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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（上海卷）·参考答案
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1.
2.
3.2. 4.-1
5.81 6.
． 7.-6 8.2
9.
10.
11.
12.
二、选择题（本大题共4 题,满分18 分,第13-14 题每题4 分,第15-16 题每题5 分)
13
14
15
16
D
A
A
B
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+18+18=78 分）
17.（1）函数
是奇函数，
当
时，
，则
，
当
时，
，
当
时，
，则
，
因此
，恒有
成立，
所以函数
是奇函数.……（7 分）
（2）当
时，
单调递减，当
时，
单调递减，又
，
因此函数
在
上单调递减，
，
由
对所有
恒成立，得
，即
，
1
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令
，依题意，任意
，
，
于是
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.……（7 分）
18.（1）
连接
，由已知，
，且
，
∴四边形
为菱形，∴
，
在圆锥
中，∵
平面
，
平面
，
∴
．
∵
，
平面
，
平面
，
∴
平面
．
又∵
平面
，
∴平面
平面
．……（7 分）
2
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（2）
取
中点
，易知
平面
，
，
以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
，
．
设平面
的一个法向量为
．
因为
所以
，令
，则
，
，
∴
，
易知平面
即平面
，∴平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
的夹角为
，
3
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则
，
∴平面
与平面
的夹角的余弦值为
．……（7 分）
19.（1）提出原假设
：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平
，
计算
，而
，
的值超过了
所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果.……（7 分）
（2）
的所有可能取值为0，1，2，
，
所以
的分布列为，
它的期望为
，
它的方差为
.……（7 分）
20.（1）解：由题可知，
周长为8，
由椭圆的定义，可知
的周长等于
，
则
，所以
，
又
，所以
，
，
因此椭圆
的方程为
.……（6 分）
4
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（2）解：依题意，直线的方程为
，
与椭圆方程联立
，整理得：
，
由韦达定理：
，
，
.……（6 分）
（3）解：设直线的方程为
，
，
，
直线与椭圆方程联立
，
整理得：
，
由韦达定理：
①，
②，
因为
，
所以
，
即
，由
，
，
得：
，
所以
，
又
，不妨设
，所以
，
，
代入
，所以
，
5
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所以
，整理得
，
代入①②
，计算得
，
所以直线的方程为
或
.……（6 分）
21.（1）由于数列
的各项均不为
，
所以，
可变形为
（
是正整数），
所以，数列
是首项为
，公差为的等差数列，所以
，
又
，
也符合上式，所以
.……（6 分）
（2）（i）先证：
.
根据已知
，得
由
当且仅当
时等号成立，
于是
在
上是严格增函数，故
成立.
再证：
.
又
，记
，则
，
由
，故
且仅当
时等号成立，
于是
在
上是严格减函数，
故
，于是
，证毕.……（6 分）
6
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（ii）由题意知，
，
下面研究
.将（i）推广至一般情形.
，
由
当且仅当
时等号成立，
于是
在
上是严格增函数，故
成立.①
再证：
.
，
记
，则
，
由
，故
当且仅当
时等号成立，
于是
在
上是严格减函数，
故
，于是
，
所以，
，即对任意
，
.
于是对
，
，整理得
，
令
，得
，即
，故
.
（方法一）当
时，
故
即
，
7
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从而
.对于任意给定的正实数
，令
，
则取
为大于
且不小于
的最小整数，
则当
时，
恒成立，因此，数列
的极限
为
.
（方法二）而对于任意
，只需
且
时，
可得
.
故存在
，当
时，恒有
，
因而
的极限
.……（6 分）
8
