高中数学666题第422题:一道向量高考题的三种解法

题目： 已知 ，，记 ，当  时，求  的取值范围。

来源：2026年天津14题

what： #向量的数量积  #平面向量基本定理

how： 代数运算 或 数形结合

solve：

法一：通过向量模的运算展开，转化成已知条件求最值。

，

所以 

即 

即 

令 ，，，代入上式得

，其中 

配方得 

所以 ，

故 ，

即 

从而 ，

当且仅当，  时， 取最大值3；， 时，取最小值1。

Point：

 ① 将条件转化成已知关于  的等式，求  的范围.

② 因为式子关于  的形式比较整齐，所以采取换元令 ，同时令 ，于是，式子变成关于  的二次式。

③ 二元二次函数求最值，采取配方法，最多配两次，即可求出其最值。本题在将关于  的二元二次式子进行配方之后，将  定为目标函数，求  的表达，根据  得 ，从而得到 ，进一步转化为 。要注意取最值的等号是否成立。

法二：向量坐标化

由 ，设 ，

由  且 ，

设  且 

则 ，

因为 ，

所以 

故 ，

所以 

即 。

Point：

① 建立坐标系，选取  和  的合适的坐标，使满足 ，根据  建立等式求解。

② 坐标运算比利用向量模运算（模的运算）展开要更加简洁，想得多就会算得少。

③  这四个条件含有好多变量，通过引入恰当的坐标，变量减少了，关系清晰明了，问题顺利解决了。

法三：利用向量运算的几何直观数形结合解决

设 ，，，

由 ，，，

画出图形：

点C的轨迹为以D为圆心，1为半径的圆，此圆与直线  与  相切

当点C在  上时， 

当点C在  上时， 

因此 

Point：

① 利用几何直观是向量内涵深刻理解的表现：既能用向量运算，又能用坐标运算，还能用几何直观，要对学生有更高的要求，带领学生进入向量的美妙世界，能增强学生的学习兴趣，使学生体会到数学的丰富多彩。反之，如果总是担心方法多给学生造成认知负担，仅讲最直接明了的坐标法，就会使学生失去一次体验向量的美妙的机会。

② 三种方法各自体现解题者的不同能力：法一是对于向量基底运算的准确把握；法二坐标法本质上是正交单位向量基底分解，体现出做题者化归转化的能力，是三种解法中最漂亮的；法三数形结合，从几何直观上来进行解答，涉及向量的加法、减法、平面向量基本定理、向量等和线等知识，是最有意思也是教育价值最大的解法。

③ 向量的世界丰富多彩，如果每一道题都能一题多解，解题将会是一件很有意思的事情。本题是2026年天津高考题，高考题目是值得挖掘的题目素材，权威、经典、有料。