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5.2 导数的运算(一).高中数学.选择性必修.第二册(人教版)
同构模型下.高中数学.同步教材学习法
高中数学.选择性必修.第二册（人教版)
5.2 导数的运算（一）
（知识点）
01
性质
由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。
基本初等函数的导数
根据导数的定义，求函数y=ƒ（χ）的导数，就是求出当当∆χ⟶0时，∆y/∆χ无限趋近的那个定值。
常数函数y=ƒ（χ）=c的导数
因为
∆y/∆χ=[ƒ（χ+∆χ）-ƒ（χ）]/∆χ=（c-c）/∆χ=0,
所以
若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0可以理解为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。
函数y=ƒ（χ）=χ的导数
因为
∆y/∆χ=[ƒ（χ+∆χ）-ƒ（χ）]/∆χ=[（χ+∆χ）-χ]/∆χ=∆χ/∆χ=1。
所以
若y=χ表示路程关于时间的函数，则y'=1可以表示解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动。
函数y=ƒ（χ）=χ2的导数
因为
∆y/∆χ=[ƒ（χ+∆χ）-ƒ（χ）]/∆χ=[（χ+∆χ）2-χ2]/∆χ
=2∆χ2+∆χ/∆χ
=2χ+∆χ。
所以
y'=2χ表示函数y=χ2的图象上点（χ,y）处切线的斜率为2χ，说明随着χ的变化，斜线斜率也在变化。
另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y'=2χ表明：当χ<0，随着χ的增加，｜y'｜越来越小，y=χ2减少得越来越慢；当χ>0，随着χ的增加，｜y'｜越来越大，y=χ2减加得越来越快。
若y=χ2表示路程关于时间的函数，则y'=2χ可以解释为某物体做变速运动，它在时刻χ的瞬时速度为2χ。
函数y=ƒ（χ）=χ3的导数
因为
∆y/∆χ=[ƒ（χ+∆χ）-ƒ（χ）]/∆χ=[（χ+∆χ）3-χ3]/∆χ
=[χ3+3χ.∆χ+3χ.∆χ2+∆χ3-χ3]/∆χ
=3χ2+3χ.∆χ+∆χ3χ.∆χ
所以
y'=3χ2表示函数y=χ3的图象上的点（χ，y）处切线的斜率为3χ2，这说明随着χ的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数。
函数y=ƒ（χ）=1/χ的导数
因为
∆y/∆χ=[ƒ（χ+∆χ）-ƒ（χ）]/∆χ=[（1/(χ+∆χ）-1/χ]/∆χ
=[χ-（χ+∆χ）]/χ（χ+∆χ）
=1/（χ2+χ∆χ）
所以
函数y=ƒ（χ）=√χ的导数
因为
∆y/∆χ=[ƒ（χ+∆χ）-ƒ（χ）]/∆χ=（√χ+∆χ-√χ）/∆χ
=（√χ+∆χ-√χ）（√χ+∆χ+√χ）/∆χ（√χ+∆χ+√χ）
=1/（√χ+∆χ+√χ）
所以
02
关系
我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。
由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。
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