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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（上海卷）01·参考答案
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．
2．
3．
4．
5．1 6．
/0.375 7．(0,2) 8．
/
9．
/
10．
11．
12．
二、选择题(本题共有4 题，满分18 分，第13-14 题每题4 分，第15-16 题每题5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13
14
15
16
B
B
C
B
三、解答题(本大题共有5 题，满分78 分，第17-19 题每题14 分，第20、21 题每题18 分.)
17．（1）证明：在平面
内，过
做
垂直于
交
于点
，
由
为等腰梯形，且
，则
又
，所以
，
连接
，由
，可知
且
，
所以在三角形
中，
，
从而
，
又
平面
，，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
(6 分)
（2）由（1）知，
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
1
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则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
取
，则
， (10 分)
所以
，
由图可以看出二面角
为锐角，故二面角
的余弦值为
. (14 分)
18．（1）
，
，
，
又
，
，
．
又
在
中，
，
，
，
2
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因为
，所以
， (1 分)
又
在
中，
，
，
再由三角形的余弦定理得：
，
，
即
，解得
或
，
当
时，
，
当
时，
， (6 分)
（2）
，
，
．
．
其中，
，
，
， (9 分)
在
中，
，
，
当
时，
取到最大值
，
此时，
． (14 分)
19．（1）提出原假设
:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
3
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确定显著性水平
，由题意得，
可得
，
由
，且
，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关. (2 分)
（2）（i）比赛只进行3 局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行3 局就结束，乙赢得比赛的概率为
，
故比赛只进行3 局就结束的概率为
； (7 分)
（ii）
的可能取值为
，
，即进行了3 场比赛，且乙赢得比赛，故
，
，即进行了4 场比赛，且乙赢得比赛，前3 场中，甲赢得1 场比赛，乙第4 场赢，
故
，
，即进行了5 场比赛，且乙赢得比赛，前4 场中，甲赢得2 场比赛，乙第5 场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得
，
所以分布为
0
1
2
3
故数学期望为
. (14 分)
4
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20．（1）当
直线l：
与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，
又双曲线的渐近线为
，则
又焦距为4，则
，解得
，
，
则所求双曲线
的方程为
. (4 分)
（2）设
，
，则
，
由
，得
，
则
，
，
，，
又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，
则
，即
，即
，
即
，则
，
即
，则
或
，
即实数m 的取值范围
. (10 分)
（3）
，
设
，则
，
直线BD 的斜率为
， 又
，
则直线PQ 的方程为
，即
，
5
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直线AD 的斜率为
，直线AD 的方程为
，
由
，得
，
即点Q 的横坐标为
，则
.
故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. (18 分)
21．（1）（i）函数
具有性质
，理由如下，
，
因为
，
恒成立，所以函数
具有性质
； (4 分)
（ii）设
，
与
的符号相同.
当
即
时，
，
，
故此时
在区间
上递增；
当
时，对于
，有
，所以此时
在区间
上递增；
当
时，
的图象开口向上，对称轴
，而
，
对于
，总有
，
，所以此时
在区间
上递增；
当
时，
的图象开口向上，对称轴
，方程
的两根为：
，且
，
，
6
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当
时，
，
，此时
在区间
上递减；
同理得：
在区间
上递增.
综上所述：当
时，
在区间
上递增；
当
时，
在区间
上递减，在
上递增； (10 分)
（2）由题意，得：
，
又
对任意的
都有
，
所以对任意的
都有
，
在
上递增，
又
，
当
时，
，且
，
所以
，所以
或
，
若
，则
，
所以
不合题意，
所以
，即
，解得：
，
，
当
时，
，
，符合题意.
当
时，
，且
，
同理有
，即
，解得：
，
，
7
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综上所述，所求m 的取值范围时
. (18 分)
8
