文档内容
应用题-经典应用题-牛吃草问题基本
知识-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
牛吃草问题基本知识 C 1.了解牛吃草问题的概念。 少考
2.能够准确理解牛吃草的解题原
理。
3.可以熟练运用牛吃草公式来解决
牛吃草问题。
知识提要
牛吃草问题基本知识
概述
牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的<普遍算术>一书中提出的
一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”．
解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量
公式：
设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数
× 吃的较多的天数-对应牛的头数 × 吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）（2）
原有草量=牛的头数 × 吃的天数-草的生长速度 × 吃的天数（3）吃的天数=原有草量 ÷（牛
的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量 ÷ 吃的天数+草的生长速度。 牛吃草的变型
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问
题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
精选例题
牛吃草问题基本知识
1. 解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝．若 10 人需 45 分钟，20 人需 20
分钟，则 14 人修好大坝需 分钟．
【答案】 30
【分析】 设每个人 1 分钟修好 1 份．
10×45=450(份),
20×20=400(份),
每分钟新冲毁：
(450-400)÷(45-20)=2(份),
原先冲毁：
450-2×45=360(份),
360÷(14-2)=30(分钟).
2. 一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排 4 台污水处理设备，36
天可将池中的污水处理完；若安排 5 台污水处理设备，27 天可将池中的污水处理完；若安
排 7 台污水处理设备， 天可将池中的污水处理完．
【答案】 18
【分析】 牛吃草问题变形．
不妨设一台污水处理设备一天处理一份污水，
每天新流入的污水：
(4×36-5×27)÷(36-27)=1(份).原有的污水量：
4×36-1×36=108(份).
分牛法：1 台污水处理设备处理每天新流入的污水，剩下 6 台设备处理原有污水
108÷(7-1)=18(天).
3. 有三块草地，面积分别是 5、15、25 亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块
草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，则第三块草地可供
头牛吃 60 天．
【答案】 45
【分析】 设每头牛每天的吃草量为 1 份．
第一块草地，5 苗原有草量 +5 亩 30 天长的草 =10×30=300(份)，
则每亩草量 = 原有草量 + 每亩面积 30 天长的草 =300÷5=60(份)：
第二块草地，15 亩原有草量 +15 亩 45 天长的草 =28×45=1260(份)，
即每亩面积原有草量 + 每亩面积 45 天长的草 =1260÷15=84(份)．
所以每 亩面积每天长草量 (84-60)÷(45-30)=1.6(份)．
每亩原有草量 =60-30×1.6=12(份)．
第三块草地面积是 25 亩，60 天新生长的草量为：1.6×60×25=2400(份)，
(2400+12×25)÷60=45(头)，所以第三块草地可供 45 头牛吃 60 天．
4. 《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他 5 名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必
须想办法生存，等待救援．马克的居住舱内留有每名航天员 5 天的食品和 50 千克的非饮用
水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30 天后每平方米可以收获 2.5 千克，
但是需要灌溉 4 千克的水．马克每天需要吃 1.875 千克土豆，才可以维持生存，则食品和
土豆可供马克最多可以支撑 天．
【答案】 130
【分析】 马克拥有的食品可以支撑：
5×6=30(天);
马克有水：
50×6=300(千克);
这些水可以种土豆：
300÷4×2.5=187.5(千克);
这些土豆可以供马克吃：
187.5÷1.875=100(天),
则马克可以支撑：
30+100=130(天).5. 11 头牛 10 天可吃完 5 公顷草地上的草，12 头牛 14 天可吃完 6 公顷草地上的草．假
设每公顷草地上的草量相等，每头新生长的草量的相等，每头牛每天的吃草量也相等，那么 8
公顷草地可供 19 头牛吃 天．
【答案】 8
【分析】 关键是先求出每公顷地原有的草和每天每公顷地新长出的草．
假设 1 头牛 1 天吃草量为“1”．
根据“11 头牛 10 天可吃完 5 公顷草地上的草”可以分別求出：① 5 公顷草地原有的草和
10 天中新长出的草量共 11×10=110；② 每公顷草地原有的草及 10 天中新长出的草量
11×10÷5=22．
根据“12 头牛 14 天可吃完 6 公顷草地上的牧草”可以求出每公顷地中原有草及 14 天新
长出的草量 12×14÷6=28．
再次求出每公顷草地中每天新长出的草量 (28-22)÷(14-10)=1.5
求出 8 公顷草地可供 19 头牛吃的天数 (22-1.5×10)×8÷(19-1.5×8)=8(天)．
6. 一个水池有一根进水管不间断地进水，还有若干根相同的抽水管．若用 24 根抽水管抽水，
6 小时即可把池中的水抽干；若用 21 根抽水管抽水，8 小时可把池中的水抽干．若用 16
根抽水管，需要 小时可把水池中的水抽干．
【答案】 18
【分析】 设 1 根抽水管 1 小时抽 1 份水．每小时新进水量：
(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份),
水池中原有水量：
(21-12)×8=72(份),
如果用 16 根抽水管，抽干水需要：
72÷(16-12)=18(小时).
7. 有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草；15 头牛，如果从第二天开始每天少一
头，可以 5 天吃完．那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天．
【答案】 5
【分析】 设每头牛每天吃的草是 1 份，则前 8 天 10 头牛共吃了
8×10=80(份);
15 头牛每天减少一头 5 天共吃了
15+14+13+12+11=65(份),
所以一天草场长草
(80-65)÷3=5(份),
够 5 头牛吃一天．8. 一个蓄水池有 1 个进水口和 15 个出水口，水从进水口匀速注入，当池中有一半的水时，
如果打开 9 个出水口，9 小时可以把水排空；如果打开 7 个出水口，18 小时可以把水排空．
如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分
水池刚好被排空．
【答案】 7；12
【分析】 设每个出水口每小时的出水量为 1，则进水口每小时的进水量为：
(7×18-9×9)÷(18-9)=5,
半池水的量为：
(9-5)×9=36,
所以一池水的量为 72．如果打开全部 15 个出水口，排空水池所需要的时间为：
72÷(15-5)=7.2(小时),
即 7 小时 12 分钟．
9. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20 天将
草吃尽；如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃
草量，现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
【答案】 12 天
【分析】 根据题意可得：
15天马和牛吃草量=原有草量+15天新生长草量⋯⋯①
20天马和羊吃草量=原有草量+20天新长的草量⋯⋯②
30天牛和羊(等于马)吃草量=原有草量+30天新生长草量⋯⋯③
由 ①×2-③ 可得：
30天牛吃草量=原有草量,
所以：
牛每天吃草量=原有草量÷30;
由 ③ 可知，
30天羊吃草量=30天新生长草量,
所以：
羊每天吃草量=每天新生长草量;
设马每天吃的草为 3 份，将上述结果带入 ② 得：
原有草量=20×3=60(份),
所以：
牛每天吃草量=60÷30=2(份).
这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：
60÷(2+3)=12(天).
10. 早晨 6 点，某火车进口处已有一些名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进
口处准备进站．这样，如果设立 4 个检票口，15 分钟可以放完旅客，如果设立 8 个检票口，
7 分钟可以放完旅客．现要求 5 分钟放完，需设立几个检票口？【答案】 11
【分析】 设 1 个检票口 1 分钟放进 1 个单位的旅客．
1
（1）1 分钟新来多少个单位的旅客：(4×15-8×7)÷(15-7)= (个)；
2
1 1
（2）检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候：4×15- ×15=52 (个)；
2 2
1 1
（3）5 分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客：52 +( ×5=55(个)；
2 2
（4）设立几个检票口：55÷5＝11(个)．
11. 一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水．如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空，
如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空．现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才
能把水放空？
【答案】 54 分钟．
【分析】 先计算 1 个水龙头每分钟放出水量．2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，
多流入水 4×60=240(立方米)．时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是
240÷(5×150-8×90)=8(立方米)，8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8×8×90，
其中 90 分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水
8×8×90-4×90=5400(立方米)．打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 8×13，除去每
分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要
5400÷(8×13-4)=54(分钟)．所以打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟．
本题实际上是牛吃草问题的变形，水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分
开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水．这在题目中却是隐含着的．
12. 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水．第一个桶距水缸有 1 米，
小方用 3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有 2 米，小方用 4 次恰好把桶装满．第三个桶
距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它装满？（假设小方走路的速度不变，水从杯中流
出的速度也不变）
【答案】 6
【分析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了
2×4-1×3＝5(米) 路，所以从杯中流出的速度是 1×5＝0.2(杯/米)，于是 1 桶水原
有水量等于 3-3×0.2＝2.4(杯) 水，所以小方要 2.4÷(1-3×0.2)＝6(次) 才能把第三
个桶装满．
13. 一片均匀生长的草地，如果有 15 头牛吃草，那么 8 天可以把草全部吃完；如果起初这
15 头牛在草地上吃了 2 天后，又来了 2 头牛，则总共 7 天就可以把草吃完．如果起初这
15 头牛吃了 2 天后，又来了 5 头牛，再过多少天可以把草吃完？【答案】 4 天
【分析】 设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则 15 头牛吃 8 天一共吃草：
15×8=120(份),
15 头牛在草地上吃了 2 天后来了 2 头牛总共吃了 7 天，这时的吃草量一共是：
15×2+17×5=115(份),
所以草的生长速度为：
(120-115)÷(8-7)=5(份),
草地上原有草量为：
15×8-5×8=80(份),
起初这 15 头牛吃了 2 天后，原有的草量还剩下：
80-(15-5)×2=60(份),
又来了 5 头牛，共有 20 头牛，派 5 头牛吃每天新长的草，再过 60÷(20-5)=4(天) 可
以把草吃完．
14. 一个露天水池底部有若干同样大小的进水管．这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池
的雨水量相同．如果打开 24 根进水管，5 分钟能注满水池；如果打开 12 根进水管，8 分
钟能注满水池；如果打开 8 根进水管，多少分钟能将水池注满？
【答案】 10 分钟
【分析】 设 1 根进水管 1 分钟进水 1 份，则雨水的注水速度为每分钟
(24×5-12×8)÷(8-5)=8(份),
水池容量为
24×5+8×5=160(份),
如果打开 8 根进水管 160÷(8+8)=10(分钟) 能将水池注满．
15. 牧场上有一片匀速生长的草地，可借 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可
供多少头牛吃 18 周？
【答案】 19 头
【分析】 设 1 头牛 1 周的吃草量为 1 份，草的生长速度为每周生长
(23×9-27×6)÷(9-6)=15(份),
原有草量为：
(27-15)×6=72(份),
可供 72÷18+15=19(头) 牛吃 18 周．
16. 有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完．现有若干头牛吃了
6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草（草均匀
生长）？
【答案】 40【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为
(17×30-19×24)÷(30-24)=9，原有草量为：(17-9)×30=240．现有若干头牛吃了 6
天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这 4 头牛，那么原有草
量需增加 4×2=8 才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为
(240+8)÷8+9=40(头)．
17. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少．如果某块草地上
的草可供 25 头牛 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天．照此计算，可以供多少头牛吃 12 天？
【答案】 7 头
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，牧场上的草每天自然减少
(25×4-16×6)÷(6-4)=2(份),
原来牧场有草
(25+2)×4=108(份),
12 天吃完需要牛的头数是：
108÷12-2=7(头).
18. 有一牧场，草均匀生长，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完．现有
若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头
牛吃草？
【答案】 40 头
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为：
(17×30-19×24)÷(30-24)=9,
原有草量为：
(17-9)×30=240.
现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这
4 头牛，那么原有草量需增加 4×2=8 才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为：
(240+8)÷8+9=40(头).
19. 一片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或供 60 只羊吃
24 天．如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以
吃几天？
【答案】 5 天
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1，根据题意 60 只羊的吃草量等于 15 头牛
的吃草量，88 只羊的吃草量等于 22 头牛的吃草量，所以草的生长速度为：
(15×24-20×12)÷(24-12)=10,原有草量为：
(20-10)×12=120,
12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃
120÷(12+22-10)=5(天).
20. 有一片草场，草每天的生长速度相同．若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也
可将草吃完（4 只羊一天的吃草量相当于一头牛一天的吃草量）．那么，17 头牛和 20 只羊
多少天可将草吃完？
【答案】 10 天
【分析】 “4 只羊一天的吃草量：相当于 1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一头
牛一天的食量 为 1 份，那么，14 头牛 30 天吃了 14×30=420(份)，而 70 只羊 16
天吃了 16×70÷4=280(份)．所以草场在 (30-16) 天内增加了 (420-280) 份，每天增
加 10 份，原来的草量为 420-10×30=120(份)，所以如果安排 17 头牛和 20 只羊，即
每天食草 17+20÷4=22(份)，经过 120÷(22-10)=10(天)，可将草吃完．
21. 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个
排水阀，则 30 分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则 10 分钟把
水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？
【答案】 5 分钟
【分析】 设一个排水阀 1 分钟排水量为 1 份，进水阀 1 分钟进水量为：
(1×30-2×10)÷(30-10)=0.5(份),
水池原有水量为：
(1-0.5)×30=15(份),
关闭进水阀并且同时打开三个排水阀需要 15÷3=5(分钟) 排完水．
22. 如下图所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分．已知草一开始
是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长．但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根
也被吃掉了）．老农先带着一群牛在 1 号草地上吃草，两天后把 1 号草地上的草全部吃完
（这期间其他草地的草正常生长）．之后他让一半牛在 2 号草地上吃草，另一半在 3 号草
3
地上吃草，结果又过了 6 天，这两个草地上的草也全部吃完．最后，老农把 的牛放在阴
5
影草地上吃草，而剩下的牛放在 4 号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完．如果一开
始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？【答案】 110
【分析】 设牛的头数为 [2,5]=10 头，设一头牛一天吃一份草，所以 1，2，3，4
号草地的生长速度为
5
(5×6-10×2)÷6= ,
3
原有草量为
5 50
2×10- ×2= ,
3 3
阴影分配牛的头数是 4 的 1.5 倍，所以阴影草地的成长速度和原有草量都是 4 号的 1.5
倍，所以整块草地的生长速度为
5 5 55
×4+ ×1.5= ,
3 3 6
原有草量为
50 50 275
×4+ ×1.5= ,
3 3 3
一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要
275 ( 55)
÷ 10- =110(天).
3 6
方法二：假设 1 至 4 号草地每块面积为 a，生长速度为 v，1 号草地 2 天吃完，草总量为
a+2v；2 号和 3 号草地，接着 6 天吃完，草总量为 2a+16v；6 天吃完的草总量应为 2
天吃完草总量的 3 倍，即：
3(a+2v)＝2a+16v,
3 2
可得 a＝10v，牛群每天吃草 6v；又 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 的牛放
5 5
在 4 号草地吃草，它们同时把草场上的草吃完，说明阴影部分为 4 号草地的 1.5 倍；相当
于整个草地面积为 5.5a，即 55v，每天长草 5.5v，于是，草可吃
55v
=110(天).
6v-5.5v23. 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天，或者可供
100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 1 头牛的吃草量，那么 8 头牛与 48 只羊一
起吃，可以吃多少天？
【答案】 9
【分析】 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分
析：
16 头牛 15 天 16×15＝240：原有草量+15天生长的草量
100 只羊（25 头牛）6 天 25×6＝150：原有草量+6天生长的草量
从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150-10×6=90；
8 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛的吃草量，其中 10 头牛去吃新生草，那么剩下的 10 头
牛吃原有草，90 只需 9 天，所以 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃 9 天．
24. 第一、二、三号牧场的面积依次为 3 公顷、5 公顷、7 公顷，三个牧场上的草长得一样
密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛 2 天将一号牧场的草吃完，又用 5 天将二号牧
场的草吃完．在这 7 天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有 15 头，那
么第二群牛有多少头？
【答案】 15
【分析】 设 1 公顷草地的原有草量为 x 份，1 公顷草地的生长速度为 y 份，
根据题意列方程组得
{ 3x+3 y×2=15×2
5x+5 y×(2+5)=15×5
解得
{x=8
y=1
因此第二群牛有 (8×7+7×7×1)÷7=15(头)．
25. 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供 20 头
牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天．那么，可供 11 头牛吃几天？
【答案】 8 天
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，每天牧场本身减少的草量为：
(20×5-16×6)÷(6-5)=4(份),
原有草量为：
(20+4)×5=120(份),若有 11 头牛来吃草，每天草一共减少 11+4=15(份)，可供 11 头牛吃 120÷15=8(天)．
26. 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行
15 千米，3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35 千米，1 小时可以追上；若开汽车，
每小时行 45 千米，多少分钟能追上．
【答案】 45
【分析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在
3-1＝2(小时) 内走了 15×3-35×1＝10(千米)，那么小明的速度为
10÷2＝5(千米/时)，追及距离为
3
(15-5)×3＝30(千米)．汽车去追的话需要：30÷(45-5)＝ (小时)＝45(分钟)．
4
27. 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从
上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量
是相同的，如果同时打开壶流河水库的 5 个闸门 30 小时可以使官厅水库水量达到原来的标
准，如果同时打开册田水库的 4 个闸门 40 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果
24 小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门？
【答案】 6
【分析】 设 1 个闸门 1 小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：
(40×4-30×5)÷(40-30)=1，实际注入水量为：(5-1)×30=120；24 小时蓄水需要打
开的闸门数是：120÷24+1=6(个)．
28. 画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，
如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没有人
排队．求第一个观众到达的时间．
【答案】 8:15
【分析】 设每一个入场口每分钟通过的人数为 1 份，每分钟来的人为：
(3×9-5×5)÷(9-5)=0.5(份),
原有的人为：
(3-0.5)×9=22.5(份),
这些人来到画展，所用时间为：
22.5÷0.5=45(分),
所以第一个观众到达的时间为 8 点 15 分．29. 学校有一片均匀生长的草地，可以供 18 头牛吃 40 天，或者供 12 头牛与 36 只羊吃
25 天，如果 1 头牛每天的吃草量相当于 3 只羊每天的吃草量．请问：这片草地让 17 头牛
与多少只羊一起吃，刚好 16 天吃完？
【答案】 48 只
【分析】 根据题中牛、羊吃草量的关系，题目转化为可以供 18 头牛吃 40 天，或
者供 24 头牛吃 25 天．设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草地上每天新长草
(18×40-24×25)÷(40-25)=8(份),
原有草量为
24×25-25×8=400(份),
所以这片草地可供 400÷16+8=33(头) 牛吃 16 天，相当于 17 头牛、
(33-17)×3=48(只) 羊吃 16 天．
30. 一块匀速生长的草场，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天．如果一头牛一
天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？
【答案】 8 天
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，由于 1 头牛 1 天吃草量等于 5 只羊
一天的吃草量，所以 100 只羊吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天．那么每天生长的草量为：
(16×20-20×12)÷(20-12)=10(份),
原有草量为：
(16-10)×20=120(份).
10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于 25 头牛一天吃的草量，25 头牛中，若有
10 头牛去吃每天生长的草，那么剩下的 15 头牛需要 120÷15=8(天) 可以把原有草量吃
完，即这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天．
31. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少．如果某块草地上
的草可供 25 头牛 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天．那么可供 10 头牛吃多少天？
【答案】 9 天
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，牧场上的草每天自然减少
(25×4-16×6)÷(6-4)=2(份),
原来牧场有草
(25+2)×4=108(份),
可供 10 头牛吃的天数是：
108÷(10+2)=9(天).32. 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 250 个工人砌砖
墙，6 天可以把砖用完，如果派 160 个工人，10 天可以把砖用完，现在派 120 名工人砌
了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？
【答案】 4
【分析】 工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生
长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“1”，那么每
天运来的砖为 (160×10-250×6)÷(10-6)=25，原有砖的数量为：(250-25)×6=1350．
如果 120 名工人砌 10 天，将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖，还剩
1350-950=400 的原有的砖未用，变成 120+5=125（人）来砌砖，还需要：
400÷(125-25)=4(天)．
33. 一片草地，可供 5 头牛吃 30 天，也可供 4 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天，又
增加了 2 头牛一起吃，还可以再吃几天？
【答案】 6
【分析】 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为
(4×40-5×30)÷(40-30)=1，原有草量为：(5-1)×30=120．如果 4 头牛吃 30 天，
那么将会吃去 30 天的新生长草量以及 90 原有草量，此时原有草量还剩 120-90=30，而
牛的头数变为 6，现在就相当于：“原有草量 30，每天生长草量 1，那么 6 头牛吃可以
30÷(6-1)=6(天) 吃完．
34. 把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为 5 公顷、15 公顷和 24 公顷．如果第一
块草地可以供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可以供 28 头牛吃 45 天，那么第三块草地可
以供多少头牛吃 80 天？
【答案】 42
【分析】 方法一：列方程组，设 1 公顷草地的原有草量为 x 份，1 公顷草地的生
长速度为 y 份，
$\left\{\begin{gathered}
5x + 5y \times 30 &= 10 \times 30 \hfill \\
15x + 15y \times 45 &= 28 \times 45 \hfill \\
\end{gathered} \right.$，解得 $\left\{\begin{gathered}
x = 12 \hfill \\
y = 1.6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$，所以第三块草地 80 天吃完可供
(12×24+1.6×24×80)÷80=42(头) 牛．
方法二：设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则 1 公顷草的生长速度为
(28×45÷15-10×30÷5)÷(45-30)=1.6，1 公顷草地的原有草量为
28×45÷15-1.6×45=12，要把第三块草地 80 天吃完可供
(12×24+1.6×24×80)÷80=42(头) 牛．35. 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车，5 小时后甲车追
上乙车；如果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车，3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现
在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？
【答案】 15
【分析】 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙
车相当于“新生长的草”．
设甲车现在的速度为“1”，那么乙车 5-3＝2 小时走的路程为 2×5-3×3＝1，所以乙
的速度为 1÷2＝0.5，追及路程为：(2-0.5)×5＝7.5．
如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.5÷(1-0.5)＝15(小时)．
36. 快、中、慢三车同时从 A 地出发沿同一公路开往 B 地，途中有骑车人也在同方向行进，
这三辆车分别用 7 分钟、8 分钟、14 分钟追上骑车人．已知快车每分钟行 800 米，慢车
每分钟行 600 米，中速车的速度是多少？
【答案】 750 米/分．
【分析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草
生长的速度，所以骑车人速度是：(600×14-800×7)÷(14-7)＝400(米/分)，开始相
差的路程为：(600-400)×14＝2800(米)，所以中速车速度为：
2800÷8+400＝750(米/分)．
37. 有三块草地，面积分别是 4 公顷、8 公顷和 10 公顷．草地上的草一样厚而且长得一样
快．第一块草地可供 24 头牛吃 6 周，第二块草地可供 36 头牛吃 12 周．问：第三块草地
可供 50 头牛吃几周？
【答案】 9
【分析】 方法一：1 头牛 1 周吃草量为“1”，第一块草地可供 24 头牛吃 6 周，
说明 1 公顷草地可供 6 头牛吃 6 周；第二块草地可供 36 头牛吃 12 周，说明 1 公顷草
地可供 4.5 头牛吃 12 周．那么 1 公顷草地 1 周新生长的草量为
(4.5×12-6×6)÷(12-6)=3(份)，1 公顷草地原有草量为 (6-3)×6=18．第三块草地
1 周新生长的草量为 3×10=30，第三块草地原有草量为 18×10=180．50 头牛中，若有
30 头牛去吃每天生长的草，那么剩下的 20 头牛需要 180÷20=9(周) 可以把原有草吃完，
即这块草地可供 50 头牛吃 9 周．
方法二：列方程组，设 1 公顷草地的原有草量为 x 份，1 公顷草地的生长速度为 y 份，
$\left\{\begin{gathered}
4x + 4y \times 6 = 24 \times 6 \hfill \\
8x + 8y \times 12 = 36 \times 12 \hfill \\
\end{gathered} \right.$，解得 $\left\{\begin{gathered}
x = 18 \hfill \\
y = 3 \hfill \\\end{gathered} \right.$，所以第三块草地可供 50 头牛吃 10×18÷(50-10×3)=9(周)．
38. 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈
一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级
台阶到达地面．从站台到地面有几级台阶．
【答案】 60
【分析】 每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；
20÷1＝20(秒)（他走了 20 秒，自动下滑也为 20 秒）；
如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面；
30÷2＝15(秒)（他走了 15 秒，自动下滑也为 15 秒）；
本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：
“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一
级台阶，那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地
面．问：从站台到地面有多少级台阶？”
采用牛吃草问题的方法，电梯 20-15＝5(秒) 内所走的阶数等于小强多走的阶数：
2×15-1×20＝10(阶)，电梯的速度为 10÷5＝2(阶/秒)，扶梯长度为
20×(1+2)＝60(阶)．
