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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（新八省通用）01·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
、
，
，故
.故选：B.
2．
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数的最小正周期
，故选:D.
3．若
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．5
【答案】B
1
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【解析】因为
.故选：B
4．已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，∴
，
，故选A.
5．设双曲线
的一个顶点坐标为
，焦距为
，则双曲线的渐近线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】双曲线
中，半焦距为
，即
，
又双曲线一个顶点坐标为
，即
，解得
，
所以双曲线的渐近线方程为
．故选：D．
6．已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为，高为，则
，解得
，所以
，
所以圆锥的体积
.故选：D.
7．在
中，若
，且
，则
的面积为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
故
，故选D
8．已知
且
，若
在
上恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得
，
①若
，则
，且
，
，
根据穿根法可知
或
时不符合题意，舍去；
②若
，要满足题意则
，符合题意，如图所示；
③当
时，同理要满足题意需
，与前提矛盾；
④当
，此时
，则
的三个零点都是负数，由穿根法可知
符合题意；
综上可知满足
在
恒成立时，只有
满足题意.
故选：C ．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
3
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9．以下绳结，拉伸两个端头绳子会打结的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】绳子A 的判断：对于绳子A，其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳子的交叉缠
绕而形成一个结；
绳子B 的判断：绳子B 在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其缠绕方
式并没有形成闭环式的交叉；
绳子C 的判断：绳子C 的缠绕结构决定了在拉伸两个端头时会形成结，其交叉和缠绕使得在拉伸时必然会
有部分绳子形成闭环结；
绳子D 的判断：绳子D 在拉伸端头时，会因为其复杂的缠绕而形成结，绳子中间部分会收紧成结，故选
ACD.
10．已知抛物线
的焦点为
为坐标原点，点
在抛物线
上，若
，则（ ）
A．
的坐标为
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由抛物线
，可得
，所以
，且焦点在y 轴正半轴上，
则焦点
，所以A 错误；
由抛物线的定义,可得
，解得
，所以B 正确；
由
，可得
，所以
，则
，所以C 不正确；
由
，所以D 正确．
4
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故选：BD．
11．Sigmoid 函数
是一个在生物学中常见的S 型函数，也称为S 型生长曲线，常被用作神经网
络的激活函数.记
为Sigmoid 函数的导函数，则（ ）
A．
B．Sigmoid 函数是单调减函数
C．函数
的最大值是
D．
【答案】ACD
【解析】由函数
求导得：
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，
，则Sigmoid 函数是单调增函数，B 不正确；
对于C，
，当且仅当
，即
时取“=”，C 正
确；
对于D，因
，则
，D 正确.故选
ACD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若
，则
.
【答案】
【解析】由
，可得
.
5
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13．在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等
6 名特警人员分配到展区附近的4 个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1 个路口且每个路口至
少安排1 名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是 ．
【答案】
【解析】6 名特警分配到展区附近的4 个不同的路口进行执勤，不同安排方法数为
，
甲乙安排在同一路口，视甲乙为一个人，5 个人安排到4 个路口的安排数为
，
因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是
，
所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是
.
14．已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝
且函数y＝f(x)－x 恰有3 个不同的零点，则实数a 的取
值范围是 .
【答案】
【解析】由
得：
，
可得f(x)－x＝a＋
，所以y＝f(x)－x 有三个零点等价于
有三个不同交点.
令h(x)＝
，
画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a 从上向下平移，当a＝0 时，有两个交点，再向下平移，有
三个交点，当a＝－1 时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此
.
6
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四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13 分）“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共嬴之路．为了了解
我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100 天进口贸易量与出口贸易量（单位：
亿元人民币/天），整理数据得下表：
进口贸易量
出口贸易量
32
18
4
6
8
12
3
7
10
(1)用频率估计概率，试估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100 亿元
人民币”的概率．
(2)根据所给数据，完成下面的
列联表．
进口贸易量
出口贸易量
(3)依据
的独立性检验，能否认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关？
附：
，
．
7
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0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
【解】（1）解：由题表中的信息可知，
在这100 天中，进口贸易量与出口贸易量均不超过100 亿元人民币的天数为
，
用频率估计概率，可得所求概率
．
（2）列出
列联表如下：
进口贸易量
出口贸易量
64
16
10
10
（3）零假设为
：我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量无关．
由（2）得
，
所以依据
的独立性检验，推断
不成立，即认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易
量有关
16．（本小题满分15 分）已知在正项数列
中，首项
，点
在双曲线
上，数
列
中，点
在直线
上，其中
是数列
的前
项和．
（1）求数列
、
的通项公式；
（2）求使得
成立
的最小值；
（3）若
，求证：数列
为递减数列．
【解】（1）点
在双曲线
上，
8
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是以
为首项，公差为的等差数列，
；点
在直线
上，
，当
时，
，
当
时，
，
，
是以
为首项，公比为
的等比数列，
.
（2）
，
解得
，
成立
的最小值为7.
（3）
，
，
，所以数列
为递减数列.
17．（本小题满分15 分）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若0 是函数
的极小值点，求实数
的取值范围．
【解】（1）由
，
，
则
，
所以
，即切线斜率为，
9
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又
，则切点为
，切线方程为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）根据题意得，
，
则
．
由0 为
的极小值点，可知
．
设
，
则
．
（ⅰ）当
时，
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以0 是
的极小值点，符合题意．
（ⅱ）当
时，设
，
则
，
所以
在
上单调递增，
，
，
10
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所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减，即
单调递减；
当
时，
，
单调递增，即
单调递增.
又
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以0 是
的极小值点，符合题意．
（ⅲ）当
时，
，且
在
上单调递增，
所以当
时，
，
单调递减，即
单调递减；
当
时，
，
单调递增，即
单调递增.
又
，所以
，
单调递增，不符合题意．
（ⅳ）当
时，
，
在
上单调递增，
，
所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减，又
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
所以0 是
的极大值点，不符合题意．
综上，
的取值范围是
．
11
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18．（本小题满分17 分）已知
分别为椭圆
的左､右焦点，
分别为椭圆
的左､右顶点，
为椭圆
上的动点，过动点
作椭圆
的切线.分别与直线
和
相交
于
两点，四边形
的对角线
相交于点
，记动点
的轨迹为
.
(1)证明：椭圆
在
点处的切线方程为
.
(2)求动点
的轨迹
的方程.
(3)过点
作斜率不为
的直线与
相交于点
，直线
与
的交点为
，判断点
是否在定直
线上.
【解】（1）证明：联立方程组
，
消去
整理得
，又
，
即
，
整理得
，解得
，
所以直线
与椭圆
有且仅有一个交点
，
即切线方程为
.
（2）解：由（1）中切线方程，令
，得
，
令
，得
，
因为
，所以直线
，①
12
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因为
，所以直线
，②
由①②得
.
因为
，得
，
所以动点
的轨迹
的方程为
）.
（3）解：设直线的方程为
，
联立方程组
得
，
则
，所以
.
因为直线
的方程为
，直线
的方程为
，
所以
，所以
，
所以
，
整理得
所以
，即点
在定直线
上.
19．（本小题满分17 分）如图1，菱形ABCD 中∠ABC＝120°，动点E，F 在边AD，AB 上（不含端点），
且存在实数
使
，沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2
13
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所示．
(1)若BF⊥PD，设三棱锥P－BCD 和四棱锥P－BDEF 的体积分别为
，
，求
；
(2)当点E 的位置变化时，平面EPF 与平面BPF 的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦
值，若不是，说明理由；
(3)若AB＝2，求四棱锥P－BDEF 的外接球半径的最小值．
【解】（1）在图2 中，取EF 中点O，BD 中点M，连接OP，OM，以O 为原点，OF、OM、OP 所在直
线分别为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝4、OP＝x，则
，
，
∴
，
，
，
，
故
，
，
∵直线BF 与PD 垂直，
，
∴
，解得
（舍）或
，
14
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∴PO＝2OM，∴AE＝2ED，
∴图中点E 在靠近点D 的三等分点处．
，∴
（2）设二面角E－PF－B 的平面角为
，则
为钝角．
证明：平面PEF 的法向量
，
，
，
设平面PBF 的法向量
，则
，即
取a＝1，得
，∴
．
又
为钝角，∴
．
∴无论点E 的位置如何，二面角E－PF－B 的余弦值都为定值
．
平面EPF 与平面BPF 的夹角（锐角）的余弦值为定值
．
（3）由题意知△ABD 为等边为2 的三角形，
，
如图，设△PEF 的外心为
，四边形BDEF 外接圆的圆心为
，
作
平面PEF，
平面BDEF，
，
即为外接球的球心，且四边形
为矩形．
设d 为Q 到平面BDEF 的距离，则
，
设r 为四边形BDEF 的外接圆半径，
在△ABE 中，
，
15
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在△ABE 中，
．
设外接球半径为R，则
，
故当
时，外接球半径的最小值为
．
16
