UCL 等 | AISTATS 2026 | 神经算子拆分学物理项

来源：https://arxiv.org/abs/2602.23113

作者：Vignesh Gopakumar, Ander Gray, Daniel Giles, Lorenzo Zanisi, Matt J. Kusner, Timo Betcke, Stanislas Pamela, Marc Peter Deisenroth

机构：UCL Centre for Artificial Intelligence，UK Atomic Energy Authority，École Polytechnique（LIX），Polytechnique Montréal 与 Mila

一、问题背景与动机

偏微分方程（PDE）是流体力学、传热与聚变模拟等问题的数学骨架，传统谱方法或有限元在分辨率与长时间积分上代价极高。神经算子（Neural Operator）作为离散无关的替代模型，能把求解成本压低多个数量级，但主流监督训练往往直接学习从初值到解的映射，不显式嵌入方程结构，分布外（OOD）泛化差；自回归 rollout 还把时间步长固定死在训练用的 dt 上，长时间外推误差累积明显。另一类做法是用神经 ODE 学整体空间算子 d u/dt，时间连续一些，但 rhs 仍是「一锅端」的黑箱，多个物理过程抢同一套参数，容易出现谱偏置与可解释性不足。本文问的是：能否像经典数值格式那样，把方程拆成若干物理算子，只让网络去学「该它学」的非线性项，而把线性微分算子交给固定的差分卷积？

二、核心方法

论文提出 OpsSplit：用算子分裂（operator splitting）把 PDE 右端写成若干线性项与非线性项之和；非线性物理算子各自由一个神经算子（专家）近似，线性算子用有限差分模板卷积（FD）硬编码；整体写成神经 ODE，rhs 是这些算子的加权和，再用标准 ODE 积分器（如显式 Euler 或 Runge-Kutta）做连续时间推进。训练目标是对单步或多步 rollout 做相对 LP 损失（与真值场的相对误差范数），数据来自谱求解器生成的 Navier-Stokes 轨迹。

2.1  与自回归解算子、整体动力学神经 ODE 的对比

自回归方法学的是 u^n 到 u^{n+1} 的解算子，离散时间、结构隐式。整体神经 ODE 学的是 d u/dt = f_theta(u)，但 f 不分解物理过程。OpsSplit 把 f 拆成「FD 线性块 + NO 非线性块」的 MoE 组合，预测格式与 PDE 分项一致，相当于把物理约束写进前向结构而不是仅靠损失惩罚。

2.2  不可压 Navier-Stokes 上的具体拆分

二维不可压方程在周期边界下，动量方程的非线性对流（并耦合压力 Poisson 效应）交给一个对流神经算子 NO_conv，粘性扩散 Laplacian 用固定差分核的 FD 近似；动量方程写成 d v/dt = -NO_conv(v) + nu FD(v)，nu 为运动粘度。场变量与方程系数做线性归一化到 [-1,1]，保持量纲一致。

2.3  实验设置要点

所有模型训练 250 个 epoch，Adam 初始学习率 0.001、每 50 步减半；在单卡 Nvidia H100 上，用约 100 条不同初值的仿真轨迹；每次反传前连续预测 5 步（rollout length=5）以平衡时间建模与显存；评测指标为归一化均方根误差 NRMSE（分母为真值 L2 范数加 1e-6），覆盖四类设置：同分布测试、仅时间外推（训练到 t=0.5，外推到 t=1.0）、OOD（训练未见的初值参数与粘度或可比热相关参数）、以及时间外推与 OOD 同时发生。架构上对比了 FNO、U-Net、ViT、UNO、CNO 等，在同一参数量级下比较三种部署：自回归解算子、Euler 步进的动力学神经 ODE（单网络 rhs）、以及 OpsSplit 物理算子学习。

三、实验结果

不可压情形下，OpsSplit 在多种骨干上同时压低测试误差与 OOD 误差，长时间 rollout 误差增长更慢；论文表格中 FNO 示例：同分布测试 NRMSE 从动力学神经 ODE 的约 0.0325 降到物理算子学习的约 0.0297，OOD 从约 0.1276 降到约 0.1160，OOD 加时间外推从约 0.3038 降到约 0.2185。ViT、CNO、U-Net 等多数设置里，物理算子列在 OOD 或组合最难设置上占优最频繁。可压 Navier-Stokes 上，OpsSplit 往往在 OOD 与 OOD+外推上最佳，但并非每个骨干的同分布测试都赢过「单网络动力学」基线：例如 FNO 上动力学版本在测试与纯时间外推 NRMSE 上更低（约 0.0245 对 0.0602，与约 0.0854 对 0.0959），而物理算子版本在 OOD（约 0.0573 对 0.0763）与 OOD+外推（约 0.0751 对 0.1185）更好，说明拆分带来的结构先验更利于跨参数泛化，但在分布内拟合上仍需与一体化 rhs 网络权衡。论文还展示学习到的对流算子与数值对流在可视化上的对照，并指出连续性方程残差在外推时，动力学神经 ODE 可能比自回归与 OpsSplit 更难保持。

四、值得关注的细节与局限性

算子分裂不是自动的：需要对方程与数值耦合有足够领域知识，不同分裂方式性能可以差很多，且几何守恒量不同时，不同分裂保留的不变量也不同，通用配方不存在。每块物理过程单独挂网络，多物理场时参数量与前向次数上升，可压算例里作者明确写到 OpsSplit 训练更慢，与多次估计各物理算子及 ODE 积分开销有关。当前实验以周期边界为主，复杂边界需借助填充或域迁移方面已有工作扩展。实现上还要为线性项仔细配置卷积模板，引入与传统离散化类似的近似误差。代码与补充材料见 https://github.com/gitvicky/NOs_for_POs 。

五、小结

OpsSplit 把「学解」或「学整体 rhs」改成「按物理项学分项算子 + 固定线性离散」，用神经 ODE 做时间闭合，在 Navier-Stokes 上改善了 OOD 与长时间外推，并保留模块化解释与跨方程微调（如从可压对流权重初始化不可压微调收敛更快）的潜力。代价是对 PDE 结构与分裂设计的依赖，以及积分与多专家前向带来的计算开销；是否采用应看目标是分布内精度还是跨参数稳健外推。