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第27讲 高考题中的填空题解法
双空题—
新高考在填空题中引入一题双空题，其考查初衷一是增加试题考查的覆盖面，从一定程
度上防猜题押题；二是两个空的总分值仍是 5分，考生答对其中一空得部分分数的概率明显
提高，这有利于提高一般考生的得分，也有利于区分选拔高水平考生．
一、双空填空题常见的两种类型
类型(一) 并列型
并列型双空填空题，即各空所填的内容是题干的并列结论，相互之间没有必然的逻辑关
系．
1．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________.
解析：先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x ，y )，则由y′＝，
0 0
得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得 y ＝1，代入y＝ln x，得x ＝e，所以切线斜
0 0
率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为
y＝x，y＝－x.
答案：y＝x y＝－x
2．(2019·北京高考)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；
若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，
∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－.
∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
即ex≥在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．
又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．
答案：－1 (－∞，0]
3．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC
＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________．
解析：因为AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，所以四面体ABCD的体
积为V＝×1××2×3＝1.易知四面体ABCD为“墙角四面体”，球O的表面积为4π2＝14π.
答案：1 14π
[题型技法]此种类型双空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之
间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间
互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．所采取的解题策略是缺“问”解答或跳
“问”解答，考场上切勿心浮气躁、全盘放弃．
类型(二) 相关型
相关型双空填空题，即两空所填内容之间存在逻辑关系，一空填错会影响另一空的对错．
1．(2022·北京高考)若函数 f(x)＝Asin x－cos x 的一个零点为，则 A＝________；f＝
________.
解析：依题意得f＝A×－×＝0，解得A＝1，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin，所以f＝2sin
＝－.
答案：1 －
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有
两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到y轴的距离为________．
解析：抛物线y2＝2px(p>0)过焦点的弦中最短的是通径，其长为2p，因为过焦点F且被抛
物线截得的弦长为 2的直线有且仅有两条，所以 2p<2，不妨取2p＝1，则满足条件的抛物线
的方程为y2＝x，此抛物线的准线方程为 x＝－，所以由抛物线的定义可知，该弦的中点到准
线的距离d＝＝1，所以该弦的中点到y轴的距离为1－＝.
答案：y2＝x
3．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________.
解析：因为α＋β＝，所以β＝－α，
所以3sin α－sin β＝3sin α－sin＝3sin α－cos α＝sin(α－φ)＝，
其中sin φ＝，cos φ＝.
所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，
所以sin α＝sin＝cos φ＝，k∈Z.
因为sin β＝3sin α－＝－，
所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－＝.
答案：
[题型技法]
此种类型双空题的特点是：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空往往是整个题的切入点也是难点，只要第一空会做并且做对，第二空
便可顺势解答．
二、解答填空题常用的四种方法
方法(一) 直接法
直接从题目的条件出发，利用概念、定理、公式、法则等数学基础知识得出答案，然后
按照要求将最后结果填入空位处．填空题的直接法更像做解答题，但由于填空题不需要过程，
因而可以跳过一些步骤，大跨度前进．为了节省时间还可手写与心算相结合，力求快速，避
免“小题大做”．
[例1] (1)(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
(2)(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝
________，cos∠MAC＝________.
[技法展示] (1)当x＞时，f(x)＝2x－1－2ln x，f′(x)＝2－＝.令f′(x)＞0，得x＞1，令
f′(x)＜0，得＜x＜1，所以f(x)在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x) ＝f(1)＝1.
min
当0＜x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，f′(x)＝－2－＝＜0，所以f(x)在上单调递减，所以f(x) ＝
min
f＝－2ln＝2ln 2＞1.所以f(x)的最小值为1.
(2)在△ABM 中，由余弦定理，得 AM2＝AB2＋BM2－2BM·ABcos B，即(2)2＝22＋BM2－
2BM·2cos 60°，则BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4(负值已舍去)．
又点M是BC的中点，所以BC＝2BM＝8.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－
2AB·BCcos B＝22＋82－2×2×8×cos 60°＝52，所以AC＝2(负值已舍去)．
在△AMC中，MC＝BM＝4，
由余弦定理，得cos∠MAC＝
＝＝＝.
[答案] (1)1 (2)2
方法(二) 特例法
当填空题暗示答案是一个“定值”或具“定性”特征时，我们可以取特殊数值、特殊图
形、特殊位置或特殊结构来确定这个“定值”“定性”，以节省推理论证的过程．我们把这
些解填空题的方法统称为特例法．对于解答题，特例常常只是提供论证的方向，而对填空题
来说，往往不需要过程，就成为答案了．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤
为有效．
[例 2] 设(1＋2x)5＝a ＋a x＋a x2＋a x3＋a x4＋a x5，则 a ＝________；a ＋a ＋a ＝
0 1 2 3 4 5 4 1 3 5
________.
[技法展示] 这是“计算型双空填空题”，由二项式定理系数公式得a ＝C24＝80.
4第二个空可以分别计算 a ＝10，a ＝80，a ＝32，相加得a ＋a ＋a ＝122.也可以令x＝
1 3 5 1 3 5
±1(特例法)，
有
两式相减，得a ＋a ＋a ＝(35＋1)＝122.
1 3 5
可见，两个空之间没有必然的逻辑联系，是并列关系．
[答案] 80 122
方法(三) 图解法
由于填空题不用写出论证过程，因而画出辅助图示进行直观分析便可填上最后答案．数
学上的数轴、韦恩图、函数的图象、方程的曲线、三角函数、复数、向量等，本身就具有数
形结合的特征．使用图解法特别要用好坐标系，要善于进行几何结构的分析，还要学会构造
图形．
[例3] (1)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
①若k＝0，则f(x)有两个零点；
②∃k＜0，使得f(x)有一个零点；
③∃k＜0，使得f(x)有三个零点；
④∃k＞0，使得f(x)有三个零点．
以上正确结论的序号是__________．
(2)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C ：x2＋y2＝1，C ：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C ，C
1 2 1 2
都相切，则k＝______；b＝________.
[技法展示] (1)零点个数问题，转化成两个函数图象的交点 个 数 来 分
析．令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转化成两个函数 y ＝|lg x|，y ＝kx＋2 的
1 2
图象的交点个数问题．对于①，当k＝0时，y ＝|lg x|，y ＝2， 如 图 1 所
1 2
示，两图象有两个交点，①正确；对于②，如图2所示，存在k ＜0，使得
y ＝|lg x|与y ＝kx＋2相切，故②正确；对于③，如图2所示， 若k＜0，y
1 2 1
＝|lg x|与y ＝kx＋2的图象最多有两个交点，故③错误；对于④， 当 k＞0 时，
2
过点(0,2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)图象的切线，此时共有 两个交点，
当直线斜率稍微小于相切的斜率时，就会有3个交点，如 图 3 所示，故④正确．
(2)法一：直接法
由直线l与两圆都相切知，两圆心(0,0)，(4,0)到直线l：y＝kx＋b的距离都等于1，由点到
直线的距离公式，有＝＝1(k＞0)，即k>0，则k>0.解得k＝，b＝－.
两个几何参数k，b表面上是并列的，实际上存在内在联系，一个算错影响另一个的计算．
法二：图解法
依题意可作图如图，由直线 l与两圆相切知，直线经过两圆 连心线的
中点A(2,0)，|OA|＝2.又单位圆的半径|OB|＝1，
故在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，
从而在Rt△AOC中，|OC|＝＝，
tan∠DAx＝tan 30°＝.解得k＝，b＝－.
[答案] (1)①②④ (2) －
方法(四) 猜想法
猜想是根据部分理由而得出结论的合情推理，一个完整的数学解题过程常常要经历“先
猜后证”的两个阶段，猜想也是一种能力．解填空题除了要重点掌握好直接法、特例法、图
解法外，也可辅以猜想法．新高考出现了开放性填空题，意味着考生在掌握基础知识的前提
下，能先猜后证．
[例 4] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f(x)：
__________________.①f(x x )＝f(x )f(x )；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．
1 2 1 2
(2)写出一个满足a a ＝2a 的等比数列的通项公式a ＝________.
1 2 3 n
[技法展示] (1)由②知f(x)在(0，＋∞)上单调递增；由③知f(x)是偶函数，又f(x)满足①，
则f(x)＝x2或f(x)＝x4等都可以．
(2)设等比数列的公比为q，由a a ＝2a 可得aq＝2a q2，即a ＝2q，所以a ＝a qn－1＝2qn.
1 2 3 1 1 n 1
取q＝3，则a ＝2×3n符合题意．
n
[答案] (1)f(x)＝x2(x∈R)(答案不唯一)
(2)2×3n(答案不唯一)
[题型技法]
答案不唯一的填空题可以大致分为两种：
(1)举例子；(2)求题目中参数满足的关系式，并取其中一个特殊参数作为答案．
对于第(1)种，要求学生掌握基础知识，联想题目中的条件可以对应自己学过的哪些内容；
对于第(2)种，需要把题目条件转化得到关系式，取满足条件的其中一个结果即可．针对训练
一、填空题
1．已知数列 的通项 ，则其前 项和为 _________．
【答案】
【分析】判断出数列 为等差数列，利用等差数列的求和公式可求得 .
【详解】对任意的 ， ，
所以，数列 为等差数列，且其首项为 ，
因此， .
故答案为： .
2． 的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是___________．
【答案】8
【分析】根据二项式展开式的通项公式可得第5项为 ，结合题意即可求解.
【详解】由题意知， 展开式的通项公式为
，
所以第5项为 ，
由第5项为常数项，得 ，解得 .
故答案为：8.
3．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个
体被抽到的概率为_________．【答案】
【分析】由简单随机抽样的定义，每个个体被抽到的概率是一样的，结合容量，即可求得概率.
【详解】由题意得，每个个体被抽到的概率为 ，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的
样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 .
故答案为：
二、双空题
4．已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上， ，且 ，那么A，B两点的球面距
离为___________，球心到平面 的距离为___________.
【答案】
【分析】由题意画图，三角形ABC截面圆心在AB中点，求出 ，然后求出 两点的球面距离；球
心到平面ABC的距离就是 .
【详解】解：如图所示：
因为 ，所以 是截面的直径，又 ，所以 是等边三角形
所以 ，故 两点的球面距离为
于是 ,所以球心到平面 的距离：故答案为： ；
5．已知 ，则 的值为________， 的值为_____．
【答案】
【分析】（1）用正切的二倍角公式求；
（2）由（1）的结果有 的值，再用两角和的正切公式计算
【详解】（1）
故答案为：
（2）
故答案为：
6．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数 的系数，可组成不同的一次函数
共有____________个，不同的二次函数共有____________个．（用数字作答）
【答案】 ； .
【分析】根据一次函数和二次函数的定义，结合乘法计数原理进行求解即可.
【详解】因为只有当 且 时，函数 才是一次函数，
所以可组成不同的一次函数共有 ；
因为只有当 时，函数 才是二次函数，
所以可组成不同的二次函数共有 ，
故答案为： ；
7．椭圆 的离心率是____________，准线方程是____________．【答案】 ##0.8
【分析】根据椭圆的方程求出 ，直接求解即可.
【详解】由 可知， ，
所以 ，即 ，
故离心率 ，准线方程为 .
故答案为： ； .
8．已知n次式项式 ．如果在一种算法中，计算 的值需
要 次乘法，计算 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 的值共需要
______次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： ．利用该算法，计
算 的值共需要6次运算．计算 的值共需要_______次运算．
【答案】
【分析】分别计算乘法运算次数和加法运算次数得到常规算法计算 的值共需要 次运算，用
秦九韶算法需要 次，代入数据计算得到答案.
【详解】在利用常规算法计算多项式 的值时，算 项需要 次乘法，
则在计算时共需要乘法 次，
需要加法： 次，则计算 的值共需要 次运算，
故计算 的值共需要65次运算；在使用秦九韶算法计算多项式 的值时，
共需要乘法： 次，需要加法： 次，则计算 的值共需要 次运算.故计算 的值至多需要20
次运算.
故答案为： ；
9．已知函数 ．
（1）若 ，则 的定义域是___________；
（2）若 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】（1）利用具体函数定义域求法即可得到 的定义域；
（2）分类讨论 与 两种情况，结合 的取值范围与单调性即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，即 ，故 ，
所以 的定义域为 ；
（2）当 ，即 时，要使 在区间 上是减函数，需要 在 上是减函数，同时
恒成立，即 ，
因为 ，即 ，所以 在 上是减函数显然成立，此时 ，则 ，得
，故 ；
当 ，即 时，要使 在区间 上是减函数，需要 在 上是增函数，同时
恒成立，所以 ，即 ，此时 显然成立；
综上： 或 ，即 .
故答案为： ； .
10．将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼
茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出 ，其中 _____________，令
，则 _____________．
【答案】 ##
【分析】从莱布尼茨三角形可看出，下一行的两个分数之和等于肩上的上一行的那个分数，进而得
，再根据 求和得 ，再求解极限即可.【详解】解：从莱布尼茨三角形可看出，下一行的两个分数之和等于肩上的上一行的那个分数，
所以， ，即 ，
所以
……
，
所以，
故答案为： ； .
11．设函数 的图象与直线 ， 及 轴所围成图形的面积称为函数 在 上的面积，已知
函数 在 上的面积为 ．
（1） 在 上的面积为______；
（2） 在 上的面积为______．
【答案】
【分析】（1）函数 与函数 类比，可以得出函数 在 上的面积，得出函数在 上的面积是函数 在 上的面积的两倍，作图结合函数图象的对称性，从而
得出函数 在 上的面积．
（2）由于 ，而 的区间长度也等于其一个半周期，作图分析，结合割
补法与（1）中结论，即可求得．
【详解】解：（1）函数 在 上的面积为 ，
对于函数 而言， ，
函数 在 上的面积为： ，由于函数 的周期为 ，作出函数在 上的图象，
如下图：
由于函数 在 上的面积为： ，则由函数 的对称性可得在 上的面积为
；
（2）由于 ，而 的区间长度也等于其一个半周期，如下图：
由正弦函数图象的对称性可知，图中1,2,3三个区域的面积相等，则函数 与轴及直线 ， 所围成的图形可以割补成一个长方形与图中区域3，则它的面积等于长方形面积与
图中区域3的面积的和，故为
故答案为： ；
12．在函数 中，若a，b，c成等比数列且 ，则 有最_________值（填
“大”或“小”），且该值为___________．
【答案】 大 -3
【分析】根据题意，解出c的值，表示出a，b的关系，代入根据二次函数的性质即可得到结果.
【详解】由已知得， ，a，b，c成等比数列， ，a<0，
所以， 有最大值，
最大值为
故答案为：大；-3.
