文档内容
应用题-经典应用题-牛吃草问题基本
知识-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
牛吃草问题基本知识 C 1.了解牛吃草问题的概念。 少考
2.能够准确理解牛吃草的解题原
理。
3.可以熟练运用牛吃草公式来解决
牛吃草问题。
知识提要
牛吃草问题基本知识
概述
牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的<普遍算术>一书中提出的
一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”．
解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量
公式：
设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数
× 吃的较多的天数-对应牛的头数 × 吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）（2）
原有草量=牛的头数 × 吃的天数-草的生长速度 × 吃的天数（3）吃的天数=原有草量 ÷（牛
的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量 ÷ 吃的天数+草的生长速度。 牛吃草的变型
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问
题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
精选例题
牛吃草问题基本知识
1. 一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排 4 台污水处理设备，36
天可将池中的污水处理完；若安排 5 台污水处理设备，27 天可将池中的污水处理完；若安
排 7 台污水处理设备， 天可将池中的污水处理完．
【答案】 18
【分析】 牛吃草问题变形．
不妨设一台污水处理设备一天处理一份污水，
每天新流入的污水：
(4×36-5×27)÷(36-27)=1(份).
原有的污水量：
4×36-1×36=108(份).
分牛法：1 台污水处理设备处理每天新流入的污水，剩下 6 台设备处理原有污水
108÷(7-1)=18(天).
2. 解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝．若 10 人需 45 分钟，20 人需 20
分钟，则 14 人修好大坝需 分钟．
【答案】 30
【分析】 设每个人 1 分钟修好 1 份．
10×45=450(份),
20×20=400(份),
每分钟新冲毁：(450-400)÷(45-20)=2(份),
原先冲毁：
450-2×45=360(份),
360÷(14-2)=30(分钟).
3. 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水．第一个桶距水缸有 1 米，
小方用 3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有 2 米，小方用 4 次恰好把桶装满．第三个桶
距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它装满？（假设小方走路的速度不变，水从杯中流
出的速度也不变）
【答案】 6
【分析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了
2×4-1×3＝5(米) 路，所以从杯中流出的速度是 1×5＝0.2(杯/米)，于是 1 桶水原
有水量等于 3-3×0.2＝2.4(杯) 水，所以小方要 2.4÷(1-3×0.2)＝6(次) 才能把第三
个桶装满．
4. 如下图所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分．已知草一开始
是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长．但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根
也被吃掉了）．老农先带着一群牛在 1 号草地上吃草，两天后把 1 号草地上的草全部吃完
（这期间其他草地的草正常生长）．之后他让一半牛在 2 号草地上吃草，另一半在 3 号草
3
地上吃草，结果又过了 6 天，这两个草地上的草也全部吃完．最后，老农把 的牛放在阴
5
影草地上吃草，而剩下的牛放在 4 号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完．如果一开
始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？【答案】 110
【分析】 设牛的头数为 [2,5]=10 头，设一头牛一天吃一份草，所以 1，2，3，4
号草地的生长速度为
5
(5×6-10×2)÷6= ,
3
原有草量为
5 50
2×10- ×2= ,
3 3
阴影分配牛的头数是 4 的 1.5 倍，所以阴影草地的成长速度和原有草量都是 4 号的 1.5
倍，所以整块草地的生长速度为
5 5 55
×4+ ×1.5= ,
3 3 6
原有草量为
50 50 275
×4+ ×1.5= ,
3 3 3
一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要
275 ( 55)
÷ 10- =110(天).
3 6
方法二：假设 1 至 4 号草地每块面积为 a，生长速度为 v，1 号草地 2 天吃完，草总量为
a+2v；2 号和 3 号草地，接着 6 天吃完，草总量为 2a+16v；6 天吃完的草总量应为 2
天吃完草总量的 3 倍，即：
3(a+2v)＝2a+16v,
3 2
可得 a＝10v，牛群每天吃草 6v；又 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 的牛放
5 5
在 4 号草地吃草，它们同时把草场上的草吃完，说明阴影部分为 4 号草地的 1.5 倍；相当
于整个草地面积为 5.5a，即 55v，每天长草 5.5v，于是，草可吃
55v
=110(天).
6v-5.5v5. 有一牧场，草均匀生长，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完．现有若
干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛
吃草？
【答案】 40 头
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为：
(17×30-19×24)÷(30-24)=9,
原有草量为：
(17-9)×30=240.
现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这
4 头牛，那么原有草量需增加 4×2=8 才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为：
(240+8)÷8+9=40(头).
6. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20 天将
草吃尽；如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃
草量，现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
【答案】 12 天
【分析】 根据题意可得：
15天马和牛吃草量=原有草量+15天新生长草量⋯⋯①
20天马和羊吃草量=原有草量+20天新长的草量⋯⋯②
30天牛和羊(等于马)吃草量=原有草量+30天新生长草量⋯⋯③
由 ①×2-③ 可得：
30天牛吃草量=原有草量,
所以：
牛每天吃草量=原有草量÷30;
由 ③ 可知，
30天羊吃草量=30天新生长草量,
所以：
羊每天吃草量=每天新生长草量;
设马每天吃的草为 3 份，将上述结果带入 ② 得：
原有草量=20×3=60(份),
所以：
牛每天吃草量=60÷30=2(份).
这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：
60÷(2+3)=12(天).7. 早晨 6 点，某火车进口处已有一些名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进
口处准备进站．这样，如果设立 4 个检票口，15 分钟可以放完旅客，如果设立 8 个检票口，
7 分钟可以放完旅客．现要求 5 分钟放完，需设立几个检票口？
【答案】 11
【分析】 设 1 个检票口 1 分钟放进 1 个单位的旅客．
1
（1）1 分钟新来多少个单位的旅客：(4×15-8×7)÷(15-7)= (个)；
2
1 1
（2）检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候：4×15- ×15=52 (个)；
2 2
1 1
（3）5 分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客：52 +( ×5=55(个)；
2 2
（4）设立几个检票口：55÷5＝11(个)．
8. 一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水．如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空，
如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空．现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才
能把水放空？
【答案】 54 分钟．
【分析】 先计算 1 个水龙头每分钟放出水量．2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，
多流入水 4×60=240(立方米)．时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是
240÷(5×150-8×90)=8(立方米)，8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8×8×90，
其中 90 分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水
8×8×90-4×90=5400(立方米)．打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 8×13，除去每
分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要
5400÷(8×13-4)=54(分钟)．所以打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟．
本题实际上是牛吃草问题的变形，水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分
开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水．这在题目中却是隐含着的．
9. 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行 15
千米，3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35 千米，1 小时可以追上；若开汽车，每
小时行 45 千米，多少分钟能追上．
【答案】 45
【分析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在
3-1＝2(小时) 内走了 15×3-35×1＝10(千米)，那么小明的速度为
10÷2＝5(千米/时)，追及距离为
3
(15-5)×3＝30(千米)．汽车去追的话需要：30÷(45-5)＝ (小时)＝45(分钟)．
410. 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈
一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级
台阶到达地面．从站台到地面有几级台阶．
【答案】 60
【分析】 每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；
20÷1＝20(秒)（他走了 20 秒，自动下滑也为 20 秒）；
如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面；
30÷2＝15(秒)（他走了 15 秒，自动下滑也为 15 秒）；
本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：
“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一
级台阶，那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地
面．问：从站台到地面有多少级台阶？”
采用牛吃草问题的方法，电梯 20-15＝5(秒) 内所走的阶数等于小强多走的阶数：
2×15-1×20＝10(阶)，电梯的速度为 10÷5＝2(阶/秒)，扶梯长度为
20×(1+2)＝60(阶)．
11. 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车，5 小时后甲车追
上乙车；如果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车，3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现
在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？
【答案】 15
【分析】 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙
车相当于“新生长的草”．
设甲车现在的速度为“1”，那么乙车 5-3＝2 小时走的路程为 2×5-3×3＝1，所以乙
的速度为 1÷2＝0.5，追及路程为：(2-0.5)×5＝7.5．
如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.5÷(1-0.5)＝15(小时)．
12. 快、中、慢三车同时从 A 地出发沿同一公路开往 B 地，途中有骑车人也在同方向行进，
这三辆车分别用 7 分钟、8 分钟、14 分钟追上骑车人．已知快车每分钟行 800 米，慢车
每分钟行 600 米，中速车的速度是多少？
【答案】 750 米/分．
【分析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草
生长的速度，所以骑车人速度是：(600×14-800×7)÷(14-7)＝400(米/分)，开始相
差的路程为：(600-400)×14＝2800(米)，所以中速车速度为：
2800÷8+400＝750(米/分)．
