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速算方法强化：等比例放缩 （笔记） 主讲教师：陶昶安 授课时间：2025.07.04 粉笔公考·官方微信 1 速算方法强化：等比例放缩（笔记） 【答案汇总】 1-5：CCBAB；6-10：BABCD；11-15：ABDDD 【注意】本节课讲解等比例放缩，如果在“超值6+1”课程中听过，并且掌 握得不错，可以不用听这节课；如果没听过或者掌握得不好，可以好好听一下。 目录 01 一步除法中的运用 02 多步乘除中的运用 03 分数差值中的运用 【注意】目录：等比例放缩应用比较多，常见以下三种情形。 1.一步除法中的运用：A/B。 2.多步乘除中的运用：A/B*C、A/B*（C/D）。 3.分数差值中的运用：A/B-C/D，分数作差用得多，而且好用，只能按照选 项差距小处理；分数作和用得不多，因为可以看选项差距。 01 一步除法中的运用 等比例放缩原理 1/5=[1*（1±10%）]/[5*（1±10%）]=（1±1*10%）/（5±5*10%）=（1± 0.1）/（5±0.5） 3/9= 5/2= 634/105≈6.0381 247/302≈0.8179 倍数越精准，误差越小；增减量越小，误差越小！ 【注意】等比例放缩原理： 1.1/5=[1*（1±10%）]/[5*（1±10%）]=（1±1*10%）/（5±5*10%）=（1 2 ±0.1）/（5±0.5），5 是1 的5 倍，0.5 也是0.1 的5 倍，所以如果分子、分母 是什么倍数关系，增加或减少的量也保持这个倍数关系，那么分数值保持不变。 2.3/9：9 是3 的3 倍，增加或减少的量也要保持3 倍关系，让9 加1，就要 让3 加1*3=3，3/9=（3+1）/（9+3）=4/12=1/3。 3.5/2：5 是2 的2.5 倍，增加或减少的量也要保持2.5 倍关系，让2 加1， 就要让5 加1*2.5=2.5，5/2=（5+2.5）/（2+1）=7.5/3=2.5。 4.634/105：假设选项依次为6.01XX、6.02XX、6.03XX、6.04XX，需要精确 计算，634 约是105 的6 倍，为了好算，把分母变成100，让105 减5，就要让 634 减5*6=30，634/105≈（634-30）/（105-5）=604/100=6.04。 5.247/302：假设选项依次为0.8099、0.8179、0.8277，看出首位商8 无法 选出答案，247 约是302 的0.8 倍，为了好算，把分母变成300，让302 减2， 就要让247 减2*0.8=1.6，247/302≈（247-1.6）/（302-2）=245.4/300，首位 商8，次位商1，第三位商8。 6.倍数越精准，误差越小；增减量越小，误差越小。 一步除法中的运用 218.79/1.062≈？ A.199.1 B.206.1 C.209.8 D.212.5 A/B 形式，若A、B 倍数较整（可参考选项），可用等比例放缩简化B。 注意：增减数对齐的原则——看研究倍数关系所选取的数据 A、B 仅代表分数的分子和分母，无具体含义，后同 【注意】一步除法中的运用： 1.例：218.79/1.062≈？ A.199.1 B.206.1 C.209.8 D.212.5 答：选项都在200 附近，量级一致，不用看小数点，只看有效数字；B、C 项前两位都相同，截三位有风险，不建议截位，原式转化为21879/1062，2187 约是1062 的2 倍，在2187 后面划线，最后一位9 先不用看（如果看了就是20 3 倍关系），让1062 减62→变成1000，就要让2187 减62*2=124→变成2063，分 子最后一位9 照抄，原式转化为20639/1000=206 开头，对应B 项。 2.A/B 形式，若A、B 倍数较整（可参考选项），可用等比例放缩简化B（转 化为1、100、1000 等好算且较整的数）。 3.注意： （1）增减数对齐的原则——看研究倍数关系所选取的数据。 （2）A、B 仅代表分数的分子和分母，无具体含义，后同。 【例1】（2023 重庆）673.34/（1+6.96%）≈（ ） A.600 B.620 C.630 D.724 【解析】1.选项都是六七百，不用看小数点，只看有效数字。这道题有很多 同学会做错，如果直除，算出首两位为62，会误选B 项，而且速度也很慢。B、 C 项首位相同，次位差3-2=1＜首位6，选项差距小，截三位计算，原式转化为 67334/107，673 是107 的6 +倍，在673 后面划线，34 放着不动，让107 减7→ 变成100，就要让673 减7*6 +=42 +→变成631 -，分子最后两位34 照抄，原式转化 为63134 -/100，结果的有效数字为63134 -，对应C 项。【选C】 【例2】（2025 联考）5631.6/（1+7.8%）≈（ ） A.不到5100 B.5100～5200 C.5200～5300 D.5300 以上 【解析】2.选项差距小，截三位计算，原式转化为56316/108，563 是108 的5 +倍，在563 后面划线，16 放着不动，让108 减8→变成100，就要让563 减 8*5 +=40 +→变成523 -，分子最后两位16 照抄，结果的有效数字为52316 -，或者不 看最后两位16，结果的有效数字为523 -，对应C 项。【选C】 【例3】（2024 浙江）1725.91/（1+5.4%）≈（ ） A.1600 B.1640 C.1680 D.1800 4 【解析】3.A、B、C 项前两位都相同，分母截四位计算（相当于不截位）， 原式转化为1726/1054，1726 约是1054 的1.6 倍，让1054 减54→变成1000， 就要让1726 减54*1.6=50*1.6+4*1.6=80+6.4=86.4→变成1640 -，结果的有效数 字为1640 -，对应B 项。【选B】 【注意】 1.如果选项前两位都相同，属于差距非常小的情况，此时尽量截四位，甚至 不截位，截三位有一定的风险，可能会出错。 2.分子、分母的位数不一定要相同，比如37123/738，如果上下都截三位， 371 约是738 的0.5 倍，小数倍不好想，上面可以多看一位，3712 约是738 的5 倍，所以具体截几位要看倍数关系。 【例4】（2025 联考）12.33/1.134≈（ ） A.10.7～10.9 B.10.9～11.1 C.11.1～11.3 D.11.3～11.5 【解析】4.选项差距很小，连第三位都离得很近，原式转化为1233/1134。 方法一：1233 约是1134 的1.1 倍，让1134 减34→变成1100，就要让1233 减34*1.1=37 +→变成1196 -，原式转化为1196 -/1100，首位商1，次位商0，第三 位商8，对应A 项。 方法二：1233 约是1134 的1.1 倍，让1134 减23→变成1111，就要让1233 减23*1.1=25 +→变成1208 -，原式转化为1208 -/1111=（1208 -*9）/（1111*9）， 分母大约是10000，不用管，只计算分子的有效数字，一个数*9→错位相减， 1208 -*9=1208 --120.8 -=108 开头，对应A 项。【选A】 【注意】如果让分母变成1000，1134 需要减134，误差比较大，不建议冒 险，万一选项比较坑，就会出错。 【例5】（2023 国考）1216/1890≈（ ） A.不到60% B.60%～65%之间 5 C.65%～70%之间 D.70%以上 【解析】5.可以看出结果是0.6 +，排除A 项；选项差距小，截三位计算，原 式转化为1216/189，1216 是189 的6 +倍，让189 加11→变成200，就要让1216 加11*6 +=66 +→变成1282 +，原式转化为1282 +/200=641 开头，对应B 项。【选B】 【注意】 1.如何看出结果是0.6 +：1216/1890＞1200/2000=0.6。 2.倍数不整的时候，变动量尽量小一点，这样误差也比较小。 【例6】（2023 联考）37.2%/76.6%≈（ ） A.37% B.48.6% C.49.6% D.51% 【解析】6.37.2%*2=74.4%＜76.6%，说明原式＜50%，排除D 项；B、C 项差 距小，截三位计算，原式转化为372/766，372 约是766 的0.5 倍，让766 加34 →变成800，就要让372 加34*0.5=17→变成389，原式转化为389/800，首位商 4，次位商8，对应B 项。【选B】 【例7】（2024 广东）212993/195779≈（ ） A.小于1.1 B.1.1 到1.2 之间 C.1.2 到1.3 之间 D.大于1.3 【解析】7.选项差距小，截三位计算，原式转化为213/196，213 约是196 的1.1 倍，让196 加4→变成200，就要让123 加4*1.1=4.4→变成217.4，原式 转化为217.4/200，首位商1，次位商0，第三位商8，对应A 项。【选A】 一步除法中运用小结 应用条件：分子分母倍数较整，尤其是选项差距较小时，较适用。 A/B 形式——若A、B 倍数较整（可参考选项），可用等比例放缩简化B。 注意：倍数越精准，误差越小；增减量越小，误差越小！ 【注意】一步除法中运用小结： 6 1.应用条件：分子分母倍数较整，尤其是选项差距较小时，较适用（选项差 距大也可以用，不过一般都用不到，因为截位直除就足够了）。 2.A/B 形式——若A、B 倍数较整（可参考选项），可用等比例放缩简化B（变 成100、200 这种比较整的数字，方便计算）。 3.注意：倍数越精准，误差越小；增减量越小，误差越小。 02 多步乘除中的运用 [79.7%/（1+13%）]*119≈？ A.80.1 B.83.9 C.89.5 D.91.4 A/B*C 形式，若A 与B 的倍数较整，等比例放缩B，使其等于C，约掉 【注意】多步乘除中的运用：用起来会很爽。 1.例：[79.7%/（1+13%）]*119≈？ A.80.1 B.83.9 C.89.5 D.91.4 答：选项差距小，截三位计算，原式转化为（797/113）*119，113 和119 离得近，考虑凑相等，将其约掉，只能动一个数，119 没有对应的分母可以动， 所以只能动113，797 约是113 的7 倍，让113 加6→变成119，就要让797 加 6*7=42→变成839，原式转化为（839/119）*119=839，对应B 项。 2.A/B*C 形式，若A 与B 的倍数较整，等比例放缩B，使其等于C，约掉。 【例8】（2021 湖北选调）61.2%*[（1+2.2%）/（1+3.8%）]≈（ ） A.50%～59% B.60%～69% C.70%～79% D.80%～89% 【解析】8.选项是区间，看临界点，59%和60%、69%和70%、79%和80%，差 距很小，截三位计算，原式转化为612*（102/104），严谨来说，右边分子看小 了、分母看大了，分数值会变小，实际值会比估算值略大一点点。102 和104 离 得近，考虑凑相等，将其约掉，612 是104 的6 -倍，让104 减2→变成102，就 要让612 减2*6 -=12 -→变成600 +，原式转化为600 +*（102/102）=600 +，对应B 7 项。【选B】 【例9】（2024 深圳）（22219/3119）*1.77≈（ ） A.11.6 B.12.1 C.12.6 D.无法判断 【解析】9.虽然B、C 项前两位都相同，但是多步乘除截四位很复杂，一般 截三位即可，原式转化为（222/312）*177，177 和312 不接近，无法凑相等， 考虑凑整倍数，177*2=354，把312 变成354，可以和177 约分。312 是222 的 0.7 +倍，让312 加42→变成354，就要让222 加42*0.7 +≈30→变成252，原式转 化为（252/354）*177=252/2=126 开头，对应C 项。【选C】 【注意】 1.乘法用等比例放缩只能微调一点点，关于乘法的速算，在“超值6+1”课 程中有专门讲过，有需要的同学可以去听一下。 2.分母多保留一位，原式转化为（2222/312）*177，2222 是312 的7 倍， 让312 加42→变成354，就要让2222 加42*7=294→变成2516，这么算也可以。 多步乘除中的运用 57.9/127*[（1+19.4%）/（1+17.3%）]≈？ A.47.6% B.46.4% C.45.8% D.44.6% A/B*（C/D）形式，若A、D 倍数较整，等比例放缩微调，约掉CD 或AB。 【注意】多步乘除中的运用： 1.57.9/127*[（1+19.4%）/（1+17.3%）]≈？ A.47.6% B.46.4% C.45.8% D.44.6% 答：选项差距小，截三位计算，原式转化为579/127*（119/117），119 和 117 离得近，考虑凑相等。 方法一：127 约是119 的1 倍，让119 减2→变成117，就要让127 减2*1=2 8 →变成125，原式转化为579/125*（117/117）=579/125=（579*8）/（125*8） =4632/1000=46 开头，对应B 项。 方法二：579 约是117 的5 倍，让117 加2→变成119，就要让579 加2*5=10 →变成589，原式转化为589/127*（119/119）=589/127=46 开头，对应B 项。 2.A/B*（C/D）形式，若A、D 倍数较整，等比例放缩微调，约掉CD 或AB。 【例10】（2024 山西纪监）609/2582*[（1+12.2%）/（1+16.1%）]≈（ ） A.24.5% B.23.9% C.23.6% D.22.8% 【解析】10.B、C 项前两位都相同，多步乘除截四位很复杂，截三位计算即 可，原式转化为609/258*（112/116），112 和116 离得近，考虑凑相等，找到倍 数较整的，609 是116 的5 +倍，让116 减4→变成112，就要让609 减4*5 +=20 + →变成589 -，原式转化为589 -/258*（112/112）=589 -/258，首位商2，次位商2， 对应D 项。【选D】 【例11】（2021 河北）440.16/1018.94*（1.5447/1.8683）≈（ ） A.35.7% B.39.7% C.43.2% D.45.2% 【解析】11.C、D 项差距小，截三位计算，原式转化为440/102*（154/187）， 154 和187 离得近，考虑凑相等，找到倍数较整的，154 约是102 的1.5 倍，让 154 加33→变成187，就要让102 加33/1.5=22（倍数不要弄反）→变成124， 原式转化为440/124*（187/187）=440/124。 方法一：440/124=（440*8）/（124*8）≈3520/1000=35 开头，对应A 项。 方法二：440/124=110/31，首位商3，次位商5，对应A 项。【选A】 【注意】（154+33）/（102+？），154 约是102 的1.5 倍，说明33 约是？的 1.5 倍，可得？=22。 多步乘除中的运用小结 9 应用条件：存在倍数较整的分子分母，尤其是选项差距较小时，较适用。 A/B*C 形式，若A、B 倍数较整，等比例放缩B，使其等于C，约掉。 A/B*（C/D）形式，若A、D 倍数较整，等比例放缩微调，约掉CD（多）或 AB。 【注意】多步乘除中的运用小结： 1.应用条件：存在倍数较整的分子分母，尤其是选项差距较小时，较适用。 2.A/B*C 形式，若A、B 倍数较整，等比例放缩B，使其等于C，约掉。 3.A/B*（C/D）形式，若A、D 倍数较整，等比例放缩微调，约掉CD（多） 或AB。 03 分数差值中的运用 6972/（1+8.3%）-4322/（1+5.9%）≈？ A.2356 B.2487 C.2550 D.2680 A/B-C/D 形式，若A、B 或C、D 倍数较整，等比例放缩微调，使分母相等。 【注意】分数差值中的运用：两个分数作差，研究选项差距是没有意义的， 比如9777-9772=5，选项为A.1、B.3、C.5、D.7，选项差距很大，但是没有用， 前面高位全部抵消掉了，有时候一估算就会出错，所以不管选项怎么样，分数作 差都按照选项差距小处理。 1.6972/（1+8.3%）-4322/（1+5.9%）≈？ A.2356 B.2487 C.2550 D.2680 答：前后量级保持一致，分母为1.083、1.059，同时截三位，得到1.08、 1.06，同时扩大100 倍，不影响有效数字，原式转化为6972/108-4322/106。 方法一：分子最后一位先不看，最后照抄即可，找到倍数较整的，前面697 是108 的6 倍差很多，后面432 差不多是106 的4 倍，所以微调106，让106 加 2→变成108，就要让432 加2*4=8→变成440，原式转化为（6972-4402） /108=2570/108，首位商2，次位商3，对应A 项。 方法二：后面4322 约是106 的40 倍，让106 加2→变成108，就要让4322 10 加2*40=80→变成4402，原式转化为（6972-4402）/108=2570/108，首位商2， 次位商3，对应A 项。 2.A/B-C/D 形式，若A、B 或C、D 倍数较整，等比例放缩微调，使分母相等。 【例12】（2025 联考）398/289-338/303≈（ ） A.不到0.2 B.0.2～0.3 C.0.3～0.4 D.超过0.4 【解析】12.分数作差，直接按照选项差距小处理，找到倍数较整的，338 约是303 的1.1 倍，让303 减14→变成289，就要让338 减14*1.1=15 +→变成 323 -，原式转化为（398-323 -）/289=75 +/289=0.2 +，对应B 项。【选B】 【例13】（2024 山西纪监）4.25/（1+3.5%）-1.01/（1+5.6%）≈（ ） A.4.05 B.3.46 C.3.24 D.3.15 【解析】13.原式=4.25/1.035-1.01/1.056，截三位计算，并且分子、分母 同时扩大100 倍，量级不发生改变，原式=425/104-101/106，找到倍数较整的， 425 约是104 的4 倍，让104 加2→变成106，就要让425 加2*4=8→变成433， 原式转化为（433-101）/106=332/106，首位商3，次位商1，对应D 项。【选D】 【例14】（2025 联考）258489/（1+21.5%）-174852/（1+15.1%）≈（ ） A.21.7 万 B.19.5 万 C.8.4 万 D.6.1 万 【解析】14.原式=25.8489 万/1.215-17.4852 万/1.151，不看分子上的万， 截三位计算，原式转化为258/122-174/115，找到倍数较整的，258 是122 的2 + 倍，让122 减7→变成115，就要让258 减7*2 +=14 +→变成244 -，原式转化为 （244 --174）/115=70 -/115，首位商6，对应D 项。【选D】 【例15】804.78/（1+8.4%）-308.32/（1-8.8%）≈（ ） A.464.46 B.462.79 11 C.441.85 D.404.35 【解析】15.原式=804.78/1.084-308.32/0.912，截三位计算，前者的分母 写成108，后者的分母就要写成91，相当于同时扩大100 倍，量级要同步变化， 原式转化为805/108-308/91，找到倍数较整的，91 约是308 的0.3 倍，让91 加17→变成108，就要让308 加17/0.3=170/3≈57→变成365，原式转化为 （805-365）/108=440/108＜440/100=44 开头，对应D 项。【选D】 分数差值中的运用小结 应用条件：存在一个分数的分子分母倍数较整时，较适用。 A/B-C/D 形式，若A、B 倍数较整，等比例放缩微调，使分母相等。 注意：两个分数的量级处理，需要同步处理。 【注意】分数差值中的运用小结： 1.应用条件：存在一个分数的分子分母倍数较整时，较适用。 2.A/B-C/D 形式，若A、B 倍数较整，等比例放缩微调，使分母相等。 3.注意：两个分数的量级处理，需要同步处理。 【注意】等比例放缩： 1.一步除法： （1）适用条件：分子分母倍数较整，尤其是选项差距较小时，较适用。 （2）A/B 形式，若A、B 倍数较整（可参考选项），可用等比例放缩简化B （变成比较整的数字）。 （3）注意：倍数越精准，误差越小；增减量越小，误差越小。 12 2.多步乘除： （1）适用条件：存在倍数较整的分子分母，尤其是选项差距较小时，较适 用。 （2）A/B*C 形式，若A、B 倍数较整，等比例放缩B，使其等于C，约掉。 （3）A/B*（C/D）形式，若A、D 倍数较整，等比例放缩微调，约掉CD（多） 或AB。 3.分数差值： （1）适用条件：存在一个分数的分子分母倍数较整。 （2）A/B-C/D 形式，若A、B 倍数较整，等比例放缩微调，使两分数分母相 等。 （3）注意：两个分数的量级处理，需要同步处理。 4.课后有问题可以到小红书找老师，也可以领取各种练习资料。 13 遇见不一样的自己 Be your better self
