文档内容
精讲精练-资料 7
（笔记）
主讲教师：陶昶安
授课时间：2025.08.04
粉笔公考·官方微信精讲精练-资料 7（笔记）
【答案汇总】
间隔增长率1-5：DBAAD
年均增长率1-3：BDB
混合增长率1-5：BBACD；6：A
【注意】上节课内容回顾：
1.平均数：
（1）关键词：均、每、平均、单位。平均数和比重不会混淆，关键字不同。
（2）现期平均数：后/前=A/B，后A前B，或把表述形式改为“平均每个……”。
（3）基期平均数：A/B*[（1+b）/（1+a）]。与两期比重计算相同。
（4）两期平均数：
①升降判断：a＞b，上升；a＜b，下降；a=b，不变。
②平均数增长量：
a.识别：两个时间+平均（每/单位）+升/降+单位。
b.公式：A/B-A/B*[（1+b）/（1+a）]=A/B*[（a-b）/（1+a）]，与两期比
重差值公式相同，可以判升降，但不能定大小，只能截位或估算。
③平均数增长率：
1a.识别：两个时间+平均（每/单位）+升/降+%。
b.公式：{A/B*[（a-b）/（1+a）]}÷{A/B*[（1+b）/（1+a）]}=（a-b）/
（1+b）。一步除法，结合选项估算即可。
2.倍数：
（1）关键字：倍。
（2）现期倍数：是几倍，前A后B，所求=A/B。
（3）基期倍数：A/B*[（1+b）/（1+a）]。
3.注：现期分子A、现期分母B，a为A增长率；b为B增长率。
资料分析 精讲精练7
学习任务：
1.课程内容：特殊增长率
2.对应讲义：第358～365页
3.重点内容：
（1）间隔增长率的计算公式
（2）年均增长率的计算公式及比较技巧
（3）混合增长率的两个结论
特殊增长率的学习重点
（1）间隔增长率的计算公式
（2）年均增长率的计算公式及比较技巧
（3）混合增长率的两个结论
【注意】特殊增长率的学习重点：
1.间隔增长率的计算公式，核心是计算公式。
2.年均增长率的计算公式及比较技巧。
3.混合增长率的两个结论。
目录
（1）间隔增长率
2（2）年均增长率
（3）混合增长率
第358～365页
01间隔增长率
间隔增长率识别、公式与计算：隔一年/一期+求增长率
例：已知 2023 年的同比增长率为 r ，2022 年的同比增长率为 r ，问 2023
1 2
年比2021年增长了（ ）%。
注：1.涉及到的三个时间，形成的两段时间相连即可，间隔可以不相等；
2.r、r 为较新的两个时间的增长率，且没有顺序要求。
1 2
【注意】间隔增长率：
1.识别：隔一年/一期+求增长率，间隔增长率本身就是增长率，但时间会隔
一期或隔一年。
2.例：已知2023年的同比增长率为r，2022年的同比增长率为r，问2023
1 2
年比2021年增长了（ ）%。
答：增长+%→增长率，时间为 2023年比 2021 年，隔了2022 年，为间隔时
间，即间隔增长率问题，如图所示，已知r、r，求2023年比2021年的增长率，
1 2
2021 年相当于基期，2023 年为现期，求增长率，假设 2021 年为 A，则 2022 年
=A*（1+r ），2023年=A*（1+r）/（1+r ），r=现期/基期-1=增长量/基期，套公
2 2 1
式推导，r=A*（1+r）*（1+r）/A-1=1+r +r+r*r-1=r+r+r*r，为间隔增长率
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
公式。
33.公式：r =r+r+r*r。r+r 是和，r*r 是积，可以记忆为“和+积”，如
间 1 2 1 2 1 2 1 2
图所示，r、r 像“眼睛”，r =r+r+r*r 像“嘴巴”，也可以记忆为“笑脸公式”，
1 2 间 1 2 1 2
建议课后自己推导一遍。
4.注意：
（1）涉及到三个时间，形成的两段时间相连即可，间隔不一定相等。不一
定必须隔一年，三个点，两段时间连起来即可，如2015年～2019年，2019年～
2022年，若已知 r（2019年～2022 年的增长率）、r（2015年～2019 年的增长
1 2
率），一样可以求r （2022年比2015年的增长率），若再给一个时间，如2012～
间
2015年，此时已经算出r 、已知r，则再套间隔增长率公式计算即可，但没考
间 3
查过，粉笔模考可能会考查。
（2）r 、r 为较新的两个时间的增长率，而且没有顺序要求，因为公式中
1 2
是对称的结构。
给r、r 的形式
1 2
形式1：直接给
2023年A公司收入的同比增速为10%，2022年同比增速为3%。
形式2：给百分点关系
2023年B公司收入的同比增速为12%，增速比上年上升3个百分点。
2023年C公司成本的同比增速为-2%，降幅比上年收窄1个百分点。
【注意】给r、r 的形式：
1 2
1.形式1：直接给。
例：2023年A公司收入的同比增速为10%，2022年同比增速为3%。
答：相邻的两个时间都给出增长率，即r=10%、r=3%，套公式计算即可。
1 2
42.形式2：给百分点关系。
（1）2023年B公司收入的同比增速为12%，增速比上年上升3个百分点。
答：r=12%，r 未知，高减低加，r=12%-3%=9%。
1 2 2
（2）2023年C公司成本的同比增速为-2%，降幅比上年收窄1个百分点。
答：r=-2%，降幅比上年收窄1个百分点，高减低加，收窄→降低，做加法，
1
则上年降幅为2%+1%，对应的增长率r=-3%。
2
速算：
第一步，先算加和（分析选项是否是唯一值）
15%+18%+15%*18%=？
A.35.7% B.30.9%
C.28.9% D.21.6%
第二步，再算乘积
若r、r 绝对值均小于10%，|r*r|＜1%，可忽略/±1-%
1 2 1 2
5%+8%+5%*8%≈？
不能忽略时，一个不变，另一个百化分或小数计算
28%+25%+28%*25%=？
【注意】速算：
1.第一步，先算加和，分析选项是否是唯一值。
例：15%+18%+15%*18%=？
A.35.7% B.30.9%
C.28.9% D.21.6%
答：15%+18%=33%，15%*18%＞0，故所求＞33%，结合选项，只有A项符合。
2.第二步，再算乘积。
（1）若r、r 的绝对值均小于10%，|r*r|＜1%，|10%*1/10|=1%，可以忽
1 2 1 2
略，也可以±1-%（乘积要么是正的，要么是负的，一定比1%小）。
（2）不能忽略时（至少有一个增长率大于10%），一个不变，另一个百化分
或小数计算。
例：28%+25%+28%*25%=？
5答：28%+25%=53%，增长率的绝对值均大于 10%，乘积不能忽略，一个不变
另一个百化分，25%=1/4，所求=53%+28%*（1/4）=53%+7%=60%。若不好百化分，
也可以化为小数计算，如38%*40%，不好百化分，40%=0.4%，所求=（38*0.4）%。
练习：
练习1：18%+16%+18%*16%≈？
练习2：（-28%）+5.1%+（-28%）*5.1%≈？
练习3：（-18%）+（-11%）+（-18%）*（-11%）≈？
【注意】练习：
1.练习1：18%+16%+18%*16%≈？
答：均大于10%，不能忽略（≈0），18%+16%=34%，计算18%*16%，一个不变，
另一个百化分，16%≈1/6，18%*1/6=3%，所求≈34%+3%=37%（无需精确计算，两
个百分数都很小，乘积估算即可）。
2.练习2：（-28%）+5.1%+（-28%）*5.1%≈？
答：-28%+5.1%=-22.9%，负数*正数=负数，一个不变，另一个百化分，5.1%
≈1/20，所求≈-22.9%-28%*1/4=-22.9%-1.4%=-24.3%。
3.练习3：（-18%）+（-11%）+（-18%）*（-11%）≈？
答：-18%-11%=-29%，负数*负数=正数，18%*11%，一个不变另一个百化分，
11%≈1/9，所求 ≈-29%+18%*1/9=-29%+2%=-27%；若精确计算也可以，
18%*11%=1.98%，但没必要精确计算。
2022 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业超 3.5 万家，累计完成
软件业务收入 108126 亿元，同比增长 11.2%，增速较上年同期回落 6.5 个百分
点。
【例1】（2024四川）2022年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业累
计完成软件业务收入约比2020年增长了：
A.16% B.23%
C.29% D.31%
【解析】1.增长+%→增长率，2022年和2020年之间隔了2021年，隔2021
6年求增长率，为间隔增长率问题，公式：r =r+r+r*r，定位材料找数据，“累
间 1 2 1 2
计完成软件业务收入 108126 亿元，同比增长 11.2%”，已知现期量，r=11.2%，
1
若不好想可以画图分析，如图所示，2022年的增长率是11.2%，即与 2021年相
比的r=11.2%，“增速较上年同期回落6.5个百分点”，高减低加，回落→低，做
1
加法，11.2%+6.5%=17.7%，上年同期→2021年，即2021年的增长率r 为17.7%，
2
求“嘴巴”，套公式，r =r+r+r*r，r+r=17.7%+11.2%=28.9%，由于r、r 均
间 1 2 1 2 1 2 1 2
大于 10%，乘积不能忽略，17.7%≈18%，11.2%≈11%≈1/9，17.7%*11.2%≈
18%*1/9=2%，所求≈28.9%+2%=30.9%，对应D项。【选D】
【注意】梳理：
1.题型：间隔增长率。
2.公式：r =r+r+r*r。
间 1 2 1 2
3.计算：11.2%+17.7%+11.2%*17.7%≈28.9%+2%=30.9%，选D项。
4.r+r=28.9%，r、r 均大于10%，乘积大于1%，所求＞28.9%+1%=29.9%，
1 2 1 2
结合选项，只能选择D项。
2022年，全国共有260家银行机构和29家理财公司累计新发理财产品2.94
万只，同比下降38.23%，降幅比上年同期扩大7.22个百分点；累计募集资金89.62
万亿元，同比减少32.57万亿元。
【例2】（2024联考）2022年全国银行机构和理财公司累计新发理财产品只
7数与2020年相比约：
A.下降45% B.下降57%
C.下降66% D.下降69%
【解析】2.下降+%→增长率（降幅），2022年比2020年中间间隔了2021年，
为间隔增长率问题，公式：r =r+r+r*r，定位材料找数据，“全国共有260家
间 1 2 1 2
银行机构和 29 家理财公司累计新发理财产品 2.94 万只，同比下降 38.23%，降
幅比上年同期扩大7.22个百分点”，已知r=-38.23%，降幅比上年同期扩大7.22
1
个百分点，2022 年降幅为 38.23%，高减低加，则 38.23%-7.22%=31.01%，则
r=-31.01%≈31%，套公式，-38.23%-31.01%+（-38.23%）*（-31.01%），负负得
2
正，若熟练运用后可以不用写乘积的负号，-38.23%-31.01%=-69+%，增长率的绝
对值都大于10%，乘积不能忽略，一个不变，另一个百化分或写为小数，-31.01%
≈-0.3，38%≈40%，（-38.23%）*（-31.01%）≈40%*0.3=12%，所求=-69+%+12%=-57%，
对应B项。【选B】
【注意】梳理：
1.题型：间隔增长率。
2.公式：r =r+r+r*r。
间 1 2 1 2
3.计算：（-38.23%）+（-31.01%）+（-38.23%）*（-31.01%）≈-69%+12%=-57%，
选B项。
间隔增长拓展
81.间隔倍数
2.间隔基期
3.间隔增长率逆向公式
【注意】间隔增长拓展：基于间隔增长率进行拓展，主要考查3个，偶尔会
考查其他（3、5年不会考差1次）。
1.间隔倍数。
2.间隔基期。
3.间隔增长率逆向公式。
间隔增长拓展
1.间隔倍数=1+r →2023年是2021年的几倍？
间
识别：隔一年，问“是几倍”、“多几倍”
方法：第一步，求间隔增长率
第二步，看问法：是几倍=1+r 、多/增长几倍=r
间 间
【注意】间隔倍数：
1.公式：倍数=现期/基期=1+r。间隔倍数=1+r 。
间
2.识别：隔一年，问“是几倍”、“多几倍”。
3.例：2023年是2021年的几倍？
答：隔一年问几倍，为间隔倍数，2023年为A，2021年为B，已知r ，2021
间
年为基期，2023年=基期*（1+r ），问A/B=基期*（1+r ）/基期=1+r 。
间 间 间
4.方法：
（1）第一步，求间隔增长率。
（2）第二步，看问法，是几倍=1+r ，多/增长几倍=r 。
间 间
间隔增长拓展
2.间隔基期=现期/（1+r ）→已知：2023年，求2021年。
间
识别：隔一年，求基期
方法：第一步，求间隔增长率
第二步，间隔基期=现期/（1+r ）
间
9【注意】间隔基期：很少考查，简单了解即可。
1.公式：间隔基期=现期/（1+r ）。
间
2.例：已知2023年，求2021年。
答：2023年为现期，2021年为基期，若已知r ，基期=现期/（1+r ）。
间 间
3.识别：隔一年，求基期（求前年）。
4.方法：
（1）第一步，求间隔增长率。
（2）第二步，间隔基期=现期/（1+r ）。
间
2023 年全国著作权（包括作品著作权、计算机软件著作权、著作权质权）
登记总量达8923901件，同比增长40.46%，增速比上年同期增加39个百分点。
根据各省、自治区、直辖市版权局和中国版权保护中心作品登记信息统计，2023
年全国共完成作品著作权登记 6428277 件，同比增长 42.30%，登记量前五位的
分别是：北京市1101072件，同比增加53802件；山东省873826件，同比增加
619459件；福建省710648件，同比增加424814件；中国版权保护中心493070
件，同比增加1476件；上海市412660件，同比增加30660件。从作品类型来看，
登记量最多的是美术作品3296437件，第二是摄影作品2501968件，第三是文字
作品329128件，前三类作品类型登记量占作品著作权登记总量的95.32%，该比
例比上年同期增加4.86个百分点。
【例3】（2025联考）2021年全国著作权登记总量约为：
A.626万件 B.656万件
C.685万件 D.728万件
【解析】3.问2021年，在2023年之前，为基期时间，2023年与2021年之
间隔了 2022 年，为间隔基期，套公式，现期/（1+r ），先求 r ，定位材料找
间 间
数据，“2023年全国著作权（包括作品著作权、计算机软件著作权、著作权质权）
登记总量达8923901件，同比增长40.46%，增速比上年同期增加39个百分点”，
r=40.46% ， 高 减 低 加 ， r=40.46%-39%=1.46% ， r
1 2 间
=r+r+r*r=40.46%+1.46%+40.46%*1.46%=41.92%+乘积，计算乘积，一个不变，
1 2 1 2
一个百化分或写为小数，乘积≈0.4*1.46%≈0.6%，r ≈41.92%+0.6%=42.52%，
间
10统一单位，现期量≈892万件，892/（1+42.52%），算之前看选项，选项差距小，
截三位，原式转化为 892/143，143 与 7 是一对，令分子、分母都乘以 7，原式
=892*7/（143*7）=6300-/1000，结果的有效数字比63小一点点，对应A项。【选
A】
【注意】梳理：
1.题型：间隔基期。
2.公式：现期/（1+r ）。
间
3.计算：r =40.46%+1.46%+40.46%*1.46%≈42.5%，892/（1+42.5%）＜630，
间
选A项。
4.老老实实做，892/143，首位商6，次位商2，结果的有效数字为62开头，
选择A项。
间隔增长拓展
3.间隔增长率逆向公式
若已知r 、r，求r，
间 1 2
公式：r=（r -r）/（1+r）
2 间 1 1
【注意】间隔增长率逆向公式：连着考查好几年，只看问法看不出来是间隔
增长率问题，只能看出是增长率问题，直到看件条件，条件中会给出r 。
间
1.识别：r =r+r+r*r，已知r 、r，求r。
间 1 2 1 2 间 1 2
2.公式：r=（r -r）/（1+r）。
2 间 1 1
3.推导；r =r+r+r*r→=r -r=r*（1+r）→r=（r -r）/（1+r）。
间 1 2 1 2 间 1 2 1 2 间 1 1
4.比较 r 和 r 可以判断 r 的正负，若 r ＞r ，则 r 为正；r ＜r ，则 r
间 1 2 间 1 2 间 1 2
为负。
5.公式记忆：与（a-b）/（1+b）的形式一样。
2021年 1～7月，我国原油产量 11561 万吨，同比增长 2.4%，比 2019年同
期增长 3.9%。其中，7 月我国原油产量 1686 万吨，增长 2.5%，比 2019 年同期
增长3.1%。1～7月我国进口原油30193万吨，下降5.6%。其中，7月进口原油
114124万吨，下降19.6%。
【例4】(2022江苏）2020年1～7月，我国原油产量的同比增速是：
A.1.46% B.1.90%
C.2.36% D.3.15%
【解析】4.问原油产量同比增速，给2021年1～7月，问2020年1～7月，
问原来的增长率，只看题干没有间隔，定位材料找数据，“2021 年 1～7 月，我
国原油产量11561万吨，同比增长2.4%，比2019年同期增长3.9%”，2021年比
2019年增长3.9%，即r =3.9%，已知r=2.4%，求2020年比2019年的增长率（r），
间 1 2
可以画图理解，r=（r -r）/（1+r）=（3.9%-2.4%）/（1+2.4%）=1.5%/（1+2.4%）
2 间 1 1
＜1.5%，选择A项。【选A】
【注意】
1.题型：间隔增长率（逆向）。
2.公式：r=（r -r）/（1+r）。
2 间 1 1
3.计算：（3.9%-2.4%）/（1+2.4%）=1.5%/1.024，小于1.5%，选A项。
2021年，全国纺织品服装出口3155亿美元，同比增长8.4%。其中，纺织品
出口 1452.2 亿美元，同比下降 5.6%，较 2019 年增长 22.0%；服装出口 1702.8
亿美元，同比增长24.0%，较2019年增长16.0%。其中，针织服装及衣着附件出
口864.8亿美元，同比增长39.0%；梭织服装及衣着附件出口701.2亿美元，同
12比增长12.6%。
【例5】（2023国考）2020年，全国服装出口额比2019年：
A.增长了10%以上 B.下降了10%以上
C.增长了不到10% D.下降了不到10%
【解析】5.增长/下降+%→增长率，定位材料找数据，“2021 年……服装出
口1702.8亿美元，同比增长24.0%，较2019年增长16.0%”，即r =16%，r=24%，
间 1
求2020年比2019年增长率（r），不好理解可以画图，如图所示，r=（r -r）
2 2 间 1
/（1+r ）=（16%-24%）/（1+24%）=-8%/1.24，有负号一定是下降，排除 A、C
1
项；8%/1.24%＜8%，故下降8%不到，选择D项。【选D】
【注意】
1.题型：间隔增长率（逆向）。
2.公式：r=（r -r）/（1+r）。
2 间 1 1
3.计算：（16%-24%）/（1+24%）=-8%/1.24，选D项。
间隔增长率理论小结
间隔增长率
识别：隔一年/一期+求增长率
公式：r =r+r+r*r
间 1 2 1 2
速算：先算和；再看乘积：
当r 、r 绝对值均＜10%时，可忽略；不能忽略时，一个不动一个百化分或
1 2
13化为小数
拓展题型
1.间隔倍数：第一步，求r ，第二步，是几倍=1+r 、多/增长几倍=r
间 间 间
2.间隔基期：第一步，求r ，第二步，间隔基期=现期/（1+r ）
间 间
3.逆运用：已知r 、r，求r。r=（r -r）/（1+r）
间 1 2 2 间 1 1
【注意】间隔增长率理论小结：
1.间隔增长率：
（1）识别（核心）：隔一年或隔一期，求增长率。
（2）公式：r =r+r+r*r。
间 1 2 1 2
（3）速算：先算和，再看乘积，当r、r 绝对值均＜10%时，可忽略（≈0），
1 2
若不想忽略可以写为±1-%；若不能忽略时，一个不动，一个百化分或化为小数。
2.拓展题型：
（1）间隔倍数：隔一期求倍数。
①第一步，求r 。
间
②第二步，是几倍=1+r ，多/增长几倍=r 。
间 间
（2）间隔基期：
①第一步，求r 。
间
②第二步，间隔基期=现期/（1+r ）。
间
（3）逆运用：已知 r 、r ，求 r ，r=（r -r ）/（1+r ），公式很好写，
间 1 2 2 间 1 1
最好要记住，不建议不写分母（1+r），若r 很大，则不能只看分子，要严谨一
1 1
些。
02年均增长率
识别：年均+增长+%，年均+增速
公式：现期量/基期量=（1+r）n，n为年份差
（年均增长率基期的确定，与年均增长量相同）
例：基期为2021年，收入为100亿元，现期为2024年，收入为200亿元，
年均增长率为多少？
【注意】年均增长率：考查不多，一般上海偶尔考，广东、深圳爱考查，其
14他地区很少考，无需纠结，了解即可，重点是比较（考查较多，国省考都爱考查）。
1.识别：年均+增长+%、年均+增速。即若平均每年增长率都相同，则增长率
是多少。
2.例：基期为2021年，收入为100亿元，现期为2024年，收入为200亿元，
年均增长率为多少？
答：若每年的增长率都相同，为年均增长率，类似于“利滚利”，若增长率
均为r，则2022年=100*（1+r），2023年=100*（1+r）²、2024年=200=100*（1+r）
³→现期=基期*（1+r）n→现期/基期=（1+r）n。
3.公式：现期量/基期量=（1+r）n，r 为年均增长率，n 为年份差，年均增
长率基期的确定与年均增长量相同；若正常的 2018～2023 年，则现期为 2023
年，基期为2018年，年份差为5，若“十三五”时期，对应2016～2020年，今
年可能会考查“十四五”时期，对应2021～2025年，现期为2025年，基期往前
推一年为2020年，年份差为5，江苏考试基期往前推一年。
年均增长率比较（多）
比较：年均增长最快、年均增速排序
方法：n相同，直接比较“现期量/基期量”
原理：“现期量/基期量”大，“整体增长率”大，年均增长率就大
【注意】年均增长率比较：考查较多，国省考都爱考查。
1.比较：年均增长最快、年均增速排序。
2.方法：n 相同（考试基本都是 n 相同，只考查过 1个 n 不同的情况），直
接比较“现期量/基期量”。
3.例：从 2020～2023 年，每年的年均增长率均为 r，若总的增长率（2023
年比2020 年）大，则分到每年的增长率大，总的增长率小，则分到每年的增长
15率小。
4.原理：“现期量/基期量”大，“整体增长率”大，年均增长率就大，总的
增长率小，则分的小。
5.如图所示，问哪一年的年均增长率最大？
答：现期/基期，A产量：1208/215=6-、B产量：12096/364=几十倍，C产量：
1231/982=1+，竖着直除，B的增长率最大。
6.江苏考查过n不同（只考查过1次），r：n=3，现期/基期=2.71；r：n=5，
1 2
现期/基期=2.13，一定是r 大。
1
【例1】根据资料，判断“2019～2021年，东部地区乡村人均社会资本投入
年均增长率高于中部和西部地区”这一说法是否正确。
A.正确 B.错误
【解析】1.2019 年是基期，2021年是现期，判断“东部地区乡村人均社会
资本投入年均增长率高于中部和西部地区”，年均增长率比较问题，n 相同（时
16间段一样，n 一定相同），直接比较“现期/基期”，2021 年/2019 年，东部：
231.8/133=1+倍；中部：80.2/33.1=2+，中部＞东部，描述错误，不用再看西部
的数据，对应B项。【选B】
【注意】梳理：
1.题型：年均增长率比较。
2.方法：比较“现期/基期”。
3.计算：231.8/133，80.2/33.1，89.4/56.5，东部＜中部，错误，选B项。
【例2】（2025联考）以下国家和地区中，2014～2023年新增光伏装机规模
平均增速（以2014年为基准）最快的是：
A.欧洲 B.美国
C.拉美 D.中东及北非
【解析】2.平均增速→年均增长率，问最快的是谁，年均增长率的比较问题，
明确给出2014年为基期，2023年为现期，n相同，直接比较现期/基期，定位材
料找数据，A项：61.2/7.2；B项：31.1/6.7；C项：25.4/0.5=50+；D项：18.2/0.3=60+，
一看数据就知道前两个一定小，结果都是个位数，D项最大，选择D项。【选D】
17【注意】若考场上没时间做，看到问最快→好事，直接先排除 A、B项，猜
测答案为D项。
年均增长率计算（很少考）
公式：现期量/基期量=（1+r）n
速算：结合选项居中代入，与现期/基期比较
选项较整，将居中选项代入
现期量/基期量≈1.73=（1+r）³，r≈（ ）？
A.10% B.20%
C.40% D.50%
一般需要记住：
1.1²=1.21、1.2²=1.44、1.3²=1.69、1.4²=1.96；1.1³=1.33、1.2³≈1.73、
1.3³≈2.2
选项不整，代入介于两个选项之间的整数或分数
现期量/基期量≈1.62=（1+r）²，r≈（ ）？
A.21% B.27%
C.37% D.42%
【注意】年均增长率计算（很少考）：广东、深圳会考查，上海偶尔考查，
其他地区考查很少，了解即可，“粉刷刷”中会讲解的更清晰。
1.公式：现期量/基期量=（1+r）n。
2.速算：结合选项居中代入，与现期/基期比较。
（1）选项较整，将居中选项代入。
①例：现期量/基期量≈1.73=（1+r）³，r≈（ ）？
A.10% B.20%
C.40% D.50%
答：选项很整，代入选项，不用开放计算，看选项，找四个选项中间的数据
代入，若20%小，则不用看10%，代入20%，（1+20%）³=1.2³=1.44*1.2=1.728≈
1.73，满足条件，选择B项；也可以代入分数，20%=1/5，（1+20%）³=（1+1/5）
³=6³/5³=216/125=1.728，背常见的立方数。
18②一般需要记住：1.1²=1.21、1.2²=1.44、1.3²=1.69、1.4²=1.96；1.1³=1.33、
1.2³≈1.73、1.3³≈2.2。
（2）选项不整，代入介于两个选项之间的整数或分数。
例：现期量/基期量≈1.62=（1+r）²，r≈（ ）？
A.21% B.27%
C.37% D.42%
答：在选项中找一个居中的整数或分数，如代入30%，若30%小了，则排除
A、B项，在C、D项中选择，（1+30%）²=1.69＞1.62，说明30%略大，选择比30%
略小的，选择B项；也可以代入1/3，（1+1/3）²=4²/3²=16/9=1.78，比1.62略
大，即33.3%略大，排除C、D项；若选项为18%、23%，可以到代入20%、30%，
若30%大了20%小了，则选择23%，若20%大了，则选择18%。
【例3】（2025广东）2021～2023年，国家铁路旅客周转量年均增长率：
A.不到15% B.在15%到30%之间
C.在30%到45%之间 D.超过45%
【解析】3.求年均增长率，公式：现期/基期=（1+r）²。2021 年是基期，
2023年是现期，年份差为2，主体为“国家铁路旅客周转量”，代入数据，现期/
基期=14717.12/9559.09≈1.5，代入选项的临界点 30%，（1+30%）²=1.3²=1.69
＞1.5，说明 30%大了，排除 C、D 项；剩余 A、B 项，代入好算的 20%（临界点
15%不算），（1+20%）²=1.2²=1.44＜1.5+，说明 20%小了，排除 A项，对应 B项。
【选B】
19年均增长率理论小结
识别：年均增长最快、年均增长+%
公式：现期量/基期量=（1+r）n
题型：
1.年均增长率比较类：n相同，直接比较现期量/基期量
2.年均增长率计算类：结合选项居中代入，与现期/基期比较
【注意】年均增长率理论小结：
1.识别：年均增长最快、年均增长+%。
2.公式：现期量/基期量=（1+r）n。
3.题型：
（1）年均增长率比较类（考查多）：n相同，直接比较现期量/基期量。
（2）年均增长率计算类（考查少）：结合选项居中代入，与现期/基期比较。
混合增长率的识别与方法
识别：①求增长率，无法直接计算②主体之间有和差关系（量加和关系）
量加和：①主体：进口+出口=进出口；房产+地产=房地产；邮政+电信=邮电；
博士+硕士=研究生；A与B的和=A+B
②时间：1-11月+12月=全年；一季度+二季度=上半年
③逻辑：是+非=全部，网上零售额=实物商品网上零售额+非实物商品网上零
售额
机动车=汽车+非汽车
方法：先口诀后线段
【注意】混合增长率：
1.识别：
（1）求增长率，无法直接计算。
（2）主体之间有和差关系（量加和关系）。
2.量加和：
（1）主体：
①进口+出口=进出口。如进口500，出口800，则进出口为1300，进口增长
20率为8%，出口增长率为10%，求进出口增长率。
②房产（盖房子）+地产（拆迁、土地储备）=房地产。
③邮政（快递相关）+电信（电话相关）=邮电（物流相关，物、信息传递）。
④博士+硕士=研究生（山东考查过）。博士、硕士是学位，研究生是学历，
博士、硕士都是研究生。
⑤A与B的和=A+B。
（2）时间：1～11月+12月=全年；一季度+二季度=上半年。
（3）逻辑：是+非=全部；网上零售额=实物商品网上零售额+非实物商品网
上零售额；机动车=汽车+非汽车；男+女=总人数
3.方法：先口诀后线段。
混合增长率口诀
1.混合后居中（部分增长率1＜整体增长率＜部分增长率2）
例：某地2022年上半年GDP同比增速为8%，下半年为12%。问：该地2022
年全年GDP同比增速范围是__%＜r＜__%。
【注意】混合增长率口诀：
1.混合后居中（部分增长率 1＜整体增长率＜部分增长率 2）。比如进口+出
口=进出口，两个部分混合得到整体，混合后的是整体。假设苏炳添的速度为r，
1
一个小孩的速度为 r ，让两个人手拉着手跑（合体跑），此时速度介于 r ～r 之
2 1 2
间，即“混合后居中”。
2.例：某地2022年上半年GDP同比增速为8%，下半年为12%。问：该地2022
年全年GDP同比增速范围是。
答：上半年+下半年=全年，时间性量加和，求增长率，考虑混合增长率。混
合后居中，则全年增速介于8%～12%之间。
212021年H省商品、服务类电子商务交易额为11526.13亿元，比上年同期增
长 21.8%，高于全国增速 2.3 个百分点。H 省跨境电商进出口交易额为 2018.3
亿元，其中，出口 1475.5 亿元，同比增长 15.7%；进口 542.8 亿元，同比增长
16.0%。H 省网上零售额为 2948.2亿元，同比增长 12.5%，其中，实物商品网上
零售额为2426.4亿元，同比增长10.1%。
【例1】（2023国考）根据资料，判断“2021年，H省跨境电商进出口交易
额同比增长16%以上”这一说法是否正确。
A.正确 B.错误
【解析】1.主体为“跨境电商进出口交易额”，求增长率，已知“H 省跨境
电商进出口交易额为2018.3亿元，其中，出口1475.5亿元，同比增长15.7%；
进口 542.8 亿元，同比增长 16.0%”，出口+进口=进出口，考虑混合增长率。出
口r=15.7%，进口r=16%，混合后居中，进出口r介于15.7%～16%之间，说法错
误，对应B项。【选B】
【注意】
1.题型：混合增长率（出口+进口=进出口，研究增长率）。
2.方法：口诀法。
3.计算：混合后居中，15.7%＜r＜16%，说法错误，选B项。
【例2】（2022四川下）2019年1～2月，我国包裹寄递量比去年同期：
A.下降了不到10% B.下降了10%以上
22C.上升了不到10% D.上升了10%以上
【解析】2.求增长率，主体为“包裹寄递量”，给出1季度和3月，求1～2
月，1～2 月+3 月=1 季度，考虑混合增长率（时间型）。3 月 r=-10.8%，1 季度
r=-12.3%，混合后居中，画图分析，混合前写两边，混合后写中间，左边为1～
2月r，右边为3月r=-10.8%，中间为1季度r=-12.3%，故r＜-12.3%＜-10.8%
→r＜-12.3%，为下降，排除 C、D 项；r＜-12.3%，说明下降的比 12.3%还多，
即下降了10%以上，对应B项。【选B】
【注意】
1.题型：混合增长率（1～2月+3月=一季度，研究增长率）。
2.方法：口诀法。
3.计算：混合后居中，r＜-12.3%＜10.8%，选B项。
混合增长率口诀
2.偏向基期量较大的增长率
注：基期量无法算时，一般用现期量代替
（1）假设r＞r＞r，偏向r，即r＞r＞（r+r）/2（正中间）；偏向r，
1 2 1 1 1 2 2
即（r+r）/2（正中间）＞r＞r（求r）
1 2 2
（2）假设 r ＞r＞r ，偏向 r ，则 r-r＜r-r ；偏向 r ，则 r-r＞r-r ；结
1 2 1 1 2 2 1 2
合代入（求r 或r）
1 2
例：某地2023年上半年GDP为800亿元，同比增速为8%，下半年GDP为1200
亿元，同比增速为12%。问：该地2023年全年GDP同比增速为？
A.7.2% B.8.7%
C.10.4% D.13.1%
【注意】（混合后的增长率）偏向基期量较大的增长率：
1.例：假设左边是大陆，增速为 8%，右边为 T 省，增速为2%，统一以后增
23长率介于2%～8%之间，大陆很大，T省很小，即使拖后腿也拖不动，故增长率更
接近8%。
2.注：基期量无法算时，一般用现期量代替。
3.运用：
（1）假设r＞r＞r，r 基期大，偏向r，即r＞r＞（r+r）/2（正中间）；
1 2 1 1 1 1 2
r 基期大，偏向r，即（r+r）/2（正中间）＞r＞r（求r）。
2 2 1 2 2
（2）假设 r ＞r＞r ，r 基期大，偏向 r ，则 r-r＜r-r ；r 基期大，偏向
1 2 1 1 1 2 2
r，则r-r＞r-r；结合代入（求r 或r）。
2 1 2 1 2
4.例：某地2023年上半年GDP为800亿元，同比增速为8%，下半年GDP为
1200亿元，同比增速为12%。问：该地2023年全年GDP同比增速为？
A.7.2% B.8.7%
C.10.4% D.13.1%
答：上半年+下半年=全年，求增长率，考虑混合增长率，混合后居中，增长
24率介于8%～12%之间，排除A、D项。偏向基期量大的，上半年基期=800/1.08=800-，
下半年基期=1200/1.12=1000+，中线=（r+r）/2=10%，则10%＜r＜12%，对应C
1 2
项。
【例3】（2025江苏）根据资料，判断“2023年我国发电机组和内燃机零部
件出口额之和的增长率一定高于5.9%”这一说法是否正确。
A.正确 B.错误
【解析】3.判断增长率是否高于 5.9%，主体为“发电机组和内燃机零部件
出口额之和”，分别给出增长率，内+发=和，量加和的关系，求增长率，考虑混
合增长率。混合后居中，和的增长率介于 5.1%～6.7%之间，无法判断。偏向基
期量大的，内燃机零部件基期=118.3/1.067，发电机组基期=52.9/1.051，内燃
机零部件的基期大，则和的增长率距离 6.7%更近，中线为（6.7%+5.1%）
/2=11.8%/2=5.9%，故5.9%＜r＜6.7%，说法正确，对应A项。【选A】
【注意】
1.题型：混合增长率（内+发=内发和，研究增长率）。
2.方法：口诀法。
253.居中，5.1%＜r＜6.7%；偏向。求混合后 r，（5.1%+6.7%）/2=5.9%＜r＜
6.7%，选A项。
2018年我国全年规模以上港口完成货物吞吐量 133亿吨，同比增长 2.7%。
其中，外贸货物吞吐量42亿吨，同比增长2.0%。规模以上港口集装箱吞吐量24955
万标准箱，同比增长5.2%。
【例4】（2022山东）2018年我国全年规模以上港口完成非外贸货物吞吐量
同比增速：
A.低于1.5% B.在1.5%～2.5%之间
C.在2.5%～3.5%之间 D.高于3.5%
【解析】4.求增长率，主体为“非外贸货物吞吐量”，已知“2018年我国全
年规模以上港口完成货物吞吐量 133 亿吨，同比增长 2.7%。其中，外贸货物吞
吐量 42 亿吨，同比增长 2.0%”，外贸+非外贸=总，量加和的关系，求增长率，
考虑混合增长率。
混合后居中，外贸r（2%）＜混合r（2.7%）＜非外贸r，排除A、B项。偏
向基期量大的，材料没有给出非外贸的增长率，不好求基期，考虑用现期量代替；
总=133，外贸=42，则非外贸=133-42=91，非外贸＞外贸，故混合 r（2.7%）距
离非外贸 r 更近，左边距离为 2.7%-2%=0.7%，右边距离为0.7%，右边距离近，
则0.7%＞r-2.7%→r＜3.4%，对应C项。【选C】
【注意】
1.题型：混合增长率。
2.方法：口诀法。
263.计算：居中，2%＜2.7%＜r，排除 A、B 项；偏向，求部分 r，2.7%-2%＞
r-2.7%，r＜3.4%，选C项。
2023年上半年，全国新注册登记机动车1688万辆，同比增长1.9%。新注册
登记汽车 1175 万辆，同比增长 5.8%。其中，新注册登记载客汽车 1034 万辆，
同比增长 5.6%；新注册登记载货汽车 133万辆，同比增长 8.1%。新注册登记新
能源汽车313万辆，同比增长41.6%。
【例5】（2025四川）2023年上半年，全国新注册登记非汽车类机动车数量
比上年同期：
A.增长了不到2% B.增长了2%以上
C.减少了不到2% D.减少了2%以上
【解析】5.增长/减少+%，求增长率，主体为“非汽车类机动车数量”，已知
“2023年上半年，全国新注册登记机动车1688万辆，同比增长1.9%。新注册登
记汽车1175万辆，同比增长5.8%”，机动车=汽车类+非汽车类，量加和的关系，
考虑混合增长率。
混合后居中，汽车 r（5.8%）＞机动车 r（1.9%）＞非汽车 r，排除 B 项。
偏向基期量大的，材料没有给出非汽车的增长率，不好看基期，考虑用现期代替，
汽车=1175，机动车=1688，则非汽车=1688-1175=513，汽车＞非骑车，故机动车
r（1.9%）偏向汽车r（5.8%），左边距离 5.8%-1.9%=3.9%，右边距离为1.9%-非
汽车r，左边距离近，则3.9%＜1.9%-非汽车r→非汽车r＜-2%，减少，排除A、
B项；非汽车r＜-2%，减少2%以上，对应D项。【选D】
27【注意】
1.题型：混合增长率。
2.方法：口诀法。
3.计算：居中，＜1.9%，排除 B 项；偏向，求部分 r，1.9%-r＞3.9%，r＜
-2%，选D项。
线段法
解题逻辑：
混合增长率题目先用口诀“混合之后总体居中，偏向基期量大的”来解决（90%
以上）；
如果无法锁定唯一答案才需要用线段法计算
原理证明了解一下，不理解的话，记住操作即可
基期量 *r+基期量 *r=（基期量 +基期量 ）*整体r→
1 1 2 2 1 2
基期量 *（r-整体r）=基期量 *（整体r-r）→基期量 /基期量 =（整体
1 1 2 2 1 2
r r）/（r 整体r）
2 1
列式麻烦，画个线段即可：混合前写两边，混合后写中间，增速差与基期量
− −
成反比
例：某地2023年进出口额为800亿元，同比增速为6%，进口额为300亿元，
同比增速为8%。问：该地2023年出口额的同比增速约为（ ）？
A.3.61% B.4.22%
C.4.83% D.5.62%
【注意】线段法：
1.解题逻辑：
（1）混合增长率题目先用口诀“混合之后总体居中，偏向基期量大的”来
解决（90%以上）。
（2）如果无法锁定唯一答案才需要用线段法计算。
2.原理证明了解一下，不理解的话，记住操作即可：
（1）基期 +基期 =整体，增长量 +增长量 =整体增长量，增长量=基期*r，
1 2 1 2
则基期量 *r+基期量 *r=（基期量 +基期量 ）*整体r→基期量 *（r-整体r）
1 1 2 2 1 2 1 1
28=基期量 *（整体r-r）→基期量 /基期量 =（整体r r）/（r 整体r）。
2 2 1 2 2 1
（2）列式麻烦，画个线段即可：混合前写两边，混合后写中间，增速差与
− −
基期量成反比。如果基期量之比为1：2，则增速差之比为2：1。
3.例：某地2023年进出口额为800亿元，同比增速为6%，进口额为300亿
元，同比增速为11%。问：该地2023年出口额的同比增速约为（ ）？
A.3.21% B.4.32%
C.4.83% D.5.62%
答：求增长率，主体为“出口额”，进口+出口=进出口，考虑混合增长率。
线段法：混合前写两边，混合后写中间，进口（300、11%）＞进出口（800、6%）
＞出口（800-300=500、x%），量之比=300/500=3/5，则距离之比为5/3，左边距
离为11%-6%=5%，对应5份，则1份为1%，右边3份距离对应3%，则x%=6%-3%=3%，
最接近A项（用现期代替有误差）。
2020年，东部地区互联网业务收入11227亿元，同比增长14.8%，……2020
年，互联网业务累计收入居前5 名的广东（增长5.2%）、北京（增长21.5%）、上
海（增长 20.9%）、浙江（增长 24.4%）和江苏（增长 8.0%）共完成互联网业务
收入10706亿元，同比增长15.1%，增速超过全国平均水平2.6个百分点，……
【例6】（2021联考）2020年，东部地区除广东、北京、上海、浙江和江苏
之外的省市互联网业务收入约比2019年：
A.增长9% B.增长19%
C.减少9% D.减少19%
【解析】6.增长/减少+%，求增长率。主体为“东部地区除广东、北京、上
海、浙江和江苏之外的省市互联网业务收入”，给出前五名、东部地区，求前五
29之外，前五名+前五之外=东部地区，量加和的关系，考虑混合增长率。混合后居
中，前五名（10706、15.1%）＞东部地区（11227、14.8%）＞前五之外
（11227-10706=521、x%），排除 D 项。偏向看不出来（左边距离为 0.3%，选项
与14.8%的距离远大于0.3%），考虑线段法，量之比=10706/521≈20/1，则距离
之比为 1/20，左边距离为 15.1%-14.8%=0.3%，即 1 份对应 0.3%，则 20 份对应
6%，x%=14.8%-6%=8.8%，最接近A项。【选A】
【注意】
1.梳理：
（1）题型：混合增长率。
（2）方法：先口诀再线段。
（3）计算：＜14.8%，排除B项；偏向无果；量之比约为20：1，距离之比
为0.3%：6%，x%=8.8%，选A项。
2.猜题：东部地区发达一点，互联网业务收入一定是增长的，排除C、D项，
发展好的（前五名）增长率为15.1%，发展慢（之外）的增长率小一点，猜A项
9%。
混合增长率理论小结
识别：部分+部分=总体，求增长率（量加和、率混合）
量加和：①主体：进口+出口=进出口；房产+地产=房地产；邮政+电信=邮电；
博士+硕士=研究生；A与B的和=A+B
②时间：1-11月+12月=全年；一季度+二季度=上半年
③逻辑：是+非=全部，网上零售额=实物商品网上零售额+非实物商品网上零
售额
机动车=汽车+非汽车
30方法：先口诀——混合后居中；偏向基期量较大的增长率
再线段——混合前写两边，混合后写中间，增速差与基期量成反比
注：部分量增速未知时，一般用现期量代替基期量
【注意】混合增长率理论小结：
1.识别：部分+部分=总体，求增长率（量加和、率混合）。
2.量加和：
（1）主体：进口+出口=进出口；房产+地产=房地产；邮政+电信=邮电；博
士+硕士=研究生；A与B的和=A+B。
（2）时间：1-11月+12月=全年；一季度+二季度=上半年。
（3）逻辑：是+非=全部；网上零售额=实物商品；网上零售额+非实物商品
网上零售额；机动车=汽车+非汽车。
3.方法：
（1）先口诀——混合后居中；偏向基期量较大的增长率。
（2）再线段（考查不多）——混合前写两边，混合后写中间，增速差（距
离）与基期量成反比。
4.注：部分量增速未知时，一般用现期量代替基期量。
【注意】特殊增长率：整体考查频率不高，不如比重、平均数。
1.间隔增长率：常考，属于套路题。
（1）识别：隔一年，求增长率/倍数/基期。
31（2）公式：r+r+r*r（和+积）。
1 2 1 2
（3）技巧：
①间隔倍数=1+r 。
间
②间隔基期=现期/（1+r ）。
间
③逆向考查：r=（r -r）/（1+r）。
2 间 1 1
2.年均增长率：主要考查比较，计算考查很少。
（1）识别：年均+增长率。
（2）公式：现期/基期=（1+r）n。
（3）技巧：
①比较：n相同，比较现期/基期。
②计算：居中代入。
3.混合增长率：常考、套路题。
（1）识别：量有加和关系，研究增长率。
（2）技巧：
①混合后居中：最小r＜总体r＜最大r。
②偏向基期较大的：总体增速离基期量大的增速更近（距离）。
③线段法：增速差与基期量成反比。
32遇见不一样的自己
Be your better self
33
