2025年高考数学试卷（北京）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2025·高考数学真题

2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共 12页，150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项． M ={x∣2x-1>5},N ={1,2,3} M N = 1. 集合 ，则 I （ ） A. {1,2,3} B. {2,3} C. {3} D. Æ 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合M ，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为M =x|2x-1>5=x|x>3 ，所以M ÇN =Æ， 故选：D. 2 已知复数z满足i×z+2=2i，则|z|=（ ） . A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数z，再根据复数模的公式即可求出． -2+2i 【详解】由i×z+2=2i可得，z = =2+2i，所以 z = 22 +22 =2 2 ， i 故选：B. 3. 双曲线x2 -4y2 =4的离心率为（ ） 3 5 5 A. B. C. D. 5 2 2 4 【答案】B 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率． x2 【详解】由x2 -4y2 =4得， - y2 =1，所以a2 =4,b2 =1,c2 =a2 +b2 =5， 4 c 5 即a=2,c= 5，所以e= = ， a 2 故选：B． 4. 为得到函数y =9x的图象，只需把函数y =3x的图象上的所有点（ ） 1 A. 横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变 B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 2 1 C. 纵坐标变成原来的 倍，横坐标不变 D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 3 【答案】A 【解析】 【分析】由y =9x =32x，根据平移法则即可解出． 【详解】因为y =9x =32x，所以将函数y =3x的图象上所有点的横坐标变成原来的 1 倍，纵坐标不变，即 2 可得到函数y =9x的图象， 故选：A. 5. 已知 a  是公差不为0的等差数列，a =-2，若a ,a ,a 成等比数列，则a =（ ） n 1 3 4 6 10 A. -20 B. -18 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列 a  的公差为d,d ¹0 ， n 因为a ,a ,a 成等比数列，且a =-2， 3 4 6 1 所以a2 =a a ，即-2+3d2 =-2+2d-2+5d，解得d =2或d = 0 （舍去）， 4 3 6 所以a =a +9d =-2+9´2=16. 10 1 故选：C. 第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司6. 已知a >0,b>0，则（ ） 1 1 1 A. a2 +b2 >2ab B. + ³ a b ab 1 1 2 C. a+b> ab D. + £ a b ab 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当a =b时，a2 +b2 =2ab，故A错误； 1 1 1 1 1 1 + =2+4=6< =8= 对于BD，取a= ,b= ，此时a b 1 1 ab ， 2 4 ´ 2 4 1 1 2 2 + =2+4=6> =4 2 = a b 1 1 ab ，故BD错误； ´ 2 4 对于C，由基本不等式可得a+b³2 ab > ab，故C正确. 故选：C. 7. 已知函数 f(x)的定义域为 D，则“函数 f(x)的值域为R ”是“对任意M ÎR，存在 x ÎD，使得 0 f x  >M ”的（ ） 0 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数 f(x)的值域为R ，则对任意M ÎR，一定存在x ÎD，使得 f x = M +1， 1 1 取x = x ，则 f x  = M +1>M ，充分性成立； 0 1 0 取 f(x)=2x，D = R，则对任意M ÎR，一定存在x ÎD，使得 f x = M +1， 1 1 取x = x ，则 f x  = M +1>M ，但此时函数 f(x)的值域为 0,+¥ ，必要性不成立； 0 1 0 所以“函数 f(x)的值域为R ”是“对任意M ÎR，存在x ÎD，使得 f x  >M ”的充分不必要条件. 0 0 故选：A. 第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司é πù 8. 设函数 f(x)=sin(wx)+cos(wx)(w>0)，若 f(x+π)= f(x)恒成立，且 f(x)在 ê 0, ú 上存在零点， ë 4û 则w的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. π 【详解】函数 f(x)=sin(wx)+cos(wx)= 2sin(wx+ )(w>0)， 4 设函数 f(x)的最小正周期为T，由 f(x+π)= f(x)可得kT =π,  kÎN* ， 2π π 所以T = = ,  kÎN* ，即w=2k,  kÎN* ； w k é πù é πù π éπ πw πù 又函数 f(x)在 0, 上存在零点，且当xÎ 0, 时，wx+ Î , + ， ê ú ê ú ê ú ë 4û ë 4û 4 ë4 4 4û πw π 所以 + ³π，即w³3； 4 4 综上，w的最小值为4. 故选：C. 9. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T =klog N （单位：小时）， 2 其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024´109个单位时，训练时间增加20 小时；当训练数据量N从1.024´109个单位增加到4.096´109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ） A. 2 B. 4 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取106个单位、1.024´109个单位、4.096´109个单位时所需时间分别为T,T ,T , 1 2 3 由题意，T =klog 106 =6klog 10， 1 2 2 T =klog  1.024´109 =klog  210´106 =k10+6log 10 ， 2 2 2 2 T =klog  4.096´109 =klog  212´106 =k12+6log 10 ， 3 2 2 2 因为T -T =k10+6log 10-6klog 10=10k =20，所以k =2， 2 1 2 2 第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司所以T -T =k12+6log 10-k10+6log 10=2k =4， 3 2 2 2 所以当训练数据量N从1.024´109个单位增加到4.096´109个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. uuur uuur uuur uuur uuur 10. 已知平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|= 2 ，| AB|=2，设C(3,4)，则|2CA+ AB|的取值范围是 （ ） A. [6,14] B. [6,12] C. [8,14] D. [8,12] 【答案】D 【解析】 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 【分析】先根据AB=OB-OA，求出áOA,OBñ，进而可以用向量OA,OB表示出2CA+ AB，即可解出． uuur 【详解】因为|OA|=|OB|= 2 ，| AB|=2， uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur π 由AB=OB-OA平方可得，OA×OB=0，所以áOA,OBñ = ． 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2CA+ AB=2 OA-OC +OB-OA=OA+OB-2OC， OC = 32 +42 =5， uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur 所以， 2CA+ AB =OA +OB +4OC -4 OA+OB ×OC uuur uuur uuur uuur uuur uuur =2+2+4´25-4 OA+OB ×OC =104-4 OA+OB ×OC， uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 又 OA+OB ×OC £ OA+OB OC =5´ 2+2 =10，即-10£ OA+OB ×OC £10， 所以 2C uu A ur + u A u B ur2 Î64,144，即 2C uu A ur + u A u B ur Î8,12 ， 故选：D. 第二部分（非选择题 共 110分） 二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分. 11. 抛物线y2 =2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则 p= ________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质可求 p的值. p p 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为 ，故 =3，故 p=6， 2 2 第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司故答案为：6. 12. 已知(1-2x)4 =a -2a x+4a x2 -8a x3 +16a x4，则a =________；a +a +a +a =________． 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 【答案】 ①. 1 ②. 15 【解析】 【分析】利用赋值法可求a ，利用换元法结合赋值法可求a +a +a +a 的值. 0 1 2 3 4 【详解】令x=0，则a =1， 0 又1-2x4 =a -2a x+4a x2 -8a x3 +16a x4， 0 1 2 3 4 故1-2x4 =a +a -2x+a -2x2 +a -2x3 +a -2x4 ， 0 1 2 3 4 令t =-2x，则1+t4 =a +at+a t2 +a t3+a t4， 0 1 2 3 4 令t =1，则a +a +a +a +a =24，故a +a +a +a =15 0 1 2 3 4 1 2 3 4 故答案为：1,15. 13. 已知a,bÎ[0,2π]，且sin(a+b)=sin(a-b)，cos(a+b)¹cos(a-b)，写出满足条件的一组a= ________，b=_________． π π 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 2 6 【解析】 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为sina+b=sina-b ，cosa+b¹cosa-b ， 所以a+b,a-b的终边关于y轴，且不与y轴重合， π 故a+b+a-b=π+2kπ,kÎZ且a+b¹ +lπ,lÎZ， 2 π 即a= +kπ,kÎZ， 2 π π 故取a= ,b= 可满足题设要求； 2 6 π π 故答案为： ， （答案不唯一） 2 6 14. 某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行 多边形，平面 ARF ^平面 ABC，平面 TCD^平面 ABC， AB^ BC，AB∥RS∥EF∥CD， 第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司5 AF∥ST∥BC∥ED，若AB= BC =8,AF =CD=4,AR= RF =TC =TD= ，则该多面体的体积为 2 ________． 【答案】60 【解析】 【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱ARF -BHT 和四棱锥B-HTSE后结合体积公式可求几何 体的体积. 【详解】先证明一个结论：如果平面a^平面 g ，平面b^平面 g ，平面a I b=l ，则l ^g. 证明：设aÇg=a，b I g=b， 在平面 g 取一点O，OÏa,OÏb， 在平面 g 内过O作直线m，使得m^a，作直线n，使得n^b， 因为平面a^平面 g ，mÌg，故m^a，而l Ìa，故m^l ， 同理n^l，而m I n=O,m,nÌg，故l ^g . 下面回归问题. 连接BE，因为AB^ BC且AF//BC，故AF ^ AB，同理BC ^CD，EF ^ ED， 而AB= BC =8,AF =CD=4，故直角梯形ABEF与直角梯形CBED全等， 故ÐBEF =ÐBED=45°， 在直角梯形ABEF中，过B作BT ^EF ，垂足为T ， 则四边形ABTF 为矩形，且 BTE 为以ÐBTE为直角的等腰直角三角形， V 故EF = FT +TE = AB+BT = AB+ AF =12， 平面RAF ^平面ABEF，平面RAF I 平面ABEF = AF ，AF ^ AB, ABÌ平面ABEF，故AB^平面RAF， 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司取AF 的中点为M ，BE 的中点为U ，CD的中点为V ，连接RM,MU,SU,UV ， 则MU//RS ，同理可证RM ^平面ABEF，而RM Ì平面RMUS， 故平面RMUS ^平面ABEF，同理平面VUS ^平面ABEF， 而平面RMUS I 平面VUS =SU ，故SU ^平面ABEF， 1 故RM//SU ，故四边形RMUS为平行四边形，故MU = RS = 8+12=10. 2 在平面ABHR中过B作BH//AR，交RH 于H ，连接HT . 则四边形ABHR为平行四边形，且RH//AB,RH=AB，故RH//FT,RH=FT ， 故四边形RFTH 为平行四边形， 而BH ^ AB,BT ^ AB,BT BH = B,BT,BH Ì平面BHT， I 故AB^平面BHT，故平面ARF//平面BHT， 而AR= BH,RF = HT,AF = BT ，故△ARF @△BHT ， 故几何体ARF -BHT 为直棱柱， 2 1 æ5ö 而S = ´4´ -4 =3，故V =8´3=24, VARF 2 ç è2 ÷ ø ARF-BHT 因为AB//EF ，故EF ^平面ARF ， 而EF Ì平面RSEF，故平面ARF ^平面RSEF， 在平面ARF 中过A作AG ^ RF ，垂足为G，同理可证AG ^平面RSEF， 1 12 1 12 1 5 而 AG´RF =3，故AG = ，故V = ´ ´ 2+4´ =6， 2 5 B-HTES 3 5 2 2 由对称性可得几何体的体积为2´24+6=60， 故答案为：60. 15. 关于定义域为R的函数 f(x)，以下说法正确的有________． ①存在在R上单调递增的函数 f(x)使得 f(x)+ f(2x)=-x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数 f(x)使得 f(x)+ f(2x)=-x恒成立； 第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司③使得 f(x)+ f(-x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个； ④使得 f(x)- f(-x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误. 【详解】对于①，若存在R 上的增函数 f x ，满足 f x+ f 2x=-x， 则 f 0+ f 2´0=-0即 f 0 =0， 故x >0时， f 4x> f 2x> f x>0，故 f(4x)+ f(2x)> f(x)+ f(2x)， 故-2x>-x即x<0，矛盾，故①错误； 1 对于②，取 f x=- x，该函数为R 上的减函数且 f x+ f 2x=-x， 3 故该函数符合，故②正确； 1 对于③，取 f x= cosx+mx,mÎR， 2 此时 f x+ f -x=cosx，由mÎR可得 f x 有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在 f x ，使得 f x- f -x=cosx， 令x=0，则0=cos0，但cos0=1，矛盾， 故满足 f x- f -x=cosx的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 三、解答题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 1 16. 在VABC中，cosA=- ,asinC =4 2 ． 3 （1）求c； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得VABC存在，求BC的高． 10 2 ①a=6；②bsinC = ；③VABC面积为10 2 ． 3 【答案】（1）6 （2）答案见解析 【解析】 第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得A,C 都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得，sinB,cosB，进一步由 AD=csinB求得高，并说明此时三角形ABC存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得b，再 根据余弦定理可求得a，由此可说明三角形ABC存在，且可由等面积法求解AD. 【小问1详解】 1 2 2 因为cosA=- ,AÎ0,π，所以sinA= 1-cos2 A= ， 3 3 2 2 由正弦定理有asinC =csinA= c=4 2 ，解得c=6； 3 【小问2详解】 如图所示，若VABC存在，则设其BC边上的高为AD， 1 若选①，a=6，因为c=6，所以C = A，因为cosA=- <0，这表明此时三角形ABC有两个钝角， 3 而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在； 10 2 10 2 5 2 若选②，bsinC = ，由正弦定理有bsinC =csinB=6sinB= ，解得sinB= ， 3 3 9 50 31 5 2 10 2 此时cosB= 1- = ，AD=csinB=6´ = ， 81 9 9 3 1 2 2 而cosÐDAB=sinB,sinÐDAB=cosB，cosA=- ，sinA= ， 3 3 所以cosÐCAD=cosÐCAB-ÐBAD ，sinÐCAD= 1-cos2ÐCAD 可以唯一确定， 所以此时CA,CD也可以唯一确定， 10 2 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高AD= ； 3 1 1 2 2 若选③，VABC的面积是10 2 ，则S = bcsin A= b´6´ =10 2 ， VABC 2 2 3 第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司æ 1ö 解得b=5，由余弦定理可得a = b2 +c2 -2bccosA = 25+36-2×5×6× - =9可以唯一确定， ç ÷ è 3ø 进一步由余弦定理可得cosB,cosC也可以唯一确定，即B,C 可以唯一确定， 1 9 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足：S = a×AD= AD=10 2，即 VABC 2 2 20 2 AD= . 9 17. 四棱锥P-ABCD中， ACD与VABC为等腰直角三角形，ÐADC =90°，ÐBAC =90°，E为BC V 的中点． （1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG//面PAB； （2）若PA^面ABCD，PA= AC ，求AB与面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 3 （2） 3 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明FG∥MN即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可 求解. 【小问1详解】 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， ACD与VABC为等腰直角三角形ÐADC =90°，ÐBAC =90° QV 不妨设AD-CD=2，\AC = AB=2 2 1 \BC =4，QE、F分别为BC、PD的中点，\FN = AD=1,BE =2， 2 \GM =1， QÐDAC =45°, ÐACB=45° 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司\AD∥BC， \FN∥GM ， ∴四边形FGMN为平行四边形， \FG∥MN， FGË面PAB，MN Ì面PAB，\FG∥面PAB； Q 【小问2详解】 PA^面ABCD，\以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐 Q 标系， 设AD =CD =2，则A(0,0,0),B(0,2 2,0),C(2 2,0,0)D( 2,- 2,0),P(0,0,2 2) uuur uuur uuur \AB=(0,2 2,0), DC =( 2, 2,0), CP=(-2 2,0,2 2) r 设面PCD的一个法向量为n =(x,y,z) uuur ì ïDC×n r =0 ï ì 2x+ 2y =0 \í ,\í uuur r ïî CP×n =0 ïî-2 2x+2 2z =0 r 取x=1,\y =-1,z =1,\n =(1,-1,1) 设AB与面PCD成的角为q uuur r uuur r ∣AB×n |0´1+2 2´(-1)+0´1| 2 2 3 则sinq=|cosáAB,nñ|= uuur r = = = | AB×n| 2 2× 12 +(-1)2 +12 2 2 3 3 3 即AB与平面PCD成角的正弦值为 . 3 18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答 对，用频率估计概率． （1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率． （2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望． 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（3）若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85%的概 率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概 率为 p ，乙校学生掌握该知识点的概率为 p ，试比较 p 与 p 的大小（结论不要求证明） 1 2 1 2 4 【答案】（1） 5 （2）0.35，EX=1.55 （3） p < p 1 2 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率； （2）利用独立事件可求恰有1人做对的概率及X 的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于 p ,p 的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 1 2 【小问1详解】 80 4 用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为 = . 100 5 【小问2详解】 设A为“从甲校抽取1人做对”，则PA=0.8，则P  A  =0.2， 设B为“从乙校抽取1人做对”，则PB=0.75，则P  A  =0.25， 设C为“恰有1人做对”，故PC= P  AB  +P  AB  = PAP  B  +P  A  PB=0.35， 而X 可取0,1,2， PX =0= P  AB  =0.05，PX =1=0.35，PX =2=0.8´0.75=0.6， 故X 的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故EX=1´0.35+2´0.6=1.55. 【小问3详解】 设D为 “甲校掌握该知识的学生”， 因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司1 1 11 故PD+ 1-P(D)=0.8即 p + ´1- p =0.8，故 p = ， 4 1 4 1 1 15 1 5 同理有0.85p + ´1- p =0.75，故 p = ， 2 4 2 2 6 故 p < p . 1 2 x2 y2 2 19. 已知E: + =1的离心率为 ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4， a2 b2 2 （1）求椭圆方程； （2）设O为原点，M x ,y x ¹0 为椭圆上一点，直线x x+2y y-4=0与直线y =2，y =-2交 0 0 0 0 0 S |OA| 于A，B．△OAM 与 OBM 的面积为S ,S ，比较 1 与 的大小． V 1 2 S |OB| 2 x2 y2 【答案】（1） + =1 4 2 S OA （2） 1 = S OB 2 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出a,c，再根据a,b,c的关系求出b，即可得到椭圆方程； OA S AM （2）法一：联立直线方程求出点A,B坐标，即可求出 ，再根据 1 = ，即可得出它们的大小关 OB S BM 2 系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到ÐAOM =ÐBOM ，再根据三角形的面积公式即可 解出. 【小问1详解】 c 2 由椭圆可知，2a=4，所以a=2，又e= = ，所以c= 2，b2 =a2 -c2 =2， a 2 x2 y2 故椭圆方程为 + =1； 4 2 【小问2详解】 ìx x+2y y-4=0 ï 0 0 æ4-2y yö 2 联立íx2 y2 ，消去x得，ç 0 ÷ +2y2 =4， + =1 x ï è ø î 4 2 0 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司整理得，  2x2 +4y2 y2 -16y y+16-4x2 =0①， 0 0 0 0 x2 y2 又 0 + 0 =1，所以2x2 +4y2 =8，16-4x2 =8y2， 0 0 0 0 4 2 故①式可化简为8y2 -16y y+8y2 =0，即y- y 2 =0，所以y= y ， 0 0 0 0 所以直线x x+2y y-4=0与椭圆相切，M 为切点. 0 0 S OA 设Ax ,y ,Bx ,y  ，易知，当x = x 时，由对称性可知， 1 = ． 1 1 2 2 1 2 S OB 2 S AM x -x x -x 故设x < x < x ，易知 1 = = 1 0 = 1 0 ， 2 0 1 S BM x -x x -x 2 2 0 0 2 ìx x+2y y-4=0 4-4y 联立í 0 0 ，解得x = 0 ,y =2， îy =2 1 x 1 0 ìx x+2y y-4=0 4+4y 联立í 0 0 ，解得x = 0 ,y =-2， îy =-2 2 x 2 0 4-4y 0 -x S x -x x 0 4-4y -x2 所以 1 = 1 0 = 0 = 0 0 S x -x 4+4y x2 -4y -4 2 0 2 x - 0 0 0 0 x 0 2y2 -4y 2- y = 0 0 = 0 ， -2y2 -4y 2+ y 0 0 0 2 æ4-4y ö OA ç è x 0 ÷ ø +4 41- y 2 +x2 41- y 2 +4-2y2 y2 -4y +4 2- y = 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 ， OB æ ç 4+4y 0 ö ÷ 2 +4 41+ y 0 2 +x 0 2 41+ y 0 2 +4-2y 0 2 y 0 2 +4y 0 +4 2+ y 0 x è ø 0 S OA 故 1 = ． S OB 2 S OA 法二：不妨设Ax ,y ,Bx ,y  ，易知，当x = x 时，由对称性可知， 1 = ． 1 1 2 2 1 2 S OB 2 故设x < x < x ， 2 0 1 ìx x+2y y-4=0 4-4y 联立í 0 0 ，解得x = 0 ,y =2， îy =2 1 x 1 0 第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司ìx x+2y y-4=0 4+4y 联立í 0 0 ，解得x = 0 ,y =-2， îy =-2 2 x 2 0 y 2x x y -2x x y 则k = 1 = 0 = 0 ，k = 2 = 0 =- 0 ，k = 0 , OA x 4-4y 2-2y OB x 4+4y 2+2y OM x 1 0 0 2 0 0 0 x2 y2 又 0 + 0 =1，所以x2 +2y2 =4， 0 0 4 2 x y 0 - 0 k -k 2-2y x 所以tanÐAOM = OA OM = 0 0 1+k ×k x y OA OM 1+ 0 ´ 0 2-2y x 0 0 x2 +2y2 -2y 4-2y 2 =- 0 0 0 =- 0 = ， x y -2 x y -2 x 0 0 0 0 0 y x 0 + 0 k -k x 2+2y x2 +2y2 +2y 4+2y 2 tanÐBOM = OM OB = 0 0 = 0 0 0 = 0 = ， 1+k ×k y æ x ö x y +2 x y +2 x OM OB 1+ 0 ´ç- 0 ÷ 0 0 0 0 0 x 2+2y è ø 0 0 则tanÐAOM =tanÐBOM ，即ÐAOM =ÐBOM ， S OA OM sinÐAOM OA 所以 1 = = . S OB OM sinÐBOM OB 2 ln(1+x) 20. 函数 f(x)的定义域为(-1,+¥), f(0)=0, f¢(x)= ，l 为A(a, f(a))(a ¹0)处的切线． 1+x 1 （1） f¢(x)的最大值； （2）-10时，直线l 过A且与l 垂直，l ，l 分别于x轴的交点为x与x ，求 1 2 的取值范 2 1 1 2 1 2 x -x 2 1 围． 第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司1 【答案】（1） e e2 -1 （2）证明见解析 （3）[ ,1) e2 +1 【解析】 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线l 的方程，再构造函数hx ，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； 1 2a-x -x （3）求出直线l 的方程，即可由题意得到x ,x 的表示，从而用字母a表示出 1 2 ，从而求出范围. 2 1 2 x -x 2 1 【小问1详解】 1 1+x-ln1+x 设gx= f¢x ， g¢x= 1+x = 1-ln1+x ， 1+x2 1+x2 由g¢x=0可得x =e-1，当xÎ-1,e-1 时，g¢x>0，gx 单调递增， 当xÎe-1,+¥ 时，g¢x<0，gx 单调递减， 1 所以 f¢x 的最大值为 f¢e-1= . e 【小问2详解】 ln1+a ln1+a 因 为 f¢a= ， 所 以 直 线 l 的 方 程 为 y- f a= x-a， 即 1 1+a 1+a ln1+a y = x-a+ f a， 1+a éln1+a ù ln1+x ln1+a 设hx= f x-ê x-a+ f a ú，h¢x= - = f¢x- f¢a， ë 1+a û 1+x 1+a 由（1）可知， f¢x 在xÎ-1,e-1 上单调递增，而-1 x>a时，h¢x>0，hx 单调递增，且 f¢a< f¢0=0， ln1+x 而当x ³0时， f¢x= ³0，所以总有 f¢x³ f¢a ，hx 单调递增 1+x 故hx³ha ，从而命题得证； 第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】 ln1+x ln21+x ln21+x 由 f¢x= 可设 f x= +C，又 f 0=0，所以C =0，即 f x= ， 1+x 2 2 ln1+a ln21+a 因为直线l 的方程为y = x-a+ ，易知a¹0， 1 1+a 2 1+a ln21+a 所以直线l 的方程为y =- x-a+ , 2 ln1+a 2 1+aln1+a ln31+a x =a- ，x = +a. 1 2 2 21+a 1+aln1+a ln31+a - 2a-x -x 2 21+a 1+a2 -ln21+a 所以 1 2 = = x -x ln31+a 1+aln1+a ln21+a+1+a2 2 1 + 21+a 2 ln21+a 1- 1+a2 1-g2a 2 1 = = =-1+ , 由 （ 1 ） 知 , 当 x >0时 ， gxÎ(0, ]， 所 以 ln21+a 1+g2a 1+g2a e +1 1+a2 1 g2aÎ(0, ], e2 2a-x -x e2 -1 所以 1 2 Î[ ,1). x -x e2 +1 2 1 21. A=1,2,3,4,5,6,7,8,M = x ,y ∣x ÎA,y ÎA  ，从M中选出n个有序数对构成一列： i i i i x -x =3 x -x =4 x ,y ,¼,x ,y  ．相邻两项 x ,y ,x ,y  满足： i+1 i 或 i+1 i ，称为k列． 1 1 n n i i i+1 i+1 y - y =4 y - y =3 i+1 i i+1 i （1）若k列的第一项为(3,3)，求第二项． （2）若为k列，且满足i为奇数时，x Î{1,2,7,8}：i为偶数时，x Î{3,4,5,6}；判断：(3,2)与 i i (4,4)能否同时在中，并说明； （3）证明：M中所有元素都不构成k列． 【答案】（1） 6,7 或 7,6 （2）不能，理由见解析 （3）证明过程见解析 第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设(3,2)与(4,4)能同时在中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个k列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【小问1详解】 ìx = x ±3 ìx = x ±4 i+1 i i+1 i 根据题目定义可知，í 或í ， y = y ±4 y = y ±3 î î i+1 i i+1 i 若第一项为 3,3 ，显然x =0或-1不符合题意（不在集合A中），所以下一项是 6,7 或 7,6 ； 2 【小问2详解】 假设二者同时出现在中，由于k列取反序后仍是k列，故可以不妨设 3,2 在 4,4 之前. 显然，在k列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从 3,2 到 4,4 必定要向下一项走 奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从 3,2 到 4,4 必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. 【小问3详解】 法1：若M 中的所有元素构成k列，考虑k列中形如 x,y x,y Î{1,2,7,8} 的项， i i i i 这样的项共有16个，由题知其下一项为 x ,y ,x ,y Î{3,4,5,6}，共计16个， i+1 i+1 i+1 i+1 而 x ,y ¹(3,3),(6,3),(3,6),(6,3)，因为只能6由2来，3只能由7来， i+1 i+1 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个 x,y  ，有12个 x ,y  与之相对应，矛盾． i i i+1 i+1 综上，M中所有元素都无法构成k列． 法2：全体元素构成一个k列，则n=64. 设T = x,y xÎ1,2,7,8,yÎ1,2,3,4,5,6,7,8 ， 1 T = x,y xÎ3,4,5,6,yÎ1,2,3,4,5,6,7,8 . 2 则T 和T 都包含32个元素，且T 中元素的相邻项必定在T 中. 1 2 1 2 如果存在至少两对相邻的项属于T ，那么属于T 的项的数目一定多于属于T 的项的数目， 2 2 1 第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司所以至多存在一对相邻的项属于T . 2 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1， 否则将导致属于T 2 的项的个数比属于T 1 的项的个数多2，此时m=1,2,3, L ,31. 从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T ，第偶数项属于T ； 1 2 这个序列的后64-2m项中，第奇数项属于T ，第偶数项属于T . 2 1 如果不存在相邻的属于T 的项，那么也可以看作上述表示在m=0或m=32的特殊情况. 2 ìï x ,y ÎT,x ,y ÎT ,1£k £m 这意味着必定存在mÎ0,1,2,...,32 ，使得í 2k-1 2k-1 1 2k 2k 2 . ïî x 2k-1 ,y 2k-1 ÎT 2 ,x 2k ,y 2k ÎT 1 ,m+1£k £32 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T 中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数 1 的点的数量一定分别是m和32-m（不一定对应）. 但容易验证，T 和T 都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以 1 2 m=32-m=16，得m=16. ìï x ,y ÎT,x ,y ÎT ,1£k £16 2k-1 2k-1 1 2k 2k 2 从而有í . ïî x 2k-1 ,y 2k-1 ÎT 2 ,x 2k ,y 2k ÎT 1 ,17£k £32 这就得到T = x ,y  k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64  . 1 k k 再设T = x,y xÎ1,2,3,4,5,6,7,8,yÎ1,2,7,8 ， 3 T = x,y xÎ1,2,3,4,5,6,7,8,yÎ3,4,5,6 . 4 ìï x ,y ÎT ,x ,y ÎT ,1£k £16 2k-1 2k-1 3 2k 2k 4 则同理有í . ïî x 2k-1 ,y 2k-1 ÎT 4 ,x 2k ,y 2k ÎT 3 ,17£k £32 这意味着T = x ,y  k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64  . 3 k k 从而得到T =T ，但显然它们是不同的集合，矛盾. 3 1 所以全体元素不能构成一个k列. 第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司