今天分享 《考前复习 10 练》 的高中复习资料，近期读者们非常热情，总在后台催更，今天终于来啦！

资料特点如下：

1．所选题目精选自高考真题、学业水平合格考（会考）、教材、考试院组织的适应性测试等等．

2．在一轮复习 300 题、二轮复习 400 题，以及我近期对高中数学备考生态的观察的基础上设置了 10 组练习题，难度大致是从易到难的．

3．有些在“一轮复习 300 题”或“二轮复习 400 题”中的题不再重复收录，但也有少部分是重复收录的．

4．使用建议：

• 高二学生基本上已经结束新课了，可以开始做“一轮复习300题”了．
• 高三学生请根据自己的实际学习情况，优先做自己薄弱的小节，在时间有限的前提下，每一节都不必全部做完，可以每一节都挑两三道题做；虽然不必做完，但是建议把所有题的题干都扫一遍，有明确思路就可以直接跳过，没有思路或不清楚自己的思路能否进行下去就直接学习参考答案！

5．因为个人精力有限，有些地方难免有误，若有误欢迎指出，会第一时间更新在网盘中！当然，有改进建议也可以提出！

目录

内容介绍

一、概率统计

前三节都是概率统计的内容．现在的模拟卷啊，概率统计解答题总是搞各种全概率公式递推，甚至有些超纲的还搞数学期望的递推、条件期望等内容．（条件期望、鞅等内容甚至是我在研究生阶段学“高等概率论”课程时才接触到的概念，下放给高中生已经过于超标了）

  事件独立、互斥、相互对立

分清楚事件的独立、互斥、互为对立等概念．你需要能用严谨的数学语言叙述：

• 事件 ，相互独立 的定义；
• 事件 ，互斥 （互不相容）的定义；
• 事件 ，互为对立 的定义．

有些和“独立性”有关的问题在一轮复习300题中已有，为减少重复就不再收录于此．

   条件概率与全概率公式

设置这节的目的是因为一涉及条件概率与全概率公式就总是放在概率递推相关的难题位置，难题做得已经够多了，简单基础题还会做吗？

 百分位数的统计学意义

在沪教版的教师用书中提到：百分位数是数据分析中很常用的一个量，是国家课程标准中新增的内容．随着大数据时代的到来，百分位数显得越来越重要．虽然百分位数的定义适用于任何一组数据，也就是说任何一组数据都存在任意的百分位数，但是百分位数主要应用于数据量较大的时候，这是因为百分位是用来“定位”的．对于一组数据，我们对它进行有序排列（从小到大或者从大到小），如果知道某几个百分位数的值，也就知道了这些数在这个排列中处于什么位置，进而对这组数据的分布也就有了一定的概念．

仅仅只给几个离散数据让你去计算百分位数的题目，并不能体现百分位数的统计学含义．

人教A版中，如下定义百分位数：一般地，一组数据的第  百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有  的数据小于或等于这个值，且至少有  的数据大于或等于这个值．

必须强调，“按照定义可知， 分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的  分位数可能会有差异．”（人教A版教师用书、人教B版教材）．为了方便，课本上给出了一个针对离散数据的百分位数的计算方式．百分位数的计算方式当然也不是唯一的，学生可以尝试证明书上所给的计算方式得到的值符合百分位数的定义．

频率分布直方图与百分位数的内容可以与大学概率论衔接．具体而言，联想到连续型随机变量．

• (1) 如果连续型随机变量  的密度函数  刚好是频率分布直方图的矩形上边缘所给出的分段常值函数，那么纵坐标就是密度的值；
• (2) 频率分布直方图中所有矩形的面积之和为 1 也符合概率定义中的规范性，即 （其中  是样本空间），正因为这个性质，我们可以用频率分布直方图中所给的频率信息来估计概率；
• (3) 定义分布函数，则在(1)的假设下，  是分段线性函数，，，且  恰好就是直线  左侧部分矩形的面积之和；
• (4) 计算  分位数就是求满足  的一个实数 ，即求分布函数的逆：．

二、往年高考中的易错题

部分出自去年的资料，现在再次放出来．去年的资料 仍可拿来做．

三、核心内容

 数列：遇到  你就慌了吗

在有些情况下  可以看成是等比数列  在公比  的情形，于是解决等比数列的通法均可用在此种情况；（详见A组题）

在有些情况下要讨论  是奇数或  是偶数的情形，当  为奇数时，；当  为偶数时，； （详见B组题）

我们熟悉的等差等比的数列求和采用错位相减法．如果其中的等比数列公比为 ，例如 ，其中  是公差为  的等差数列，此时可以不用错位相减法，在求和时可以相邻两项进行相加，，得到  的前  项和 ，再根据  得前  项和．（详见C组题）

讨论  的奇偶性并由三角函数的诱导公式可得 ．对于一般的 ，数列  也是同样的讨论方法，比如  可能需要讨论模 3 的余数，即

（详见“二轮复习400题”的“数列：分组求和问题”．

 函数：分析函数性质，勿太依赖求导

这是二轮复习400题中已经强调过的内容，里面也有一小节有大量的不需要求导（或求导不是关键、或求导会使解题步骤更麻烦）的题目．

当你拿到一个函数，首先应该分析它有哪些直接的性质，从而简化问题，而不是一上来就去求导，本来就只有一个函数 ，现在又引入另外的函数 ，函数一多就容易蒙蔽双眼．求导的目的仅仅是判断单调性和求极值．而且，函数的性质还包括奇偶性（对称性）、周期性、零点的存在性等性质，这些性质都不是用导数判断的．换言之，你应该意识到：导数只是研究函数性质的其中一个手段，但不是全部手段．

教育部评析 2024 新课标Ⅱ卷第 6 题：

以二次函数与余弦函数为主干，考查函数的奇偶性和函数的性质等基础知识，重点考查思维的灵活性．试题解法多样，但不同方法得到答案的过程的复杂性大不相同．如果不做深入思考，习惯于用导数来解决函数问题，则计算复杂，所用时间相对比较多；如果先仔细研究函数，利用初等函数的单调性直接得到函数的单调性，解题则会顺利很多；如果能直接观察发现所研究函数为偶函数，则可以利用对称性直接得到答案．

赵轩,翟嘉祺,郭淑媛.强调灵活考查思维聚焦创新人才选拔——2024年高考数学新课标卷评析[J].数学通报,2024

教育部评析 2024 新课标Ⅱ卷第 8 题：

题目给出了最简单、最基本的函数 ，给出条件 ，要求学生推断两个参数平方和的最小值．本题中相乘的两个函数都是单调递增函数，只需分析两个函数各自的零点，只有两个零点重合才能保证两个函数同时为正或者同时为负，从而 ，由此可以推断出两个参数之间的关系 ．正确解答本题不需要求导，不需要讨论函数在各区间的单调性，使得以往的各种解题技巧和套路失去用武之地，降低了机械刷题的收益．本题考查的是学生真实的数学能力，而不是刷题和训练的技巧．

优化试卷结构设计突出思维能力考查——2024年高考数学全国卷试题评析[J].中国考试,2024,(07):79-85

教育部评析 2025 全国一卷第 19 题：

第（3）问的第一个难点在于准确理解题意，题目描述逻辑严密，需要考生具备较好的数学语言理解能力．题目旨在探讨在参数变化的情况下，函数  的最大值可能取到的最小值．同样是求解最值的问题，与第（1）问不同的是，若直接采用求导的方式计算，不仅工作量极大，且难以得出正确结果．这要求考生结合前两问的结论，创造性地解决这一类型的最值问题，从而突出对创新能力的考查．

翟嘉祺.注重从基础到思维的全面培养——基于高考数学内容改革的教学启示[J].人民教育,2025,(Z3):87-89.

 立体几何：难点依然在于条件转化

2026 届模拟卷有很多立体几何解答题都通过堆复杂度来提升难度（比如生硬地将立体几何和圆锥曲线进行结合），但我个人认为这不是高考题的风向．立体几何的难点依然在于条件转化，以及对立体图形结构的认知．本节收录了往年高考中得分率比较低的立体几何解答题．

 解析几何：“非常规”解答题

最近三年的一卷解析几何解答题都是“非常规”的，和你在模拟卷见到的解析几何题完全不是一个风格．“非常规”就意味着你所学的题型套路都不管用，必须回归到最基础的那些通性通法上，例如联立方程韦达定理、求轨迹方程的“相关点”消元法等等．在二轮复习400题资料里面的很多解析几何题都是“非常规”的，这里再补充一些题．

 数列：已知题目条件中的“任意性”

题干给出了“设  是公差为  的等差数列”的条件，意味着对任意正整数  都有 ．由  的任意性，特别地，我们可以取  等正整数，得到许多个方程．通过求解方程可以得到某个待定参数的取值．详见A组题．

类似的问法就是证明一个数列  不是等差数列，那就只需要证明存在两个正整数  使得  即可．详见B组题．

更一般地，如果给出了“对任意 ，关于  的命题  成立”，那么由  的任意性，我们也可以取特殊的  得到一些方程．详见C组题．

不仅仅是数列解答题，其实函数解答题也是一样的，例如，如果给定了已知条件：“，”，那随便取  为  中的数字，比如 ，， 等都是成立的．

注意： ①如果题目问你

“若条件A成立，求的取值范围（求  的值 / 最大值 / 最小值）”

意思是说：“求  的所有可能取值，使得条件 A 成立”．这个问法是让你解一个关于  的不等式（方程）组，因此问的是充分必要条件，这种情况下就需要把解出来的  代回去验证条件 A 是否成立，或者确保每一步推导都是充要的．

②如果题目问你

“若条件A成立，证明：命题B成立”

这时，题目已知条件是给你用的，而不是让你验证的．根据某个题目条件，可以算出某个参数的值；如果参数出现多个可能的取值，你只能根据题目条件判断某个取值是否会产生矛盾，从而排除这个取值，而不是将这个取值代回已知条件去验证已知条件成立．也就是说，你只需验证由 A 可以推出 B，但不需要证明由 B 可以推出 A．（这一点在有些时候不仅学生不清楚，甚至可能连老师或是教研员都不清楚．）

 层层递进、逐步深入的三问解答题

在全国卷的高考中，题号靠后的压轴题往往不是并列设问，而是层层递进的．大多数模拟题的压轴题并不能做到层层递进的设问方式，学生在做题时容易陷入到套解题模板作答的思维惯性中，无法从整体的角度思考问题．在思考后面的小问时，要下意识地留意前面的小问是否会给解决最后的小问提供思路．当然，有些解答题可能确实是独立设问的，且前一小问不会给你带来任何思路上的提示（但我个人认为这种题出现在压轴第 19 题的可能性不大），这种情况如果出现了，不要去死磕．

关于层层递进的问题，教育部教育考试院的官方文献提到：

近年的高考数学全国卷中，通过设置一些极具挑战的探究类问题，综合考查学生的数学思维能力、问题解决策略、数学探究能力和创新能力．这类问题通常采用多个设问，为学生搭建思考的阶梯，通过层次分明的设问方式引导学生逐步进行探索，鼓励学生提出猜想、发现特点、归纳规律，充分考查思维的过程，让优秀的学生能够展现水平、脱颖而出，助力拔尖创新人才的选拔培养．

赵轩,翟嘉祺,郭淑媛.高考数学在思维能力考查方面的探索与举措[J].数学通报,2025

（2024年）新课标Ⅰ卷第19题设计新颖，在传统知识的基础上进行创新，重点考查学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力．三个小问层层递进，逐步深入，精确区分不同层次的学生，使得每个学生都能有所收获．试题展现了数学探究的过程，实现对分析、推理、判断等关键能力的考查，引导学生用规范的数学语言、新定义、新符号表达推理与论证过程，对培养学生的兴趣，激发学生的探究精神，引导学生开展科学研究有很好的引领作用．

赵轩,翟嘉祺,郭淑媛.强调灵活考查思维聚焦创新人才选拔——2024年高考数学新课标卷评析[J].数学通报,2024

教育部针对第 19 题作了如下评析：

2025年全国一卷第19题，以学生很熟悉的三角函数图像与性质、函数导数与极值、常用逻辑用语等知识点作为素材进行设计，但呈现方式非常新颖，综合考查数形结合的思想与数学构造的方法，第(2)问设置了一个存在性的问题，需要将区间分段进行分类讨论或者利用三角函数图像进行整体考虑；第(3)问结合常用逻辑用语设计了一个极值问题，需要利用前两问的结果进行构造．

2024年新课标Ⅱ卷第19题，将双曲线和数列这两个高中数学中的主干知识有机融合，构造了双曲线上的一族点列，以此为背景巧妙设计了一个探究问题，第(1)问要求学生读懂题设中的递推过程，求出  的坐标，同时给出了使用点差法的提示；第(2)问要证明点列中每个点的横纵坐标之差构成等比数列，又给第(3)问搭建了台阶，提示可以先利用证明出的结论求出每个点的横纵坐标，进而解决本题．

2024年Ⅰ卷第19题是一道新情境试题，试题以等差数列为基本素材，创设了“可分数列”这一新概念，即项数为  的数列去掉两项后恰好可分为是  个4项的等差数列．第(1)问探讨最简单的情形，即6项的等差数列的可分的全部情形，通过对最简情形的分析，学生可形成对可分数列的初步理解．第(2)问探讨在  时的一种特殊可分情形，通过作答这一问学生可以建立起项数较少（14项）的数列的可分性和一般情况下数列可分性的关联，为第(3)问继续探究一般的可分性做好铺垫．第(3)问继续深挖一般情形下的可分性，要求学生分析一般情形中全部可分情况所占的比例，通过前两问学生已经对新概念有了清晰的认识，这一问考查学生深入思考，灵活运用知识解决问题的能力．

在二轮复习400题资料里面已经收录了大量的层层递进的三问解答题，接下来可能会重复收录这里面的题，以强调其重要性．

有些仅含两问的题中，做第(2)问时也要用到第(1)问的结论，这种题实在太多，不再一一列举．

下载链接

我用夸克网盘分享了「2026考前复习 10 练」，点击链接即可保存。

https://pan.quark.cn/s/febe0f0c2f17

若链接失效，可以回复“20260430”获取．（20260430 是今天推文的日期）

【补充链接】 长期可用

“举一反三真题练”的下载链接：

https://pan.quark.cn/s/9e994f991030

“一轮复习 300 题”的下载链接：

https://pan.quark.cn/s/1836abccf9bc

“二轮复习 400 题”的下载链接：

https://pan.quark.cn/s/f312ff71b0d0

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