【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义第51讲数据分析——列联表与独立性检验

链教材　夯基固本

附：χ²＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，n＝a＋b＋c＋d．

激活思维

1．为调查中学生近视情况，测得某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，下列方法最有说服力的是(　C　)

A．回归分析B．均值与方差

C．独立性检验D．概率

2．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表：

根据表中数据得到χ²≈15.968，因为χ²＞10.828，所以断定秃发与心脏病有关系，则这种判断出错的可能性不大于__0.001__．

【解析】 因为χ²＞10.828＝x_0.001，所以判断出错的可能性不大于0.001．

3．(人A选必三P139复习参考题T3)根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ²＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为(　C　)

A．变量x与y不独立

B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C．变量x与y独立

D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

【解析】 因为χ²＝2.974＜x_0.05＝3.841，所以变量x与y独立．又2.706＜2.974＜3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1．

4．(人A选必三P134练习T4改)已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到χ²的观测值χ²≈4.328，则最大有__95%__(填百分数)的把握说变量X，Y有关系．

【解析】 因为χ²≈4.328＞3.841＝x_0.05，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X，Y有关系，所以最大有95%的把握认为变量X，Y有关系．

5．(人A选必三P135习题T8)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表(单位：人)：

依据α＝0.1的独立性检验，则在犯错误的概率不超过__0.1__的前提下可以认为性别与出生时间有关联．

【解析】 由题意得χ²的观测值为χ²＝89×24×26－8×31255×34×32×57≈3.689＞2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为性别与出生时间有关联．

聚焦知识

1．2×2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x_1，x2}和{y_1，y2}，其2×2列联表为

2．临界值

χ²＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d．忽略χ²的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数x_α，使得P(χ²≥x_α)＝α成立．我们称x_α为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ²大小的标准．

3．独立性检验

基于小概率值α的检验规则是：

当χ²≥x_α时，就推断H₀不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；

当χ²＜x_α时，没有充分证据推断H₀不成立，可以认为X和Y独立．

这种利用χ²的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ²独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．

下表给出了χ²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：

研题型　能力养成

举题说法

列联表与独立性检验

例1(2024·晋城三模节选)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若该班级共有36名学生，具体见列联表信息．

(1) 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关；

【解答】零假设为H₀：期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关．根据列联表中的数据，经计算得到χ²＝36×20×8－4×4224×12×12×24＝9＞7.879＝x_0.005．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H₀不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．

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