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理论讲练-数量关系3 （笔记） 主讲教师：王义 授课时间：2025.08.15 粉笔事考·官方微信 1 理论讲练-数量关系3（笔记） 【答案汇总】 基础行程1-2：BA 相对行程1-4：BCAD 几何公式运用类1-3：CBC 几何结论技巧类1-4：BBAD 数量关系 理论攻坚3 学习任务： 1.课程内容：行程问题、几何问题 2.授课时长：2.5 小时 3.对应讲义：第251～257 页 4.重点内容： （1）掌握行程问题的基础公式与火车过桥、流水行船的计算公式 （2）掌握直线和环形上的相遇、追及的计算公式，用图示来理解复杂的 运动过程 （3）掌握几何问题的基本公式及其运用 （4）掌握相似三角形、勾股定理等相关知识 【注意】本节课学习行程问题和几何问题，难度会比之前的高。 第六节 行程问题 2 三量关系：路程=速度*时间。 考查题型： 1.基础行程（火车过桥、流水行船） 2.相对行程（相遇、追及） 【注意】行程问题：离不开公式。 1.最核心的三量关系：路程=速度*时间（S=V*t）。 2.考查题型： （1）基础行程：火车过桥、流水行船问题。 （2）相对行程：相遇、追及。 1.基础行程 （1）火车过桥（列车/火车、桥/隧道） 火车过桥：路程=桥长+车长 （车头刚要上桥→车尾刚离开） 火车完全在桥上：路程=桥长-车长 （车尾刚上桥→车头刚要离开） 【注意】基础行程： 1.核心公式：S=V*t。 2.火车过桥（列车/火车、桥/隧道）： （1）火车过桥：路程=桥长+车长。如图所示，从车头刚要上桥开始，到车 尾刚刚下桥结束，即为火车过桥，路程=桥长+车长=V*t。 3 （2）火车完全在桥上：路程=桥长-车长。如图所示，整列火车完全在桥上， 从整列火车车尾上桥开始，到车头刚要下桥结束，即为火车完全在桥上，此时在 往前走一点，火车就不完全在桥上了。路程=桥长-车长=V*t。 【例1】（2023 辽宁公务员）某公路隧道长1500 米，一辆公共汽车匀速从 隧道通过，测得公共汽车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆 公共汽车完全在隧道里的时间为149 秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别 为（ ）。 A.8 米；5 米/秒 B.10 米；10 米/秒 C.10 米；15 米/秒 D.12 米；20 米/秒 【解析】1.方法一：从开始进入隧道到完全驶出，“公共汽车从开始进入隧 道到车身完全驶出隧道用时151 秒”相当于火车通过桥，桥长+车长=V*t，假设 车长为L，则1500+L=V*151①；“公共汽车完全在隧道里的时间为149 秒”相当 于火车完全在桥上，1500-L=V*149②；由①+②得：3000=300V，解得V=10m/s， 对应B 项。 方法二：猜题，两种运动方式走的路程都是1500 米左右，用的时间分别是 149 秒、151 秒，说明用150 秒左右的时间走了1500 米左右的路程，可以估算出 行驶速度在1500/150=10 米/秒左右，可以猜B 项。【选B】 （2）流水行船 V 顺=V 船+V 水 V 逆=V 船-V 水 注：船在静水中速度=船速、漂流速度=水速 【注意】流水行船： 4 1.船速指的是船在静水当中的速度，船依靠自身动力前行的速度，不受外界 影响；漂流速度=水速。 2.顺流而下的时候，水推动船往前走，V 顺=V 船+V 水；逆流而上的时候，水阻 碍船向上，V 逆=V 船-V 水。 3.怎么用：S 顺=V 顺*t 顺，S 逆=V 逆*t 逆。 【例2】（2023 四川）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120 千米，用时6 小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80 千米用时8 小时。则甲 驾驶这艘小船在静止水面上行驶150 千米需要（ ）小时。 A.10 B.9 C.8 D.12 【解析】2.“已知顺水行驶120 千米，用时6 小时”，V 顺=S/t=120/6=20km/h； “在同样的水流速度下，逆水行驶80 千米用时8 小时”，V 逆=80/8=10km/h；问 的是甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150 千米需要多少时间。V 顺=V 船+V 水=20 ①，V 逆=V 船-V 水=10②，联立求解方程组，①+②得：2V 船=30，解得V 船=15；在静 止水面上的速度=15km/h，路程=150km，所求=150/15=10 小时，对应A 项。【选 A】 2.相对行程 相遇追及（重点）：相遇、追及 【注意】相对行程：讲相遇、追及，从三个维度入手：识别、公式推导、公 式运用，重点掌握识别、公式运用，推导了解即可。 直线相遇：两人同时相向而行 公式：S 和=V 和*t S 和：两人各自的路程加和 【注意】直线相遇：两人同时相向（脸对脸）而行。 5 1.例：猫和老鼠早上8：00 同时从A、B 两点出发，猫从A 点往右走，速度 为V1，老鼠从B 点往左走，速度为V2，两人同时出发，并且脸对脸地走，在一条 直线上，两人会在某点相遇，假设8：30 两人在C 点相遇，该过程就是直线相遇。 2.公式：S 和=V 和*t。推导：猫走的路程是AC段，老鼠走的路程是BC段，AC=V1*t、 BC=V2*t，都是8：00 出发、8：30 相遇，运动时间相同，则S 和=AC+BC=V1*t+V2*t= （V1+V2）*t。 3.公式如何用： （1）S 和：两人各自的路程加和，即AB 的长度。 （2）V 和：两个人的速度加和，即例子中的V 和=V1+V2。 （3）t：从出发到相遇所需的时间。 【例1】（2023 福建）甲、乙两人分别同时从相距18km 的A、B 两地相向匀 速而行，乙的步行速度为4km/h，甲携带一个遥控小汽车，在自己出发的同时将 小汽车放在地面上与自己同向匀速行驶，小汽车的行驶速度为10km/h，遇到乙 后立即掉头向甲的方向行驶，遇到甲后又立即掉头向乙的方向行驶，如此在甲、 乙之间往返行驶直到甲、乙两人相遇。已知两人相遇时小汽车行驶的路程共计 20km，则甲的步行速度为（ ）km/h。 A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】1.根据题意画图分析，AB=18km，“相向匀速而行”→相遇问题； 乙的速度是4km/h，甲的速度未知，当甲从A 点出发的时候，小汽车同时同向匀 速行驶，小汽车的行驶速度为10km/h，求甲的速度。已知两人相遇时小汽车行 驶的路程一共是20km，则小汽车运动时间=20/10=2 小时；甲出发的时候小汽车 开始出发，直到甲乙相遇时，小汽车停止运动，小汽车从开始到停止一共用了2 小时，意味着从甲乙相遇的时间也是2 小时，即t 小汽车=t 甲乙相遇=2 小时。甲和乙是 6 直线相遇的过程，核心公式：S 和=V 和*t，甲、乙的路程和是18km，乙的速度是 4km/h，列式：18=（V 甲+4）*2，解得V 甲=5km/h，对应B 项。【选B】 直线追及：两人同时同向而行 公式：S 差=V 差*t S 差：快的比慢的多走的距离 【注意】直线追及：两人同时同向而行。 1.例：猫和老鼠早上8：00 在A、B 两点同时出发，老鼠在前、猫在后，两 者的运动方向相同，都是往右跑，猫跑得快，速度为V1，老鼠跑得慢，速度为 V2，假设8：30 猫在C 点追上了老鼠，这个过程就是直线追及。 2.公式：S 差=V 差*t。推导：S 差是两人的路程作差，AC 段（蓝色线）是猫走 的路程，BC 段（红色线）是老鼠走的路程，AC=V1*t、BC=V2*t，同时出发、同时 追上，说明猫和老鼠运动的时间相同，则S 差=AC-BC=AB=V1*t-V2*t=（V1-V2）*t。 3.公式怎么用： 7 （1）S 差：快的比慢的多走的距离，即例子中的AB，即开始出发时两人之间 的距离，比如A 点是甲，B 点是乙，到C 点追上，S 差就是AB。 （2）V 差指的是两人的速度作差，即V 差=V 快-V 慢。 （3）t：追上所需的时间。例子中的追及时间为0.5 小时。 【例2】（2022 联考）某特警部队训练警犬时发现“可疑人员”张某以6m/s 的速度由A 处跑向人质所在的C 处，与此同时警犬以8m/s 的速度从B 处跑向人 质所在的C 处，人质也同时以4m/s 的速度跑向B 处，A、C、B 在一条直线上， 为确保警犬不晚于张某与人质相遇，问BC 的距离最多是AC距离的多少倍？（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】2.已知“A、C、B 在一条直线上”，说明A、C、B 有相对顺序，C 点在A、B 之间；画图分析，“张某以6m/s 的速度由A 处跑向人质所在的C 处”， 说明张某在A 点、速度为6m/s，人质在C 点；“警犬以8m/s 的速度从B 处跑向 人质所在的C 处”，说明警犬在B 点、速度是8m/s；“人质也同时以4m/s 的速 度跑向B 处”，人质从C 跑向B、速度为4m/s。人质和警犬进行的是直线相遇， 即C 和B 是直线相遇，公式：S 和=V 和*t，路程和为BC，BC=（4+8）*t 相遇；A 和C 在进行直线追及，A 追C，公式：S 差=V 差*t，路程差为AC，则AC=（6-4）*t 追及。 “为确保警犬不晚于张某与人质相遇”，张某和警犬都和人质相关，最理想的状 态是警犬先和人质相遇、后张某追上，即t 相遇＜t 追及，“不晚于”→警犬和人质 相遇时，张某刚好追上人质，时间可以相同，即t 相遇≤t 追及，则BC/12≤AC/2→ BC≤6*AC，说明BC 的距离最多是AC 的6 倍，对应C 项。【选C】 环形相遇（同时同点、反向） 公式：S 和=V 和*t 遇 8 找S 和： 相遇1 次，S 和=1 圈 相遇两次，S 和=2 圈 每相遇一次，S 和=1 圈 相遇n 次，S 和=n 圈=V 和*t 遇 环形追及（同时同点、同向） 公式：S 差=V 差*t 追 找S 差： 追上1 次，S 差=1 圈 追上2 次，S 差=2 圈 每追上一次，S 差=1 圈 追上n 次，S 差=n 圈=V 差*t 追 【注意】 1.环形相遇（同时同点、反向）：在圆形跑道上，有两个人同时同点反向出 发，比如男孩和女孩在A 点同时反向出发，假设两人在B 点第一次相遇，红色的 线和蓝色的线加一起是两人走的路程和，两个人的路程加和刚好可以形成一个完 整的闭环，即一圈的长度，意味着两人相遇一次，路程和为跑道一圈的长度；两 人第一次相遇后，女孩顺时针继续跑，男孩逆时针继续跑，两人在C 点第二次相 遇，此时形成两个完整闭环，路程和为两圈的长度；相遇n 次，路程和是n 圈的 长度。 9 （1）公式：S 和=V 和*t 遇。 （2）找S 和： ①相遇1 次，S 和=1 圈。 ②相遇两次，S 和=2 圈。 ③相遇n 次，S 和=n 次*每圈长度=V 和*t 遇。 （3）例：已知跑道每圈为400 米/圈，从开始出发到两人第5 次相遇，路程 和是多少？ 答：S 和=n 次*每圈长度=5*400=V 和*t。 2.环形追及（同时同点、同向）：在环形跑道上，男孩和女孩都在A 点顺时 针出发，男孩跑得比较快，跑完一圈后在B 点超过女孩，这个过程就是环形追及， 在B 点第一次追上，追上的距离刚好是跑道一圈的长度，即追上一次，S 差=1 圈 的长度；追上2 次，S 差=2 圈的长度；追上n 次，S 差=n 圈的长度。 （1）公式：S 差=V 差*t 追。 （2）找S 差： ①追上1 次，S 差=1 圈。 ②追上2 次，S 差=2 圈。 ③每追上1 次，S 差=1 圈。 ④追上n 次，S 差=n 次*每圈长度=V 差*t 追。 （3）例：已知跑道为300 米/圈，问从开始到第4 次追上，多跑了多少米？ 答：S 差=n 次*每圈长度=4*300=V 差*t 追。 【例3】（2023 内蒙古）老张和小张在周长为400 米的运动场上跑步，小张 的跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔8 分钟相遇一次； 10 当两人在同一起点同时反向出发，则每隔2 分钟相遇一次，老张在该运动场跑一 圈需要（ ）分钟。 A.5.33 B.5.36 C.5.42 D.5.45 【解析】3.“两人在同一起点同时同向出发”→环形追及，每隔8 分钟追上 一次，即第1 次追上用时8 分钟，环形追及核心公式：n*每圈长度=V 差*t 追→1*400= （V 小张-V 老张）*8→V 小张-V 老张=50①；“两人在同一起点同时反向出发”→环形相 遇，每隔2 分钟相遇一次，即第1 次相遇用时2 分钟，环形相遇核心公式：n* 每圈长度=V 和*t→1*400=（V 小张+V 老张）*2→V 小张+V 老张=200②。由①+②可得：2V 小张=250→V 小张=125，代回①式得出：V 老张=75，所求=400/75=80/15=16/3=15/3+1/3 ≈5.33，对应A 项。【选A】 【注意】此类题考法非常固定，最早出现在2019 年青海安检法，后面2023 年内蒙古、武汉的公务员考试出现的都是类似的考法，两个人做两运动，环形相 遇、环形追及，列方程组、联立求解。 直线两端同时出发多次往返相遇 令AB=S 推导：从两端出发 第1 次迎面相遇，共走1S 第2 次迎面相遇，共走3S 第3 次迎面相遇，共走5S 11 第n 次迎面相遇，共走S 和=（2n-1）S=V 和*t 遇 S：两人起点之间的距离 【注意】直线两端同时出发多次往返相遇： 1.推导：猫和老鼠在A、B 两地同时出发，并且是脸对脸地走，假设AB=S， 两人会在中间某一点相遇，假设在C1点第一次相遇，路程和为S；第一次相遇后， 猫继续往右走，撞墙后才调头回来，老鼠继续向左走，撞墙后才调头往回走，在 C2 点第二次相遇，从开始出发到第二次相遇，路程和为3S；相遇后老鼠继续往 右，撞墙后掉头，猫继续向左走，撞墙后掉头，在C3 点第三次相遇，路程和为 5S。 2.结论：第1 次迎面相遇，共走1S；第2 次迎面相遇，共走3S；第3 次迎 面相遇，共走5S；第n 次迎面相遇，共走S 和=（2n-1）*S=V 和*t 遇。假设第8 次 迎面相遇，则S 和=（2*8-1）*S=15S。 3.核心公式：S 和=（2n-1）*S=V 和*t 遇。 4.公式中每个量的含义： （1）n：相遇次数。 （2）S：两人起点之间的距离；这类问题S 指常指跑道长度或泳池长度。 【例6】（2021 河南）在一个长90 米的泳池中，甲、乙两人分别从泳池的 两端同时相向出发，游到另一端立即返回。已知甲每秒游3 米，乙每秒游2 米， 则10 分钟后，两人共相遇（ ）。 A.13 次 B.14 次 C.16 次 D.17 次 12 【解析】6.“甲、乙两人分别从泳池的两端同时相向出发，游到另一端立即 返回”，泳池是直线，长90 米，其次问的是多次相遇，为直线多次相遇问题，核 心公式：（2n-1）*S=V 和*t 遇。“已知甲每秒游3 米，乙每秒游2 米”，V 和=3+2， 速度单位是“米/秒”，需要统一单位，t=10 分钟=600 秒，代入数据：（2n-1）*90= （3+2）*600→（2n-1）*3=100→2n-1≈33.3→2n≈34.3→n≈17.15 次，说明两 人在600 秒时相遇了17.15 次，即两个人已经完成了第17 次相遇，但是第18 次还没有碰上，所以n 取17 次，对应D 项。【选D】 【注意】如果算出来n=19.98 次，n 还是取19 次，因为第20 次没有遇上。 第七节 几何问题 几何问题： 一、公式类几何问题： 1.平面几何（周长公式、面积公式）。 2.立体几何（体积公式、表面积公式）。 二、结论技巧类几何问题： 1.等底/等高三角形面积。 2.勾股定理。 3.相似三角形。 13 4.最短路径。 三、几何问题猜题技巧。 【注意】几何问题：2022～2025 年每年都考，基本都可以猜出来。 一、公式类几何问题 长度相关公式 正方形周长：C 正方形=4a 长方形周长：C 长方形=2（a+b） 圆形周长：C 圆=2πr 14 【注意】公式类几何问题： 1.长度相关公式： （1）正方形周长：C 正方形=4a。 （2）长方形周长：C 长方形=2*（a+b）。 （3）圆形周长：C 圆=2πr；注意：π≈3.14，r 指的是半径，为了避免记混， 没有给d 的（公式），如果给了直径为6，除以2 就是半径→3。 2.面积相关公式： （1）S 正方形=a²。 （2）S 长方形=ab。 （3）S 平行四边形=ah。 （4）S 三角形=1/2*a*h。钝角三角形的高可以在三角形之外，如下图。 （5）S 梯形=1/2*（a+b）*h。 15 （6）S 圆形=πr²，无论是r 还是R，都指半径。 （7）S 菱形=对线角乘积/2；菱形的对角线连接之后互相垂直，会分成4 个相 同的直角三角形，横着的对角线记为a，竖着的对角线记为b，一个三角形的面 积为a/2*b/2*（1/2）=ab/8，共4 个三角形→a*b/2。 （8）S 扇形=n°/360°*πr²。从圆心沿着两条半径剪下来的部分就叫做扇形； 圆心角为n°，整个圆的面积为πr²，圆的一圈为360°，扇形角度为n°，占 整个圆的“n°/360°”，再乘以整个圆的面积即可；同理，圆的周长（一圈）是 2πr，扇形占整个圆的n°/360°，弧长=n°/360°*2πr。 3.体积相关公式： （1）V 正方体=a³。 （2）V 长方体=a*b*c。 （3）V 柱体=S 底*h。 （4）V 锥形=1/3*S 底*h。 16 （5）V 球=4/3*πr³。特殊记，考试时给时不给，背下来。 4.表面积相关公式： （1）S 正方体=6a²。 （2）S 长方体=2ab+2bc+2ac。 （3）S 球=4πr²。 （4）S 圆柱=2πr²+2πr*h。从侧面剪开，分成上、下两个圆，（两个）圆的 面积为2πr²；侧面展开为长方形，长对应圆柱体底面圆的周长2πr，宽对应圆 柱的高h，则侧面面积为2πr*h。 【例1】（2023 广东）小李有一张长16cm、宽12cm 的长方形纸板，要制成 底面积为60cm²的无盖纸盒，需裁掉四个完全相同的小正方形（如图阴影部分所 示），则每个小正方形的周长为（ ）cm。 A.20 B.16 C.12 D.8 【解析】1.方法一：小正方形的周长为“4*边长”，考试给的图都是标准的 （只有江苏故意不标准），通过目测、笔量，12cm 正好可以对应4 个小正方形的 边长，所以小正方形的周长=12cm，对应C 项。 17 方法二：设小正方形边长为x，长方形长16cm、宽12cm，则无盖纸盒的长 为（16-2x）、宽为（12-2x）；无盖纸盒底面积为60cm²，列式：长*宽=60→（16-2x） *（12-2x）=60，选项为周长，选项除以4 分别对应边长，选项除以4 分别为5、 4、3、2，可以代入选项验证，比如A 项，x=5，原式→6*2≠60，排除A 项；最 后可以定位C 项。 方法三：观察式子：（16-2x）*（12-2x）=60，两个括号都可以提出一个“2” →2*（8-x）*2*（6-x）=60→（8-x）*（6-x）=15，两个括号相乘得15，不可 能是1*15（差太多），应该是“3*5”，“8-x”比较大，则8-x=5、6-x=3，解得 x=3，周长=3*4=12，对应C 项。【选C】 【例2】（2022 联考）某兴趣小组进行科学实验，在一个长方体的容器中注 入5 厘米深的液体，已知这个长方体容器长45 厘米、宽35 厘米、高15 厘米。 现将长方体容器内的液体全部倒入一个圆柱体容器内，已知圆柱体底面半径为 20 厘米，则圆柱体容器内的液体高度约为多少厘米？（ ） A.5.2 B.6.3 C.7.1 D.8.0 【解析】2.“在一个长方体的容器中注入5 厘米深的液体，已知这个长方体 容器长45 厘米、宽35 厘米、高15 厘米”，液体深度只有5 厘米，V 液体=45*35*5； 将液体全部倒入圆柱体中，已知圆柱体底面半径为20 厘米，设液体在圆柱中高 度是h，V 圆柱=S 底*h，圆柱的底面积就是圆，πr²*h=π*20*20*h，液体的体积相 等，列式：45*35*5=π*20*20*h，π看成3.14，45*35*5=3.14*20*20*h→ 45*7=3.14*4*4*h→315=3.14*16*h→h=315/（3.14*16），选项首位各不相同，选 项差距大，估算即可，整体选项的差异在个位，3.14 看成3.15，则h≈315/ 18 （3.15*16）=100/16=6 +，对应B 项。【选B】 【例3】（2022 上海公务员）有一个花坛的形状是一个直角扇形，由三个半 径分别为1、2、3 米的圆弧构成，现用两条线段将此扇形圆心角平均分割成三部 分（如图）。设计者在阴影部分和空白部分分别种上不同的花卉，那么阴影部分 花卉的种植面积为多少平方米？（ ） A.π/3 B.π/2 C.π D.2π 【解析】3.“现用两条线段将此扇形圆心角平均分割成三部分”，直角扇形 →圆心角是90°，则每个部分的小圆心角为90°/3=30°；最里面圆弧的半径为 1，中间圆的弧半径为2，最外围圆弧为3，问阴影部分（花卉种植的）面积；阴 影部分七零八散，可以如下图进行平移，所求=中间红色阴影部分面积+左边蓝色 阴影部分面积，已知红色阴影部分圆心角为30°，且半径为3，所以S 红色扇形=n° /360°*π*3²=1/12*π*9=9/12*π=3π/4。 19 方法一：所求=3π/4+蓝色阴影部分=3/4π+蓝色阴影部分，3/4π也就是 0.75π，A、B 项太小，排除；0.75π+0.75π=1.5π，左边两个加一起也才1.5 π，D 项太大，排除，对应C 项。 方法二：常规方式，S 蓝色阴影=半径为2 的扇形-半径为1 的扇形，S 蓝色阴影=30° /360 ° * π *2 ² -30 ° /360 ° * π *1 ² =1/12* π *4-1/12* π = π /3- π /12=4π/12-π/12=3π/12=π/4，所求=3π/4+π/4=π，对应C 项。【选C】 二、结论技巧类 技巧类——三角形性质 三角形： 等底的三角形，面积比是高之比 已知h1：h2=1：2，求S△BCD/S△ACD 等高的三角形，面积比是底边之比 已知BC：CD=3：1，求S△ABC/S△ACD 20 【注意】结论技巧类几何问题——等底/等高三角形面积： 1.等底的三角形，面积比是高之比。 例：如图，△BCD 和△ACD，已知h1：h2=1：2，求S△BCD/S△ACD。 答：S△BCD/S△ACD=CD*h1*（1/2）÷[CD*h2*（1/2）]→h1/h2=1/2。S△=底*高*（1/2）， 两个三角形的底相同，面积比是高之比。 2.等高的三角形，面积比是底边之比。 （1）例：如图，△ABC 和△ACD，已知BC：CD=3：1，求S△ABC/S△ACD。 答：△ACD 如果以CD 为底，面积为CD*h*（1/2），△ABC 的高是h，面积为 BC*h*（1/2），则S△ABC/S△ACD=BC*h*（1/2）÷[CD*h*（1/2）]→BC/CD=3/1，所以 等高的三角形，面积比是底边之比。 21 （2）如图三个三角形，底边之比为2：3：5，问三个三角形的面积之比？ 答：也是2：3：5，因为三个三角形的高是同一个。 【例1】（2023 吉林公务员）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计 划在三角形ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF 是中央 工厂区，已知BD：DE：EC=1：2：3，F 为AE 的中点，则新能源产业园区总面积 是中央工厂区面积的（ ）。 A.7 倍 B.6 倍 C.5 倍 D.4 倍 【解析】1.问“新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的多少倍”，所求= 新能源产业园区总面积/中央工厂区面积=S△ABC/S△DEF；结合题意，没有给出具体数 22 值，给的是比例，求的是倍数，也是比例，相当于给比例求比例的经济利润问题， 考虑赋值，为了好算，赋值S△DEF=1。 F 为AE 的中点，说明AF=FE，△AFD 和△FDE 的底相等、高相同（△ADF 的 高在AF 的延长线），所以面积相等，S△AFD=S△FDE=1→S△ADE=2；△ABD、△ADE、AEC 的底边之比为BD：DE：EC=1：2：3，则面积之比为1：2：3，所求=S△ABC/S△DEF= （1+2+3）/1=6，对应B 项。【选B】 二、技巧类——三角形性质 直角三角形：勾股定理a²+b²=c² 常见勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）…… 【注意】结论技巧类几何问题——勾股定理： 1.直角三角形： （1）勾股定理：a²+b²=c²，直角三角形中两条直角边平方之和等于斜边的 平方。 （2）常见勾股数（要记住）：（3、4、5）；（6、8、10）；（5、12、13）。 23 2.特殊直角三角形： （1）含30°角的直角三角形：30°角所对直角边是斜边的一半，三边比例 为1：√3：2。 ①假设在30°直角三角形中，斜边为4，则短直角边为2。 ②假设在直角三角形中斜边为6，短直角边为3，则3 对应的角为30°。 ③假设在直角三角形中短直角边为2，斜边为4，则长直角边就是2√3。 （2）等腰直角三角形：两条直角边相等，三边比例为1：1：√2。 【例2】（2021 联考）甲、乙两地直线距离为60 千米，张某从甲地出发向乙 地方向匀速骑车行进，1 小时后左拐90°并保持原速度继续行进，又过了1 小时 后，张某拐向乙地方向，保持原速又骑行了2 小时到达乙地。问张某的速度在以 下哪个范围内？（ ）（√2≈1.414，√3≈1.732） A.不到21 千米/小时 B.21～23 千米/小时之间 C.23～25 千米/小时之间 D.超过25 千米/小时 【解析】2.根据题意，“甲、乙两地直线距离为60 千米，张某从甲地出发向 24 乙地方向匀速骑车行进”，设张某的速度为x 千米/小时，题目没有图，需要画图 分析，甲乙两地一共60 千米，“1 小时后左拐90°并保持原速度继续行进，又过 了1 小时后”，往上走1 小时→即x 千米；“拐向乙地方向，保持原速又骑行了2 小时到达乙地”，2 小时走了2x 千米。 斜边为2x 千米，短直角边为x 千米，短直角边是斜边的一半，则短直角边 所对的角为30°，在30°的直角三角形中，三边关系是1：√3：2=x：√3x：2x， 则长直角边为√3x 千米，满足：x+√3x=60→x+1.732x≈60→2.732x≈60→x≈ 60/2.732，选项是范围，尝试估算→60/2.7，首位商2、次位商2，对应B 项。 【选B】 技巧类——相似三角形 特征：平行边、三角形 【注意】结论技巧类几何问题——相似三角形。 1.特征：平行边、三角形。 2.如图，点D 是AC 中点，点E 为AB 的中点，中位线平行→DE∥CB，同位角 相等（∠ADE=∠C、∠AED=∠B），∠A 又是公共角，则△ADE∽△ACB；相似三角 形的结论：对应边之比=相似比，对应高之比=相似比，面积之比=相似比²。如 25 DE∥CB，且DE=1/2*CB，△ADE∽△ACB，且相似比为1：2，则AD：AC=1：2，△ ADE 的高为h1，△ACB 的高为h2，h1：h2=1：2；△ADE 与△ACB 面积比=（DE*h1*1/2） ÷（CB*h2*1/2）=DE/CB*（h1/h2）=1/2*（1/2）=1/4，面积比=相似比²。如相似 比为3：5，则面积比为9：25。 【例3】（2024 联考）一条东西向的河流宽50 米，如下图所示，甲划船从北 岸的A 点出发，直线航行130 米后到达南岸的B 点，然后向左转向90 度继续直 线行驶，到达河流北岸的C 点，问A、C 两点的距离在以下哪个范围内？（ ） A.不到150 米 B.150～160 米之间 C.160～170 米之间 D.超过170 米 【解析】3.方法一：如果不想做，拿出尺子，考试公告如果没说不允许考生 自备，文具统一为考场发放，就可以带尺子，用尺子量，河流（对应图中的垂线） 宽50 米，用尺子量→2.1cm，2.1cm 对应题目中的50 米，现在要求AC，用尺子 量AC 长度为5.7cm，观察选项，选项有150 米，50*3=150，如果尺子量出来应 该是2.1*3=6.3cm，5.7 不到6.3，则AC 长度不到150 米，选择A 项。 26 方法二：画图分析，问AC 的距离，延AC 作B 点的垂线，与AC 相交于D 点， BD=50、AB=130，根据勾股定理可以求出AD→120，求DC 即可，已知∠ABC=90°， 则∠ABD+∠CBD=90°，又因为∠CDB+∠BCD=90°，则∠ABD=∠BCD，可以推出△ ADB ∽△BDC ，则AD/BD=BD/DC →120/50=50/DC →12/5=50/DC →交叉相乘→ DC=250/12=250/12=20 +，则AC=120+20 +=140 +，对应A 项。【选A】 【例4】（2024 江苏）有一个圆柱形的木桩，底面圆的直径为6/π米，木桩 的高为4 米（如图）。现有一只蚂蚁从B 点沿着木桩表面爬到A 点，蚂蚁爬行的 最短距离是（ ）。 A.10 米 B.√16 + 36/π²米 C.2√13米 D.5 米 27 【解析】4.根据题意，底面圆的直径为6/π米，木桩的高为4 米，“现有一 只蚂蚁从B 点沿着木桩表面爬到A 点”，问蚂蚁爬行最短距离，从侧面爬行可以 最短，类似于两点之间的线段最短问题，先把圆柱体侧面展开，如下图，假设A 点底面所对的点为C 点，侧面展开是长方形，AC=4，展开之后B 点是（长方形） 周长的一半，求AB，底面圆周长=2πr=2*π*（3/π）=6，则CC’=6，B 点是CC’ 的中点，CB=3 米，高为4，则斜边AB=5，对应D 项。【选D】 【拓展1】（2025 联考）一块呈直角三角形的草地ABC 如下图所示，已知DE 和FH 是两条平行的小径，且∠BCA=ZACE=67.5°，问下列等式不成立的是（ ）。 28 A.BC=BG B.AG=2CG C.∠ABF=∠BCE D.∠HBC=∠ABH 【解析】拓展1.根据题意，找明显错的；B 项明显实现不了，当选。【选B】 【拓展2】（2024 联考）下图为一个三角形纸板示意图，已知AB=AC=9CM， BQ=BC=6CM，现要沿BQ 将其裁剪成两个三角形纸板，问三角形ABQ 的周长比三角 形BCQ 的周长（ ）。 A.长4cm B.短4cm C.长2cm D.短2cm 【解析】拓展2.根据题意，AB=AC=9CM，BQ=BC=6CM，问红色的周长比蓝色 的周长多/少，观察发现，BQ 是公共边，不用管，AB 和BC 比多3，AQ 比QC 多得 更多，猜测A 项。【选A】 29 【注意】常规方式是找相似，没必要。 【拓展3】（2024 联考）下图所示是一个半径为1/π千米的正圆形跑道，跑 道上的A、B、C 三点组成一个三角形，Q 为AC 间一点，且AQ=CQ，若∠QBC=20°， 问跑道AC 的长度是多少千米？（ ） A.2/9 B.4/9 C.5π/18 D.2/（9π） 【解析】拓展3.跑道AC 是圆形，即弧AC，常规方式是“n°/360°*2πr”， 已知r=1/π，圆周长=2*π*（1/π）=2，弧长AC 大概是圆周长的1/4，则答案 ≈2*（1/4）=1/2=0.5 千米，B 项最接近，对应B 项。【选B】 【拓展4】（2023 联考）如下图所示，△ABC 中，AC=BC，∠ACB=30°，∠ ADB=45°，那么边长AB 是边长CD 的多少倍（ ） 30 A.1 B.√2 C.√3 D.2 【解析】拓展4.问AB 是CD 的多少倍，明显不一样长，排除A 项；也不可 能是2 倍关系，排除D 项；B 项≈1.414、C 项≈1.732，此时拿尺子量，AB 的尺 寸为3.5，CD 为2.5，3.5/2.5→35/25→7/5→1.4，对应B 项。【选B】 【拓展5】（2025 公务员）在台风影响下，B、E 两个受灾严重的村庄急需 电力救援，村庄E 位于AB 中点处（如下图所示，△ABC 为等腰直角三角形）， 电力救援部门需要在长为6 公里的AC 路段上确定临时送电站F 的位置，从点F 分别搭建两条电路FE 与FB，要求这两条电路长度之和最小，则临时送电站F 的 位置距离点A： 31 A.√2公里 B.1.5 公里 C.2 公里 D.3 公里 【解析】拓展5.求AF 的距离，已知AC=6，观察选项，D 项为3，3 正好是 AC 的一半，不可能，排除；3 的一半为1.5，B 项又太小，猜测C 项。【选C】 【拓展6】（2024 公务员）如图所示，ABCDEF 是一个边长为2 的正六边形， 圆O 是数据线ACE 的内切圆，则圆O 的面积是（ ）。 32 A.π B.2π C.5π/4 D.3π/2 【解析】拓展6.问面积，圆的面积公式为πr²，只需要知道半径即可，正 六边形的边长为2，半径（约）为1，猜A 项。【选A】 【拓展7】为丰富儿童的暑假生活，某公园在半径为20√2米的半圆形水池 旁修建了一个弯月形儿童戏水池（如下图所示）。该弯月形戏水池可看作是由半 径为20 米的半圆O’和半径为20√2米的半圆O 的圆弧围成的阴影部分，圆心距 33 OO’为20 米且OO’垂直于直径AB，那么该戏水池的面积为多少平方米？ A.400 B.200π C.800 D.400π 【解析】拓展7.凭借做题经验，求阴影部分（的面积），弯月形戏水池可看 作是由半径为20 米的半圆O’和半径为20√2米的半圆O 的圆弧围成的阴影部分， 求完整的“O’”→半径r 为20 米、面积=π*20²=400π，一半是200π，所求 的弯月戏水池比200π还要少，对应A 项。【选A】 【拓展8】（2023 公务员）下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个 34 长4 米、宽3 米的长方形，屋顶高1 米，上棱长2 米且平行于底面，那么该帐篷 屋顶的体积是： A.5 立方米 B.11 立方米 C.12 立方米 D.24 立方米 【解析】拓展7.根据题意，如果尝试切割，左右都可以切出一个四棱锥， 中间是一个躺平的三棱柱，这里不讲常规方法，帐篷屋顶长4 米、宽3 米、高1 米，可以计算一个长方体的体积→4*3*1=12，帐篷屋顶体积比12 小很多（如下 图所示），对应A 项。【选A】 35 遇见不一样的自己 Be your better self
