2026高三零模试题的第11题的解析（圆的包络线）

🌟 原题回顾

11. 数学中将具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系。现有直线系 ，下列说法正确的是（ ）A.  中所有直线均经过一个定点B. 存在定点  不在  中的任一条直线上C.  中的直线所能围成的正三角形面积都相等D. 对于任意整数 ，存在正  边形，其所有边均在  中的直线上

别怕，这道题看着有一堆符号（、、），其实它就是一个“披着狼皮的羊”。

作为零基础的学生，我们只要把它的“画皮”扒掉，用大白话理解，这道题非常简单。

第一步：翻译题目核心（扒皮）

题目给了一个直线系方程：。这里的  是个变量，它可以是从  到  的任何角度。随着  变化，这条直线就在不停地转。

它到底是个什么东西？我们观察一个特殊点：****（也就是横坐标是1，纵坐标是0的点）。我们用点到直线的距离公式（或者直接把点代入），算一下点  到这条直线的距离：距离 = 。

大白话结论：无论  怎么变，这条直线始终距离点  正好是 1 的距离！这说明什么？这说明直线系  其实就是：以点  为圆心，半径为 1 的圆的所有切线（即贴着圆的边沿擦过去的直线）。（圆方程：）

知道了它是“圆的切线集合”，我们就能轻松秒杀四个选项了。

第二步：逐个击破选项

A.  中所有直线均经过一个定点

B. 存在定点  不在  中的任一条直线上

C.  中的直线所能围成的正三角形面积都相等

D. 对于任意整数 ，存在正  边形，其所有边均在  中的直线上

最终答案

这道题是多选题，正确答案是 B、C、D。

📝 变式练习题（配套答案）

变式练习 1

题目：已知直线系 ，下列说法正确的是（ ）A.  中所有直线均经过一个定点B. 存在定点  不在  中的任一条直线上C.  中的直线所能围成的正三角形面积都相等D. 对于任意整数 ，存在正  边形，其所有边均在  中的直线上

【答案与大白话解析】答案：B、C、D解析：找特殊点。观察方程，让 ，，即点 。计算点  到直线的距离：。所以，这个直线系  是以  为圆心，半径为 3 的圆的切线集合（圆方程：）。

变式练习 2

题目：已知直线系 。若直线  是  中的任意一条直线，求坐标原点  到直线  距离的最大值和最小值。

【答案与大白话解析】答案：最大值为 ，最小值为 。解析：第一步，识别图形。点  到直线  的距离恒为 。所以直线系  是以  为圆心，半径  的圆的切线集合。第二步，画图理解。原点  到圆心  的距离为 。第三步，求极值。

零基础提分小贴士：以后遇到这种带  和  的直线系方程（比如 ，或者 ），不用害怕。它大概率就是一个圆（圆心在 ，半径为 ）的切线系。记住这个绝招，下次直接秒杀！