文档文本内容
2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（上海卷）·参考答案
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 2. 3.2. 4.-1
5.81 6. ． 7.-6 8.2
9. 10. 11. 12.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13 14 15 16
D A A B
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17.（1）函数 是奇函数，
当 时， ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
因此 ，恒有 成立，
所以函数 是奇函数.……（7分）
（2）当 时， 单调递减，当 时， 单调递减，又 ，
因此函数 在 上单调递减， ，
由 对所有 恒成立，得 ，即 ，令 ，依题意，任意 ， ，
于是 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .……（7分）
18.（1）
连接 ，由已知， ，且 ，
∴四边形 为菱形，∴ ，
在圆锥 中，∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ．
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．……（7分）（2）
取 中点 ，易知 平面 ， ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
设平面 的一个法向量为 ．
因为 所以 ，令 ，则 ， ，
∴ ，
易知平面 即平面 ，∴平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
∴平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．……（7分）
19.（1）提出原假设 ：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平 ，
计算 ，而 ，
的值超过了 所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果.……（7分）
（2） 的所有可能取值为0，1，2，
，
所以 的分布列为，
它的期望为 ，
它的方差为 .……（7分）
20.（1）解：由题可知， 周长为8，
由椭圆的定义，可知 的周长等于 ，
则 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
因此椭圆 的方程为 .……（6分）（2）解：依题意，直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立 ，整理得： ，
由韦达定理： ， ，
.……（6分）
（3）解：设直线 的方程为 ， ， ，
直线 与椭圆方程联立 ，
整理得： ，
由韦达定理： ①， ②，
因为 ，
所以 ，
即 ，由 ， ，
得： ，
所以 ，
又 ，不妨设 ，所以 ， ，
代入 ，所以 ，所以 ，整理得 ，
代入①② ，计算得 ，
所以直线 的方程为 或 .……（6分）
21.（1）由于数列 的各项均不为 ，
所以， 可变形为 （ 是正整数），
所以，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
又 ， 也符合上式，所以 .……（6分）
（2）（i）先证： .
根据已知 ，得
由 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格增函数，故 成立.
再证： .
又 ，记 ，则 ，
由 ，故 且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格减函数，
故 ，于是 ，证毕.……（6分）（ii）由题意知， ，
下面研究 .将（i）推广至一般情形.
，
由 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格增函数，故 成立.①
再证： . ，
记 ，则 ，
由 ，故 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格减函数，
故 ，于是 ，
所以， ，即对任意 ， .
于是对 ， ，整理得 ，
令 ，得 ，即 ，故 .
（方法一）当 时，
故 即 ，从而 .对于任意给定的正实数 ，令 ，
则取 为大于 且不小于 的最小整数，
则当 时， 恒成立，因此，数列 的极限 为 .
（方法二）而对于任意 ，只需 且 时，
可得 .
故存在 ，当 时，恒有 ，
因而 的极限 .……（6分）
