【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义第34讲基本立体图形及几何体的表面积与体积

第34讲　基本立体图形及几何体的表面积与体积

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激活思维

1．(人A必二P106习题T8改)如图，若长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去体积较小的一部分，其中EH∥A′D′∥FG，则剩下的几何体是(　C　)

A．棱台B．四棱柱

C．五棱柱D．简单组合体

2．(人A必二P119练习T1改)已知圆锥的表面积为12π cm²，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　B　)

A．1cmB．2cm

C．3cmD．32 cm

【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr²＋πrl＝πr²＋πr·2r＝3πr²＝12π，解得r＝2(cm)．

3．如图，一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A′B′O′．若B′A′＝B′O′＝1，则原三角形ABO的面积为__2__．

【解析】根据题意可得O′A′＝2，如图，在△ABO中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝22，所以△ABO的面积为S＝12×1×22＝2．

4．(人A 必二P119练习T2)当一个球的半径为__3__时，其体积和表面积的数值相等．

【解析】设球的半径为R．由题意得43πR³＝4πR²，解得R＝3．

5．(人A必二P120习题T3改)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA₁＝16．若侧面AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A₁C_1，B1C₁的中点，则当底面ABC水平放置时，液面高为__12__．

【解析】设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA₁B₁B水平放置时，水的体积为V＝34S_△ABC·AA₁＝34a·16＝12a．当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S_△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．

聚焦知识

1．直观图的斜二测画法

(1) 原图形中，x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为__45°(或135°)__，z′轴与x′轴、y′轴所在平面__垂直__．

(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的__一半__．

(3) 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：

①S_直观图＝24S_原图形；②S_原图形＝22S_直观图．

2．多面体的结构特征

说明：多面体的表面积是各个面的面积的和．

3．旋转体的结构特征

4．重要结论：

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