ARTICLE · 1026316
小升初高频考点:立体几何浸没问题,3 种情况一次讲清
小升初高频考点:立体几何浸没问题,3 种情况一次讲清大家好！我是陪你一起学数学思维的木木老师。 上一篇，我们一起学习了长方体、正方体表面积计算，攻克了切片、染色、打孔类题型的难点。感兴趣的读者朋友可以再回看巩固一下。切片、染色、打孔——小升初立体图形三大"送命题"，孩子卡在哪一步？家长先来自测！立体几何分为表面积、体积两大板块。表面积研究面，体积研究空间大小。 今天我们继续往下推进，一起来学习立体几何里最容易丢分的压轴考点——长方体正方体体积及浸没问题。一、长方体、正方体知识点巩固1、长方体有6个面，对面完全相等，一般是长方形，特殊情况有2个相对的面是正方形；有12条棱，分成长、宽、高各4条，4条长相等，4条宽相等，4条高相等；有8个顶点。2、正方体是特殊的长方体，长宽高都相等。6个面是完全相同的正方形；所有棱长度一样，统一叫棱长。3、长方体体积公式 V长方体=长×宽×高（V=a×b×h）也可以写成：V=S底×h（底面积 × 高）4、正方体体积公式V正方体=棱长×棱长×棱长（V=a^3）也可以写成：V=S底×a（底面积 × 棱长） 二、浸没问题原理及公式浸没问题的底层原理就是排水法和体积守恒。 物体浸入水中，会占据水的空间，水无处可去，水面就会升高；把物体拿出来，空间归还，水面下降。所以，物体浸入水中部分物体体积=排开水的体积根据物体入水状态，可分为三类模型： 1. 完全浸没模型：物体整体全部位于水面以下，没有部分露出水面。 适用条件：物体高度 ≤ 原有水深2. 不完全浸没模型：物体竖直放入水中，一部分泡在水里，一部分露出水面。适用条件：物体高度 ＞ 原有水深3. 满水溢出模型：容器一开始装满水，物体放进去挤占空间，多余的水向外溢出。 溢出的水的体积=物体浸没的体积由此可知，水面变化体积=容器底面积×水面变化高度。 排开水体积=物体浸入水中体积 分模型公式：
1. 完全浸没型 物体总体积=容器底面积×水面上升高度
2. 不完全浸没型
水的总体积不变
新水深=水的体积÷（容器底面积−物体底面积）
物体浸入体积=容器底面积×上升高度
3. 取出物体降水型
物体体积=容器底面积×水面下降高度
4. 满水溢出型
溢出水体积=浸没物体体积 三、解题步骤1、判模型 对比物体高度与原水深，区分：全浸/半浸。 2、找守恒 锁定不变量：水的总体积 3、算变量 求底面积、新高、高度差 4、套模型 选对模型公式，分类计算四、例题精讲例1：一个长方体水槽，长40cm，宽25cm，水深12cm。将一块石块完全浸没在水中，水面上升至14cm，求石块体积。解析： 由题意可知，属于完全浸没模型。 高度差=14−12=2cm 容器底面积=40×25=1000cm² 石块体积=1000×2=2000cm³例2：一个长方体容器长50cm、宽20cm，水深6cm。将一根底面积200cm²、高30cm的长方体铁柱竖直放入水中，求此时水面高度与铁柱入水体积。解析：由于铁柱高30cm＞原水深6cm，所以，属于不完全浸没模型。水体积：50×20×6=6000cm³ 有效蓄水底面积：50×20−200=800cm² 新水面高度：6000÷800=7.5cm 水面上升：7.5−6=1.5cm 入水体积：50×20×1.5=1500cm³答案：水面高7.5cm，铁柱入水体积1500cm³例3：一个正方体鱼缸棱长30cm，水深20cm，里面完全浸没一块假山。取出假山后，水面下降4cm，求假山体积。解析： 此题属于取出物体降水模型。 底面积=30×30=900cm² 假山体积=900×4=3600cm³答案：假山的体积为3600立方厘米。例4：一个棱长25cm的正方体容器装满水，投入一块体积800cm³的石块完全浸没，求溢出水的体积。解析：满水容器内部没有多余空间，物体浸入多少体积，就挤出多少体积的水。 溢出体积=物体浸没体积答案：溢出水的体积为800立方厘米。 好了，今天就分享这么多，下期再见。
1. 完全浸没型
2. 不完全浸没型
3. 取出物体降水型
4. 满水溢出型
………………………………………………………………………
如果这篇文章对你有帮助，麻烦帮忙点赞、转发，推荐、关注。
您的每一次肯定，既是对我写作的鼓励，也能让更多人看到这份学习干货。
感谢每一位愿意支持的朋友。