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理论讲练-数量关系2 （笔记） 主讲教师：王义 授课时间：2025.08.14 粉笔事考·官方微信 1 理论讲练-数量关系2（笔记） 【答案汇总】 工程问题1-5：BDAAC；6-7：BB 经济利润问题1-5：CBDCC；6：D 数学运算 理论讲练2 学习任务： 1.课程内容：工程问题、经济利润问题 2.授课时长：2.5 小时 3.对应讲义：第247～250 页 4.重点内容： （1）掌握工程问题的三种考法与对应解题步骤（方法） （2）掌握与售价、成本、利润、打折、利润率等相关的公式 （3）掌握经济利润问题中函数最值问题的求解方法 【注意】数学运算二：从本节课开始学习具体题型，本节课讲解工程问题、 经济利润问题。题型主要学习识别以及所对应的套路、公式、解题方法，即两个 维度：是什么、方法是什么。 第二节 工程问题 三量关系：总量=效率*时间，W=P*t 考查题型 2 1.给完工时间型 2.给效率比例型（重点） 3.给具体数值单位型 【注意】工程问题：套路题，出现了要去争取，且联考每年都在考，难度不 高，甚至比课上讲的难度更低。 1.最核心的三量关系：总量=效率*时间（W=P*t）。比如老师制作ppt，每天 制作5 页（P）、则8 天（t）可以制作5 页/天*8 天=40 页（W）。如果要求t=W/P、 P=W/t。 2.考查题型： （1）给完工时间型。 （2）给效率比例型。 （3）给具体数值单位型。 1.给完工时间型（给出多个完工时间） ①赋总量（完工时间的公倍数） ②算效率：效率=总量/时间 ③根据工作过程列式计算 【例】搬一堆砖，甲单干要4 小时，乙单干要6 小时，甲乙合作需要多久完 成？ 【注意】给完工时间型： 1.识别：题目中给出多个完工时间；“多个”指的是≥2 个，“完工时间”是 指一次性干完所有工作的时间。 2.套路：三步走。 （1）赋总量：完工时间的公倍数（要让总量是多少就是多少）。 （2）算效率：效率=总量/时间（P=W/t）。 （3）根据工作过程列式计算。 3.例：搬一堆砖，甲单干要4 小时，乙单干要6 小时，甲乙合作需要多久完 成？ 答：搬一堆砖→工程，4 小时、6 小时都是完工时间，出现2 个完工时间， 3 属于给完工时间型工程问题。（1）赋总量：赋值W 总是完工时间4 和6 的公倍数， 4 的倍数有4、8、12、16、20……、6 的倍数有6、12、18、24，发现12 既是4 的倍数，又是6 的倍数，是最小公倍数，也可以赋值为24，本题赋值W 总为12。 （2）算效率（P=W/t）：P 甲=12/4=3 份/小时、P 乙=12/6=2 份/小时。（3）根据工 作过程列式计算：问“甲乙合作需要多久完成”，t=W/P=12/（3+2）=12/5=2.4 小时。 4.原因：若不赋值，设总量为W，P 甲=W/4、P 乙=W/6，t=W/P 合作=W÷（W/4+W/6）， 发现“W”可以消掉，说明“W”对最终结果没有影响，之所以赋值，是想让W/4、 W/6 是整数，则赋值为完工时间的公倍数即可（好算）。 【例1】（2022 联考）为保障冬奥会比赛顺利进行，各场馆需对设施设备进 行测评，合格后交付使用。现对一赛道进行检测，已知检测时匀速作业，如甲机 构单独检测需要90 分钟，乙机构单独检测需要135 分钟，现两机构同时协作检 测45 分钟后，甲单独完成剩余部分。问甲机构一共检测了多少分钟？（ ） A.55 B.60 C.65 D.70 【解析】1.检测赛道是工程，已知“甲机构单独检测需要90 分钟，乙机构 单独检测需要135 分钟”，给出2 个完工时间（90 分钟、135 分钟），属于给完工 时间型工程问题。（1）赋总量：赋值W 总为90 和135 的公倍数，不好找公倍数， 可以利用短除法；同时除以5，90/5=18、135/5=27；再同时除以9，18/9=2、27/9=3； 2、3 不能再约分，最小公倍数=5*9*2*3=270，赋值W 总=270。 （2）算效率：P 甲=270/90=3，P 乙=270/135=2。（3）根据工作过程列式求解： 已知“现两机构同时协作检测45 分钟后，甲单独完成剩余部分”，甲、乙合作 45 分钟后，剩余部分由甲单独完成，设甲还需要工作t 分钟；整个工作过程分 成2 段→（3+2）*45+3*t=270，能约分的先约分，等号左右两边同时除以3→（3+2） 4 *15+t=90→75+t=90→t=15，说明第二段工作甲需要15 分钟；问甲机构一共检测 了多少分钟，甲第一段工作了45 分钟、第二段工作了15 分钟，所求=45+15=60 分钟，对应B 项。【选B】 讲义位置：第一章→数学运算，第二节→工程问题。 【例2】（2022 四川）某项工程，甲、乙、丙、丁四个人单独完成分别需要 16、12、16、20 小时。现按照甲、乙、丙、丁的顺序轮流来完成此项工程，每 人每次1 小时。当工程完成时，恰好轮到（ ）。 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】2.给出4 个时间（16、12、16、20 小时），并且都是完工时间，属 于给完工时间型。（1）赋总量：有2 个16，则只需找12、16、20 的公倍数，不 好看可以利用短除法；同时乘以4，剩下3、4、5，此时3、4、5 两两之间不能 再约分，最小公倍数=外围数字相乘=4*3*4*5=240。（2）算效率：P 甲=240/16=15、 P 乙=240/12=20、P 丙=240/16=15、P 丁=240/20=12。（3）根据工作过程列式求解： 要求“现按照甲、乙、丙、丁的顺序轮流（接下来是甲、乙、丙、丁、……）来 完成此项工程，每人每次1 小时”，一个循环完成的工作量为15+20+15+12=62 份；一共是240 份工作，240/62=3 个循环……54 份工作；剩余的54 份工作进入 下一个循环，按照“甲、乙、丙、丁、……”，甲1 小时完成15 份、乙1 小时完 成20 份、丙1 小时完成15 份，此时完成15+20+15=50 份，还剩54-50=4 份、由 丁完成，则最后完成工作的是丁，对应D 项。【选D】 5 2.给效率比例型（给多个效率的比例关系） ①赋效率（满足比例即可） ②算总量：效率*时间=总量 ③根据工作过程列式计算 【例】甲乙两人工作效率之比为5：2，一项工作两人合作6 天可以完成， 问乙单独工作需多少天完工？ 【注意】给效率比例型（给多个效率的比例关系）： 1.方法： （1）赋效率（满足比例即可）。 （2）算总量：效率*时间=总量。 （3）根据工作过程列式计算。 2.例：甲乙两人工作效率之比为5：2，一项工作两人合作6 天可以完成， 问乙单独工作需多少天完工？ 答：已知“甲乙两人工作效率之比为5：2”，给出效率比例关系，属于给效 率比例型。（1）赋效率：赋值P 甲=5、P 乙=2。（2）算总量：两人合作6 天可以完 成，W 总=（5+2）*6=42。（3）根据工作过程列式计算：问乙单独工作需多少天完 工，t 乙=W/P 乙=42/2=21 天。 【例3】（2024 浙江）有甲、乙、丙三支工程队，已知甲、乙效率比为5：4， 甲、乙效率之和是丙效率的0.9 倍。某项工程开始先由甲、丙合作8 天，剩余工 程由乙单独再做20 天完成。如果该工程先由甲、乙合作10 天，那么剩下的由丙 单独完成还需要多少天？（ ） A.11 B.12 C.13 D.14 【解析】3.工程问题，已知甲、乙效率比为5：4，给出效率比例，属于给 效率比例型。（1）赋效率：赋值P 甲=5、P 乙=4，“甲、乙效率之和是丙效率的0.9 倍”→P 甲+P 乙=P 丙*0.9→9=P 丙*0.9→P 丙=10。（2）算总量：已知“某项工程开始 先由甲、丙合作8 天，剩余工程由乙单独再做20 天完成”，则W 总=（5+10） *8+4*20=200。（3）根据工作过程列式计算：该工程先由甲、乙合作10 天，做了 6 （5+4）*10=90 份，W 剩余=200-90=110，则t 丙=110/10=11 天，对应A 项。【选A】 2.给效率比例型（给多个效率的比例关系） 直接给：甲乙的效率之比为3：4 间接给：甲4 天的工作量等于乙3 天的工作量 特殊型 【注意】给效率比例型（给多个效率的比例关系）： 1.直接给：甲乙的效率之比为3：4，直接赋值P 甲=3、P 乙=4。 2.间接给：题目本身不直接给出效率比例关系，需要自己推导。比如甲4 天的工作量等于乙3 天的工作量，W 甲（甲4 天的工作量）=W 乙（乙3 天的工作量）； 推导：根据工作量相等列式→P 甲*4=P 乙*3，等号左右两边同时除以P 乙→P 甲/P 乙 *4=3，等号左右两边同时除以4→P 甲/P 乙=3/4。 3.特殊型。 【例4】（2024 河北）某学校的两位老师进行某项课程研发工作，若张老师 先单独进行9小时，则李老师再花6小时可以完成；若张老师和李老师同时进行， 则7 小时完成。若张老师先进行5 小时，则李老师需要再进行（ ）小时。 A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】4.工程问题，虽然时间很多，但9 小时、6 小时、7 小时、5 小时 7 均不是完工时间，因为没有把所有的工作干完，只是完成了一部分，则不是给完 工时间型。已知“若张老师先单独进行9 小时，则李老师再花6 小时可以完成； 若张老师和李老师同时进行，则7 小时完成”，根据“W 总相等”列式→W 总=P 张*9+P 李*6=P 张*7+P 李*7→2*P 张=P 李，则本题为间接给效率比例型。（1）赋效率：赋值P 张=1、P 李=2。（2）算总量：W 总=1*9+2*6=21。（3）根据工作过程列式计算：张5 小时完成1*5=5 份，则W 剩=21-5=16 份，问李老师需要再进行多少时间，所求 =16/2=8 小时，对应A 项。【选A】 【注意】出现多种工作方案，表示出来、划等号、进行整理。 【当堂练习】(2024 联考)一项工程，若由甲、乙一起施工7 天，乙又单独 施工7 天，可以完成工程总量的1/3；若由乙、丙一起施工7 天，丙又单独施工 7 天，可完成工程总量的1/6。由此可得 A.甲的效率是丙的1/4 B.甲的效率是丙的的1/2 C.甲的效率是丙的2 倍 D.甲的效率是丙的4 倍 【解析】拓展.工程问题，本题可以拆开做，甲、乙一起施工7 天，乙又单 独施工7 天，可以完成工程总量的1/3，则（P 甲+P 乙）*7+P 乙*7=7*P 甲+14*P 乙=W 总*1/3，“7*P 甲+14*P 乙=W 总*1/3”左右两边都乘以3，变成W 总=21*P 甲+42*P 乙，实 际可以变成“甲、乙一起施工21 天，乙又单独施工21 天，可以完成工程总量”， 则W 总=P 甲*21+P 乙*42；同理，根据“若由乙、丙一起施工7 天，丙又单独施工7 天，可完成工程总量的1/6”，实际变为“乙、丙一起施工42 天，丙又单独施工 42 天，可以完成全部的工程总量”，第二种工作方式乙做了42 天，丙做了84 天， W 总=P 甲*21+P 乙*42=P 乙*42+P 丙*84→21*P 甲=84*P 丙→P 甲=4*P 丙，则甲的效率是丙 8 的4 倍，对应D 项。【选D】 2.给效率比例型（给多个效率的比例关系） 直接给：甲乙的效率之比为3：4 间接给：甲4 天的工作量等于乙3 天的工作量 特殊型：给多个人或多台机器，如50 个工人、36 台收割机（每个人效率相 同），赋值每个人/每台机器效率为1 【注意】给效率比例型（给多个效率的比例关系）： 1.直接给：甲乙的效率之比为3：4，直接赋值。 2.间接给：甲4 天的工作量等于乙3 天的工作量，推导出效率比例关系、再 赋值。 3.特殊型：给出多个人或多台机器，如50 个工人、36 台收割机（每个人效 率相同），赋值每个人/每台机器的效率为1。解释：假设有50 个工人，分别是 甲、乙、丙、丁、……，考虑实际工作情况，每个人的效率不同（有的人干活快、 有的人干活慢、有的人偷懒、有的人非常“卷”），则无法做；只能默认每个人的 效率相同→效率之比是1：1：1：1：……，则赋值每个人的效率为1；“1”表示 1 个人1 天可以完成1 份工作，则8 个人6 天可以完成8*6=48 份工作。 【例5】（2024 陕西）有50 名工人要完成工厂的零件分类工作，计划20 天 完成。动工8 天后抽出10 人负责商品包装，剩下的工人继续对零件进行分类。 如果每人的工作效率不变，那么完成零件分类工作实际要用多少天？（ ） A.21 B.22 C.23 D.24 【解析】5.出现“50 名工人”，赋值每名工人每天的效率为1，W 总=50*20=1000； 前8 天有50 名工人，抽出10 人→剩余40 名工人、假设干t 天，可以完成工作； 整体分成2 段，列式：50*8+40*t=1000→400+40*t=1000→40*t=600，解得t=15。 所求=8+15=23 天，对应C 项。【选C】 9 3.给具体数值单位型（具体效率或工作量） ①设未知数 ②根据工作过程列方程 甲每天生产3 个零件…… 要完成500 个零件的加工…… 已经完成200 个礼品包装…… 【注意】给具体数值单位型：给完工时间型（题目中给出多个完工时间）→ 赋值工作总量，给效率比例型（赋效率，可以直接给、间接给、特殊给）→赋值 效率，均为赋值的思路。 1.识别：题目中给出具体效率或工作量。 2.例： （1）甲每天生产3 个零件，P 甲=3 个/天，给出效率的具体数值单位，不能 赋值。 （2）要完成500 个零件的加工，W=500 个，给出工作量的具体数值单位。 （3）已经完成200 个礼品包装，W=200 个，给出工作量的具体数值单位。 3.方法：不能赋值，利用方程法。 （1）设未知数。 （2）根据工作过程列方程。 【例6】（2024 联考）甲、乙施工队共同修一条全长20 千米的路，合作施工 10 25 天后乙队被调走，剩下部分甲队又用了25 天正好完成。已知乙队的效率是甲 队的2 倍，问甲、乙两队合作每天可以修多少米路？（ ） A.400 B.600 C.800 D.1200 【解析】6.方法一：常规方式。“20 千米”→给出工作量的数值单位，属于 给具体数值单位型，不能赋值，用方程法。设“是”字之后的为未知数，已知“乙 队的效率是甲队的2 倍”，设甲队的效率为x（甲队每天修x 米），则乙队的效率 为2x（乙队每天修2x 米），注意效率的单位和含义；问甲、乙两队合作每天可 以修多少米路，统一单位→20 千米=20*1000 米；整体分为2 段，根据题意列式： （x+2x）*25+x*25=20*1000→100x=20*1000→x=200，说明甲队每天修200 米、 乙队每天修400 米；所求=200+400=600 米，对应B 项。 方法二：出现倍数，考虑比例型倍数特性。已知“乙队的效率是甲队的2 倍”，P 乙/P 甲=2/1；问甲、乙两队合作每天可以修多少米路，所求=P 甲+P 乙，相加 对相加→“P 甲+P 乙”是2+1=3 的倍数，排除A、C 项。剩二代一，代入D 项：P 甲 +P 乙=1.2 千米/天，第一段甲乙合作25 天做了25*1.2=30 千米；这条路全长是 20 千米，但30 千米＞20 千米，与题干出现矛盾，排除D 项，选择B 项。【选B】 【例7】（2021 河南）某电信运营商安排技术人员张俊、李明、赵华三人在 广州荔湾区、白云区安装光纤宽带，荔湾区要安装900 户，白云区要安装1250 户。已知张俊、李明、赵华每天分别能安装24、30、32 户，张俊在荔湾区安装， 赵华在白云区安装，李明先在荔湾区安装，然后转到白云区安装。如果荔湾、白 云两区同时开工，同时完工，则李明从荔湾区转到白云区应在开工后第（ ）天。 A.12 B.11 C.10 D.9 【解析】7.工程问题，给出工作量的数值单位（900、1250 户），属于给具 体数值单位型，利用方程法。张俊只负责荔湾区、赵华只负责白云区，李明先帮 助张俊安装荔湾区（此时白云区只有赵华）、再帮助赵华安装白云区（此时荔湾 11 区只有张俊）；三个人完成两份工作，同时开始、同时完工，说明工作时间一致。 先整体分析，求t 总：假设从开始到结束的时间是t，三人都在干活、没有 人休息，说明三人t 天之内一起完成的工作量=900+1250=2150 户，则t=2150/ （24+30+32）=2150/86=25 天。再局部分析其中一份：荔湾区的数据比较小，则 分析荔湾区；张俊这25 天全程在荔湾区、一共安装25*24=25*2*12=50*12=600 户，荔湾区剩余的900-600=300 户是李明做的，李明每天做30 户，则做了 300/30=10 天；李明在荔湾区安装了10 天，则在第11 天从荔湾区转到白云区， 对应B 项。【选B】 【注意】总结：三个人完成两份工作，同时开始、同时结束，中间有一个人 来回帮忙；第一步，先整体求总的时间（t）；第二步，再局部（分析哪一份工作 都可以）。 12 【注意】工程问题：给完工时间型和给效率比例型是赋值的思想，给具体单 位型是方程的思想。 1.给完工时间型：遇到带循环周期的，先找到一个循环的工作量，再用W 总 /W 一个循环，分析几个循环，余下几份工作。 2.给效率比例型：直接给（3：4）和特殊给（50 人）都很好识别，只有间 接给效率比例不好识别，如果题目出现多个时间，但不是给完工时间型，则为间 接给效率比例。 3.给具体单位型：给了总量和效率的具体值，设未知数，找等量关系列方程。 如果看到题目有6 天，就判断为给具体单位型，这是不对的，因为判断看的是给 具体总量或具体效率，因此给具体单位型不能根据时间来判定。遇到同时开始、 同时结束的题目，先整体，再局部。 第三节 经济利润问题 经济利润 一、基础经济利润问题 1、给具体数值单位的经济利润：方程法、套公式 2、给比例求比例的经济利润：赋值法 二、函数最值问题 【注意】经济利润： 1.基础经济利润问题： （1）给具体数值单位的经济利润：方程法，套公式。 （2）给比例求比例的经济利润：赋值法。 2.函数最值问题。 1.基本公式： ①利润=售价-成本 ②利润率=利润/成本 ③售价=成本*（1+利润率） ④折后价格=折前价格*折扣 13 ⑤总价=单价*数量 【注意】基本公式： 1.利润=售价-成本。例：赚20 元→具体的数值单位，利润是20 元；卖口红， 进价是100 元/支，每支卖120 元，（每支）利润=120-100=20 元/支。 2.利润率=利润/成本。例：赚了20%，20%是利润率，口红的利润率 =20/100=20%；区分资料分析中的“利润率”→利润/收入，这是唯一一个数量与 资料不同的公式；因为资料分析整体比较宏观，研究的是某个地区、某个产业的 情况，甚至是某个国家相关的情况，是国家统计局发布的（官方）数据，不好核 算成本，用收入表示；而数量关系是生活中的数字，需要考虑成本。 3.售价=成本*（1+利润率），要想达到30%的利润率，售价=100*（1+30%） =130。 4.折后价格=折前价格*折扣，比如打八折，100*80%=80。 5.总价=单价*数量；卖口红每支卖120，卖了10 支，总价=120*10=1200 元。 6.总利润=单利*数量。卖口红每支赚20 元，卖了10 支，则一共赚了 20*10=200 元。 7.大多数情况（98%），没有其他成本的时候，成本=进价，比如摆地摊，没 有其他成本；如果被抓了，开门市卖，此时还有其他费用（网费、水电、房租）， 此时成本=进价+其他（基本都是房租），题目如果涉及房租，不要忘记加上。 一、基础经济利润问题 1.给具体数值单位的经济利润：方程法，套公式。 【注意】常规经济利润：给具体数值单位的经济利润：方程法、套公式，如 题干中出现90 元、20 件、4 元/件，都是具体单位。 【例1】（2022 联考）北京冬奥会某合作厂家仅日间生产冰墩墩，月产量达 到了30000 件，每件利润25 元。冬奥会期间，为了提高产量，决定夜间继续生 产，夜间产量仅为日间的一半，且每件利润比日间减少10 元，问该厂在日夜生 产模式下预计该月盈利多少万元？（ ） A.22.5 B.75 14 C.97.5 D.112 【解析】1.背景是冬奥会；题目有具体的数值单位，有量、单（个）利（润）， 列表分析，日间：月产量为30000 件，利润为25 元/件，日间总利润=30000*25=3 万*25=75 万；夜间：已知“夜间产量仅为日间的一半，且每件利润比日间减少 10 元”，月产量为15000 件，利润为15 元/件，夜间总利润=15000*15=1.5 万 *15=22.5 万元，所求=75+22.5=97.5 万元，对应C 项。【选C】 【注意】猜题：所求=白天利润+晚上利润，观察选项，A 项+B 项=C 项，A、 B 项中一个是白天的利润、一个是晚上的利润，结合选项的设计猜C 项。 【拓展】（2023 公务员）某公司自主研发生产的A、B、C 三种型号氢燃料电 池，解决了该公司今年生产轿车所需电池数量的10%（按一辆车配一块电池计算）。 其中A 型号氢燃料电池的产量是B 型号的2 倍，C 型号的产量比A、B 两种型号 的产量之和还多400 块。预计该公司今年的轿车总产量是42.4 万辆，那么B 型 号氢燃料电池的产量是： A.3500 块 B.7000 块 C.14000 块 D.21400 块 【解析】拓展.根据题意，已知“A 型号氢燃料电池的产量是B 型号的2 倍”、 “C 型号的产量比A、B 两种型号的产量之和还多400 块”，C 型号=A 型号+B 型号 +400，观察选项，D 项（21400）=B 项（7000）+C 项（14000）+400，已知“A 型号氢燃料电池的产量是B 型号的2 倍”，则A 型号产量为14000、B 型号产量为 7000、C 型号产量为21400，问B 型号（的产量），对应B 项。【选B】 15 【注意】A 项的“3500”用来凑数， “3500”放在这里很迷惑，如果只放7000、 14000、21400，很容易看出（答案），但是“3500”就很迷惑。 【例2】（2021 联考）某鲜花店购进一批玫瑰，已知单支玫瑰进价1 元，按 定价5 元销售了70%后，再以定价的4 折销售剩余玫瑰，全部售完后共盈利3100 元。问该花店共购进玫瑰多少支？（ ） A.900 B.1000 C.1200 D.1500 【解析】2.经济利润，存在具体的数值和单位（各种“钱”），要么套公式、 要么用方程；根据题意，条件给得很充分，但是数量相关的一个都不知道，可以 设总量→共x 支玫瑰，给出多个时间段（第一轮、第二轮），考虑列表，进价都 是1 元/支，第一轮：已知“按定价5 元销售了70%”，售价是5 元/支，卖了70%x 支，一支玫瑰花赚5-1=4 元，利润=4*0.7x=2.8x 元；第二轮：已知“以定价的4 折销售剩余玫瑰”，售价是5*40%=2 元/支，进价是1 元/支，一支玫瑰花能赚2-1=1 元，卖了30%x 支，赚了1*0.3x=0.3x 元；又已知“全部售完后共盈利3100 元”， 列式：2.8x+0.3x=3100→3.1x=3100→x=1000，对应B 项。【选B】 16 【例3】（2023 联考）“七夕”节当天，某服装专柜推出七七折促销活动，所 在商场推出付款满520 元减免100 元的支付活动，两项优惠活动可同时参加，某 情侣购买一套情侣装共花费439 元，问该套情侣装定价多少元？（ ） A.450 B.570 C.630 D.700 【解析】3.根据题意，“七七折”→金额*0.77，同理，“七八折”就是金额 *0.78；已知“某服装专柜推出七七折促销活动，所在商场推出付款满520 元减 免100 元的支付活动，两项优惠活动可同时参加”，首先题目说的是先打折、再 满减；其次，是专柜打折、商场满减，商场更大，比如一个商场，里面有很多专 柜，专柜打折七七折，然后商场再去满减；比如原价是1000 元，先打折再满减， 1000*0.77=770，770-100=670。 方法一：代入选项，比较常规。 方法二：方程法，已知“某情侣购买一套情侣装共花费439 元”，第一种情 况：定价x 元，折后满520 元→x*0.77-100=439→0.77x=539→x=700，对应D 项。第二种情况：折后不满520→x*0.77=439，没有对应的选项，排除，对应D 项。 方法三：结合常识，已知“某情侣购买一套情侣装共花费439 元”，“共”说 明最终付款的是一个确定的数字，没有出现“约”字，说明最终的结果必然是个 整数，“*0.77”是必然发生的事情，“*0.77”之后必须是整数，因为后面要有两 个“0”才能抵消，观察选项，对应D 项。【选D】 17 【注意】方法三的示例：比如B 项，570*0.77=438.9，不是整数，排除。 当堂练习（2025 联考）某厂商去年通过售卖某产品5000 件获得5 万元利润， 今年单件产品降低了20%的利润，仍然获得5 万元利润。问该产品今年出售了多 少件？（ ） A.5500 B.5750 C.6000 D.6250 【解析】练习.根据题意，去年的单件利润→5000/500=10 元/件；今年的单 利：10*（1-20%）=8 元/件，今年一共赚了5 万元，50000/8→首位商6，排除A、 B 项，不可能正好是C 项的“6000”，对应D 项。【选D】 2.给比例求比例的经济利润问题：赋值法 例：某商品按照20%利润率定价，后来又打9 折销售，此时每件商品的利润 率是多少？ 【注意】给比例求比例的经济利润问题：赋值法。 1.赋值方法：两种情况。 （1）只提到钱相关：只赋成本是100 元，一切商业/经济行为的源头都是成 本，一般有百分数，赋值100 比较好算。 （2）既提到钱、又提到数量：比如卖了80%后，赋值成本为100 元/个，再 赋值总量为10，原因后面会讲解。 2.例：某商品按照20%利润率定价，后来又打9 折销售，此时每件商品的利 润率是多少？ 答：给比例求比例，考虑赋值。 【例4】（2024 公务员）某工厂去年销售一台机器的利润率为20%，由于生 产效率提高，今年成本下降20%，售价不变，今年销售一台机器的利润率为（ ）。 A.30% B.40% C.50% D.60% 【解析】4.经济利润问题，给比例、求比例，考虑赋值法，给出多个时间段 18 （去年、今年），列表分析，时间靠前的写上面、时间靠后的写下面，只提到钱 相关，赋值成本为100 元，然后填数据；去年：成本是100 元，利润率是20%， 售价=100*（1+20%）=120 元；今年：已知“今年成本下降20%”，成本是80 元， 售价不变→120 元，求今年的利润率，利润率=利润/成本=（120-80）/80=50%， 对应C 项。【选C】 【例5】（2024 福建）某商店进了一批笔记本电脑，按进价40%的利润定价 出售。售出这批货的80%时，为了尽早把货售完，余下的货按原定价的六折出售。 该商店的这批笔记本电脑全部售完所获得的利润率是（ ）。 A.18.8% B.20% C.28.8% D.30% 【解析】5.经济利润问题，给比例、求比例，用赋值法。题干中提到钱、也 提到了数量，赋值两个，赋值成本；已知“售出这批货的80%”，售出总量*80%， 赋值成本是100 元/个、总量是10 个；分两轮售卖，出现多个时间，列表分析， 第一轮：成本为100 元/个，利润率为40%，售价=100*（1+40%）=140 元/个，卖 了8 台，单件利润=140-100=40，利润=40*8=320；第二轮：成本是100 元/个， 已知“余下的货按原定价的六折出售”，售价=140*60%=84 元/个，卖了2 台，单 件利润=84-100=-16，利润=-16*2=-32；所求=这批电脑的总利润/这批电脑的总 成本=（320-32）/（10*100）=288/1000=28.8%，对应C 项。【选C】 19 【注意】 1.之所以可以赋值两个的原因：本题如果不赋值，设未知数，设成本为100x、 总量为10y，第一轮：进价是100x，售价是140x，销量是8y，单利是40x，总 利润=单利*数量=40x*8y=320xy；第二轮：进价是100x，售价是140x*0.6=84x， 销量是2y，单利是-16x，总利润=单利*数量=-16x*2y=-32xy；所求=总利润/总 成本=（320xy-32xy）/（100x*10y）=28.8%，只看结果，发现：x、y 可以约掉， 是多少都无所谓，之所以赋值10 台、每台100 元，是因为老师喜欢，很方便， 两个都赋值10、1 都可以，10、100 更好算。 2.给比例、求比例的问题，基本上都是赋值10 台，只有一种情况，比如卖 了2/3 之后，此时赋值3、6、9 都行，只要是3 的倍数都好算。 3.主流考法：多个时间段售卖，如果一波就卖完了，这个题目就没啥好考的 了，没啥计算量，出题人喜欢多轮售卖，一开始定价售卖，第二轮进行变动（比 如打折），解决方式就是“列表”，不用很好看。 4.给比例求比例的考法：联考没考过，非常少，最近5～8 年的经济利润问 题都是“给具体数值单位”，这是联考的主流考法，而且更加生活化，整体难度 越来越低。 二、函数最值 （1）题型特征：单价（单利）和销量此消彼长，问何时总销售额/总利润最 高？ 【引例】单价为300 元，可卖出16 件。若单价每提升30 元，销量会降低1 件。请问当提价多少次时，销售总额最高？ 20 （2）计算方法（两点式）： ①设提价或降价次数为x，总价或总利润=（ ）*（ ） ②总价或总利润为0，解得x1、x2，让两个括号分别为0 ③当x=（x1+x2）/2 时，取得最值 【引例】单价为300 元，可卖出16 件。若单价每提升30 元，销量会降低1 件。请问当提价多少次时，销售总额最高？ ①设提价次数为x，总价=（300+30x）*（16-x） ②令总价为0，解得x1、x2 ③当x=（x1+x2）/2 时，取得最值。 【注意】函数最值： 1.题型特征：单价（单利）和销量此消彼长，问何时总销售额/总利润最高。 简单记忆：钱和量此消彼长，问何时取最值，就是函数最值问题。 2.例：单价为300 元，可卖出16 件。若单价每提升30 元，销量会降低1 件。请问当提价多少次时，销售总额最高？ 答：先讲套路解法，已知“单价每提升30 元，销量会降低1 件”，单价上升、 销量下降，钱和量此消彼长，问何时取最值，为函数最值问题。设提价x 次，总 价=单价*销量，单价原来是300 元，提价1 次，单价变为300+30，一次涨30 元； 提价2 次，单价变为30+2*30=360 元，提价x 次，单价为300+30x。销量最初是 16 件，提价1 次，销量减少1 件；提价2 次，销量减少2 件；提价x 次，销量 减x 件，销量变为16-x；总价=（300+30x）*（16-x），令两个括号分别为0，300+30x=0 →x1=-10，16-x=0→x2=16；当x=（-10+16）/2=3 时，取得最值，即提价3 次总 价最高。 3.计算方法（两点式）： 21 （1）设提价或降价次数为x，总价或总利润=（ ）*（ ）。 （2）令总价或总利润为0，解得x1、x2。 （3）当x=（x1+x2）/2 时，取得最值。 4.原理：总价=（300+30x）*（16-x），本质是一元二次函数（初三学过的）， 图像是抛物线，开口向下、对称，x 轴表示提价次数，y 轴表示总价；图像整体 有个最大值，当x 为3 的时候总价最高，令两个括号分别为0，得到x1=-10、x2=16， 分别对应图中的x1、x2，相加除以2 就是对称轴（对应的x 点），即x=（x1+x2） /2=3；求导、韦达定理也可以用，根据ax²+bx+c，求-a/2b，但是比较麻烦。 【例6】（2022 湖北公务员）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪 念品十分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个40 元的“冰墩墩”，当售价 定为44 元时，每天可售出300 个，售价每上涨1 元，每天销量减少10 个。现商 家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为（ ）。 A.51 元 B.52 元 C.54 元 D.57 元 【解析】6.已知“售价每上涨1 元，每天销量减少10 个”，钱和量此消彼长， 问何时取最值（销售利润达到最大），函数最值问题。设提价次数为x 次，再表 示总利润→单个利润*销量=（售价-成本）*销量，最初的售价44 元，提价1 次， 售价涨1 元，提价x 次，售价涨x 元，售价为（44+x）元，单利=44+x-40=4+x； 最初销量是300 个，提价1 次，销量减少10 个，提价2 次，销量减少2*10 个； 提价x 次，销量减少10x 个，此时销量为（300-10x）个；总利润=（4+x）*（300-10x）， 令两个括号分别为0→4+x=0→x1=-4、300-10x=0→x2=30；当x=（x1+x2）/2=（-4+30） 22 /2=26/2=13 次，提价13 次时总利润最高，最初的售价是44 元，提价13 次，售 价变为44+13*1=57 元，对应D 项。【选D】 【注意】 1.某工程甲、乙单独完成分别需要6h、8h……，给出多个完工时间（6 小时、 8 小时），为给完工时间型工程问题，方法：赋总量、算效率、列式计算。 2.完成某工程、甲乙效率之比为3：5……，直接给效率比例，方法：赋效 率、算总量、列式计算。 3.甲6 天完成的工作量和乙4 天完成的相等……，不能用时间来作为具体的 数值单位，P 甲*6=P 乙*4，间接给效率比例，方法：赋效率、算总量、列式计算。 4.某工厂60 名工人生产汽车零配件……，出现60名工人，特殊型效率比例， 直接赋值每个人的效率为1，方法是赋效率、算总量、列式计算。 5.某工厂要生产400 个零件……，给出总量的具体数值、单位，为给具体数 23 值单位的工程问题，用方程法。 6.甲商品4 元/件……，则甲的利润为多少元。为给具体数值单位的经济利 润问题，用方程法。 7.甲商品按照20%利润率定价，销售了10%……求（ ）%，给比例、求比例 经济利润问题，给钱、又给量，赋成本、赋销量。 8.甲商品降价20%销售……求（ ）%，给比例、求比例，只提钱，只赋值 成本。 9.单价每涨1 元，销量下降4 件……总利润最大，为函数最值问题，两点式 →分别为0。 24 遇见不一样的自己 Be your better self
