷一个矿泉水瓶盖，瓶盖落地后有两种可能情况：
“开口朝上” 和“开口不朝上”.
由于瓶盖头重脚轻，上下不对称，
“开口朝上” 和“开口不朝上” 的可
能性一样吗？如果不一样，出现哪种情况的可能性大一些？
我们借助重复试验来解决这个问题.
蒲丰（Bｕｆｆｏｎ）
皮尔逊（Ｐｅａｒｓｏｎ）
试验者
皮尔逊（Ｐｅａｒｓｏｎ）
掷硬币次数
!!４０４０
１２０００
２４０００
正面朝上的次数
!!２０４８
!!６０１９
１２０１２
频
率
０．５０６９
０．５０１６
０．５００５
（4）下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，这些数据支持
你发现的规律吗？
上面的例子说明，通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计
该事件发生的概率.
对于掷硬币试验，它的所有可能结果只有两个，而且出现两种可能结果的
可能性相等，而对于一般的随机事件，当试验所有的可能结果不是有限个，或
者各种可能结果发生的可能性不相等时，就不能用4.2 节的方法来求概率. 频
率是否可以估计该随机事件的概率呢？
我们再来做一个抛瓶盖试验.
135
数学
九年级下册
研究随机现象与随机事件的基本方法就是重复地对现象进行观察，在n 次
观察中，如果某个随机事件发生了m 次，则在这n 次观察中这个事件发生的
频率为m
n . 如果随机事件发生的概率（即可能性）大，则它在多次的重复观察中
出现的次数就越多，因而其频率就大，所以频率在一定程度上也反映了随机事
件的可能性的大小.
可以发现，在抛瓶盖试验中，“开口朝上” 的频率m
n 一般会随着抛掷次数
的增加，稳定在某个常数p 附近. 这个常数就是“开口朝上” 发生的可能性，
（2）根据上表中的数据，在图4-8 中画折线统计图表示“开口朝上” 的
频率.
（3）观察图4-8，随着抛掷次数的增加，
“开口朝上” 的频率是如何变
化的？
（4）该试验中，是“开口朝上” 的可能性大还是“开口不朝上” 的可能
性大？
图4-8
累计抛掷次数
“开口朝上” 的频数
“开口朝上” 的频率
80
160
240
320
400
480
（1）全班同学分成6 组，每组同学依次抛掷瓶盖80 次，观察瓶盖着地时
的情况，并根据全班试验结果填写下表：
136
第4 章
概
率
例
瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧
制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制
前无法预知，所以这是一种随机现象. 而烧制的结果是“合格品” 是一个随机
事件，这个事件的概率称为“合格品率”.
由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品” 的频率作为“合格品
率” 的估计.
抽取瓷砖数n
合格品数m
合格品频率m
n
100
95
200
192
300
287
400
385
500
481
600
577
800
770
1 000
961
2 000
1 924
（1）计算上表中合格品的各频率（精确到0.001）；
（2）估计这种瓷砖的合格品率（精确到0.01）；
（3）若该工厂本月生产该型号瓷砖500 000 块，试估计合格品数.
解
（1）逐项计算，填表如下：
抽取瓷砖数n
合格品数m
合格品频率m
n
100
95
200
192
300
287
400
385
500
481
600
577
800
770
1 000
961
2 000
1 924
0.950
0.960
0.957
0.963
0.962
0.962
0.963
0.961
0.962
某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下：
即事件“开口朝上” 的概率. 所以，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频
率为m
n ，那么用m
n 作为事件A 发生的概率的估计是合理的.
在抛瓶盖试验中，
“开口朝上” 的频率稳定于哪一个数值？你能估计出瓶
盖“开口朝上” 的概率吗？
需要指出的是，频率和概率都是随机事件可能性大小的定量的刻画，但频
率与试验次数及具体的试验有关，因此，频率具有随机性；而概率是刻画随机
事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性. 因此，掷100
次硬币并不一定能得到“正面朝上” 的频率是1
2 和“反面朝上” 的频率是1
2 .
137
数学
九年级下册
练习
（2）观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n ≥400 时，合格品频率m
n 稳
定在0.962 的附近，所以我们可取p = 0.96 作为该型号瓷砖的合格品率的估计.
（3）500 000 × 96% = 480 000（块），可以估计该型号合格品数为480 000 块.
如图是一个能自由转动的转盘，盘面被分成8 个相同
的扇形，颜色分为红、黄、蓝3 种. 转盘的指针固定，让
转盘自由转动，当它停止后，记下指针指向的颜色．如此
重复做50 次，把结果记录在下表中：
红
色
频
数
频
率
黄
色
蓝
色
（1）试估计当圆盘停下来时，指针指向黄色的概率是多少？
（2）如果自由转动圆盘240 次，那么指针指向黄色的次数大约是多少？
习题4.3
A!组
2郾北京市天气预报“明天降水概率１０％”，请说说这是什么意思. 北京市的
居民在明天出门时需不需要带雨具？
１郾某校进行篮球“３分球” 比赛，下表是对某篮球队员进行测试的结果：
（１）根据上表，估计该运动员投３分球命中的概率是多少（精确到0.1）；
（２）根据上表，假设该运动员在一场比赛中有2０次投３分球的机会，估计他
能得多少分.
投篮次数
１０
５０
１００
１５０
２００
９
４０
７０
１０８
１４４
命中次数
颜
色
138
第4 章
概
率
出现的结果
（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）
每种结果出
现的次数
4郾全组同学做掷一枚硬币两次的试验，要求每人做３０次，把全组出现每
一种可能结果的次数填写在下表中：
根据上表，估计：掷一枚硬币两次，分别出现（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反）的概率各是多少？
B!组
5郾某地发行一种福利彩票，中奖概率是千分之一．
请说说这是什么意思. 买这种彩票１０００张，一定会中
奖吗？
6郾下表是某地1 月份的平均温度，统计了１６８年：
（１）1 月份的平均温度是多少摄氏度时，出现的次数最多？
（２）1 月份的平均温度在－７～－１℃的频率是多少？
（３）1 月份的平均温度在－７～－１℃的概率约为多少？
温度/ ℃
－１８
次
数
－１４
－１３
－１２
－１１
－１０
－９
－８
－７
－６
１
１
３
２
２
２
１１
５
１３
８
温度/ ℃
－５
次
数
－４
－３
－２
－１
０
１
２
３
１９
２６
２０
１７
１５
１０
９
２
２
3郾某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
（1）计算上表中击中靶心的各个频率，并填入表格中；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？
射击次数
击中靶心次数
１０
２０
５０
１００
２００
５００
９
１９
４４
９１
１７８
４５１
击中靶心频率
139
数学
九年级下册
掷硬币是最简单也是最经典的随机试验. 在同样条件下，反复多次掷
一枚均匀的硬币，出现“正面朝上” 的次数大致是所掷总次数的一半. 实
际地拿一枚硬币真的去抛掷，要花去许多时间，如果我们借助计算机来模
拟这个试验，也将取得不错的效果.
操作步骤：
1. 打开Excel 软件，在A1 栏输入“= IF （RAND （）> 0.5, “正” ,
“反”）”，然后利用填充柄一直拖动到A5000. 这是让计算机随机生成[0,1]
之间的数，假设大于0.5，则认为是正面，否则就是反面.
2. 在B1 栏输入“=COUNTIF （A1:A5000，
“正”）/5000” , 在B2 栏输
入“=COUNTIF （A1:A5000，
“反”）/5000” . B1 和B2 分别是统计“正面
朝上” 和“反面朝上” 的频率.
3. 以B1 和B2 为数据源作柱形图.
4. 选择一个空白单元格，不断按Delete 键，那么A 列数据会不断更
新，从而B1，B2 数据更新，柱形图也在不断发生变化. 但变化是有规律
的，就是两个柱形图的高度总是在0.5 左右波动. 如图.
用计算机模拟掷硬币试验
请你动手在计算机上操作这个试验.
数学
九年级下册
140
第4 章
概
率
小结与复习
回顾
本章知识结构
1. 试举例说明什么是随机事件、不可能事件与必然事件.
2. 什么是事件A 发生的概率？
3. 如何用列表法和树状图法求随机事件的概率？
4. 说一说随机事件的概率与频率的区别与联系.
1. 概率是随机事件自身固有的性质，随机事件可能性大小可以用概率来
刻画，随机事件A 的概率P （A）满足：0 ≤P （A）≤1. 必然事件的概率为1，不
可能事件的概率为0，它们可看作随机事件的两种极端情形.
2. 频率和概率都是随机事件可能性大小的定量的刻画，概率是随机事件
自身的固有的性质. 当试验次数非常多时，在大多数情况下，频率与概率会
很接近，频率可以作为概率的估计.
不可能事件
用列举法求概率
事件
确定性事件
随机事件
概率的概念
必然事件
用频率估计概率
树状图法
列表法
注意
141
数学
九年级下册
复习题4
A 组
1郾下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）明天当地降水；
（2）抛掷硬币三次，全都正面朝上；
（3）抛两枚骰子，点数之和小于13；
（4）1 kg 棉花比1 kg 铁块轻；
（5）任意摸一把围棋子，恰好取得偶数个.
2郾100 个产品中有10 个是次品，从中随意取出1 个：
（1）取出的产品可能是次品吗？
（2）取出的产品为正品的可能性大，还是为次品的可能性大？
（3）如果从这100 个产品中随意取出10 个，在这10 个产品中，是“正品
数量多” 这一事件的可能性大，还是“次品数量多” 这一事件的可能性大？
3郾如图是一个能自由转动的转盘，盘面被分成8 个相同的扇形，颜色分为
红、黄、绿3 种. 指针的位置固定，让转盘自由转动，
当它停止后，求下列事件的概率：
（1）指针指向绿色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向黄色.
4郾在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道
该商品的价格，主持人要求他从右图的4 张卡片中任
意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，
该数就是他猜的价格．若商品的价格是360 元，求他一
次就能猜中的概率．
5郾如图，有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子（各面依次标有
1，2，3，4 四个数字）．游戏规则是游戏者每掷一次骰子，棋子按骰子着地一面
所示的数字前进相应的格
数．请用列表法（或树状
图法）求掷骰子两次后，
棋子恰好由起点前进6 格
到达A 处的概率.
（第3 题图）
（第4 题图）
（第5 题图）
142
第4 章
概
率
（第9题图）
则黄豆发芽的概率估计值是多少？
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频数m
n
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
6郾某科技小组做黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
B!组
7郾笔筒中有10 支笔，将它们逐一标上1～10 的号码，现在
若从笔筒中任意抽出1 支笔，则：
（１）抽到编号是3 的倍数的结果有几种？概率是多少？
（2）抽到编号是5 的倍数的结果有几种？概率是多少？
（3）抽到编号既是3 的倍数又是5 的倍数的结果有几种？
概率是多少？
8郾有5 、6 、7 三张纸牌，将这三张牌任意排成一个三位数，试问：
（１）共可排出几个不同的三位数？
（2）排出的三位数是奇数的概率是多少？
（3）排出的三位数是4 的倍数的概率是多少？
9郾如图，共有12 个大小相同的正方形，其中阴影部分的
5 个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余
的小正方形中任取一个涂上阴影，求能构成这个正方体的表面
展开图的概率.
10郾小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的
阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定. 游戏规则如下：连续抛掷
硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如
果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次
反面朝下，则小刚加入篮球阵营.
（1）用树状图法表示三次抛掷硬币的所有结果；
（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？
（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？
143
数学
九年级下册
C 组
12郾为了检验一枚骰子是否质地均匀，小李、小张、小王各投掷了100 次.
（1）若出现1，2，3，4，5，6 点的频率均是1
6 ，你认为这枚骰子质地均
匀吗？
（2）若出现1，2，3，4，5，6 点的频率各不相等，随后每人又加投100
次，出现各点的频率基本相同，你认为这枚骰子质地均匀吗？
11郾某地区在连续４６年中，每年干燥月份（即降水量低于这４６年的平均月降
水量）的统计情况如下表：
从上述统计表估计：
（１）一年中恰有５个月是干燥月份的概率是多少（精确到０郾０１，以下同此规
定）？
（２）一年中干燥月份小于７个月的概率是多少？
（３）一年中干燥月份大于９个月的概率是多少？
０
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
≥１１
９
９
７
３
２
２
０
０
０
１
５
８
每年干燥月份的月数
相应的年数
每年干燥月份的月数
相应的年数
144
第4 章
概
率
漫谈小概率事件
成语词典上对“万无一失” 的解释是：“比喻有绝对把握．” 这仅仅是
比喻而已．从数学上看，虽然一万无一失，但是也许一万零一次就失败
了呢？尽管可以“亿无一失”，但十亿次、百亿次后出现失误的可能性不
是依然存在吗？因此，
“万无一失” 只能说出现失败的可能性很小，毕
竟不能和“有绝对把握” 画等号．
概率论中把发生的概率很小的事件，称作“小概率事件”．小概率事
件是我们经常会碰到的事情．比如：
●某地的“福利彩票”，10 万户设一个特等奖，奖金为１００万元．
因此，中特等奖的概率是十万分之一．
●我国２０11 年因交通事故而死亡的人数为6.7 万余人．以全国人口
１３7 053 万计算，某人一年内因车祸死亡的概率约为二万分之一．
●生产某种零件，正品率要达到０．９９９９，意思是生产1 万个零件，
大约有1 个次品，即次品率为万分之一．
●完成一件任务，有九成把握，即“十
拿九稳”．此时成功的概率达到９
１０，失败的
概率为１
１０．
那么，多大的概率算“小概率”？这是因人、因地、因事而异的，没
有统一的标准．
中国古代军事学有“六十庙算” 的说法，意思是有六成把握就应该
攻打．实际上把０．４也看成小概率了．一般地说，９５％的把握是大家最常
见的底线．也就是说，０．０５通常被认为是小概率．但是这不可一概而论．
一台设备有１０００个零件是常见的．假如每个零件的合格率是０．９９９，
而且其中一个零件失效，就会导致整个系统失效．那么，整台设备正常
工作的概率只有
０．９９９１０００≈０．３６８．
第4 章
概
率145
这意味着这台机器只有１
３的时间能够正常使用．这样的产品怎么卖得出
去？如果是发射宇宙飞船，涉及的零件和部件非常之多，其可靠性的要
求必须非常严格．０．０００１的次品率已经很高，不是小概率事件了．
人们对于小概率事件的理解，还与人的心理因素有关．比如，有些
人觉得自己肯定会中奖（十万分之一），却认为绝对不会出车祸（二万分
之一）．
确实，如何对待小概率事件，是人们处理工作和生活问题的必备科
学素质．完全忽视小概率事件，会因麻痹大意而酿成大祸．但也不必过分
害怕小概率事件，以致谨小慎微，裹足不前．事实上，你不必因担心天
上的飞机会掉落在你的头上而忧心忡忡，但更不可因疏忽大意使飞机的
安全受到威胁．只有对具体的小概率事件做具体分析，科学地加以处理，
才能在“十拿九稳”
“万无一失”
“绝对把握” 等之间做出正确的抉择．
数学
九年级下册
146
二次函数
ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ3
抛物线
ｐａｒａｂｏｌａ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ9
圆
ｃｉｒｃｌｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ43
圆
心
ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ
43
半
径
ｒａｄｉｕｓ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ43
弦
ｃｈｏｒｄ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ
44
直
径
ｄｉａｍｅｔｅｒ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ44
弧
ａｒｃ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ44
劣
弧
ｍｉｎｏｒａｒｃ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ44
优
弧
ｍａｊｏｒａｒｃ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ44
圆心角
ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ47
圆周角
ｃｉｒｃｕｍｆｅｒｅｎｃｅａｎｇｌｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎ49
外接圆
ｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ62
外
心
ｃｉｒｃｕｍｃｅｎｔｅｒ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ62
内接三角形
ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｔｒｉａｎｇｌｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ62
切
线
ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ65
切
点
ｐｏｉｎｔｏｆｔａｎｇｅｎｃｙ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ65
内切圆
ｉｎｓｃｒｉｂｅｄｃｉｒｃｌｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ73
内
心
ｉｎｃｅｎｔｅｒ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ73
外切三角形
ｅｘｔｅｒｎａｌｌｙｔａｎｇｅｎｔｔｒｉａｎｇｌｅ
ｎｎｎｎｎｎｎ73
扇
形
ｓｅｃｔｏｒ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ79
正多边形
regular polygon
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ83
投
影
ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ95
平行投影
ｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ95
中心投影
ｃｅｎｔer ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ96
概
率
ｐrobability
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ124
（按词汇所在页码出现的先后排序）
数学词汇汉英对照表
数学词汇汉英对照表147
数学
九年级下册
本册教科书是依据教育部颁布的《义务教育数学课程标准》
（2011
年版），在原实验教科书的基础上修订而成的，经国家基础教育课程教
材专家工作委员会2013 年审查通过.
本书在修订过程中，吸收了基础教育课程改革实验的优秀成果，凝
聚了参与课程改革实验的广大数学家、数学课程专家、教研人员以及一
线教师的集体智慧. 一大批数学教师为本书的修订提出了宝贵的意见.
在此，对所有为本次修订提供过帮助和支持的社会各界朋友表示衷心的
感谢.
在本书出版之前，我们通过多种渠道与教科书所选用资料和图片的
作者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们表示诚挚的感
谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请这些作者尽快与我们联系，以
便支付稿酬.
教材建设是一项长期的任务，我们真诚地希望广大教师、学生及家
长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见，并将这些意见和建议及时
反馈给我们. 让我们携起手来，共同完成义务教育教科书建设这一光荣
的使命！
湖南教育出版社
2013 年5 月
后
记
数学
九年级下册
148
