ARTICLE · 1055958
高考数学148,我们应该怎么学习数学?
点击上方蓝字·关注我们
北大物理系王同学，采访很多次了，毕竟是我小弟，我就不多言谢！上次的采访↓
高考数学148，我们应该怎么理解数学？
柴老师：我一直对一个问题很感兴趣，很多后来数学特别好的孩子，小时候未必一开始就知道自己擅长数学。你第一次觉得自己在数学上可能比别人学得快，大概是什么时候？有没有一件事，让你第一次产生这种判断？
王同学：有，而且那件事我一直记得很清楚。刚上小学的时候，我成绩其实很普通，在班里属于没什么存在感的那一批。变化发生在四年级，那一年班上来了一位很年轻的数学老师，有一次作业里有一道题，我发现用课堂上教的方法怎么都做不出来，就自己在那里想，最后换了一种思路把它解出来了。第二天老师讲作业时，在全班面前表扬了我，说那道题全班只有我一个人做对。对一个四年级的小孩来说，那种冲击其实很大。以前我默认那些所谓学霸就是比我聪明，但那一刻我第一次觉得，原来我也有可能做到别人做不到的事，甚至也能和他们比一比。后来我上数学课明显认真了很多，再后来有一次月考，我考出了全年级唯一的满分。那次满分又把这种感觉往前推了一步，我开始相信，只要我认真投入，我是有能力把数学学得很好的。
柴老师：部分家长喜欢追问一个孩子有没有天赋，但一个孩子什么时候开始相信自己能学好，可能比我们想象中更早影响后面的轨迹。你现在回头看，当时改变你的，是那道题本身，还是老师给你的那次确认？
王同学：我觉得后者可能更重要。因为在那位老师之前，我遇到的数学老师更习惯否定我。哪怕我偶尔考得不错，也可能被认为是运气好，甚至怀疑是不是抄了别人。一个小孩长期处在这种评价里，很容易形成一种感觉：我大概水平不行……所以后来那位老师在全班面前肯定我，对我来说不仅是表扬，更像第一次有人告诉我，你是有能力的。现在回头看，我特别感谢她。她可能只说了几句话，但那几句话改变了我对自己的判断。一个老师对学生能力的评价，有时候会在孩子心里留很多年。
柴老师：这其实也解释了为什么有些孩子不是学不会，而是太早接受了别人对自己的定义。我们往后聊一点，很多学生到了高中会发现，130分、140分、接近满分，看起来只差几分，背后的难度却完全不同。你自己走过这个阶段，你觉得130到140，和140再往上，本质区别在哪里？
王同学：我觉得是两个阶段，130到140，更多还是补短板。这个分数段通常说明基础已经不错，大部分题也会做，但体系里还有比较明确的漏洞。可能某类题型不够熟，可能某个模块的方法没形成系统，也可能是计算、审题或者步骤表达经常反复丢分。这个阶段只要把问题找准，提升路径通常比较清楚。整理错题，统计自己反复丢分的地方，针对薄弱题型集中训练，效果会比较明显。但140再往上就不太一样了。这个时候明显的知识漏洞已经很少，剩下的几分藏得特别细。一个条件有没有读准，一步推导够不够严谨，一个符号有没有处理好，碰到陌生题时能不能快速抓住关键，考试后半程大脑还能不能保持清醒，这些都会影响最后那几分。
柴老师：也就是说，130到140主要还是在解决不会的问题，140再往上，开始解决会了以后能不能稳定兑现的问题。
王同学：对，我基本就是这个感觉。到了后面，成绩不太取决于你有没有见过某种题，而更取决于你能不能把自己的真实水平完整地发挥出来，所以那个阶段训练的重点也会变化。你不能只问我还有什么知识没学会，还要问，我在压力、时间和复杂信息下，能不能继续保持准确。
柴老师：这也是我平时很想提醒学生的一点。高分段最麻烦的地方，是你已经没有多少明显漏洞可以补了，很多问题都藏在习惯和思维细节里。那如果让你把高中数学里的几个环节排个顺序，听课、做题、复盘、总结、看教材、问老师，你会怎么排？
王同学：我的排序大概是复盘和总结第一，做题第二，问老师和同学讨论第三，听课第四，看教材第五。对我来说，复盘和总结其实是一件事。很多人做数学特别在意今天刷了多少题，但很少想这些题做完以后到底留下了什么，我做完题之后一般会比较快核对答案。如果错了，我会先追问到底是哪一步出了问题。是知识点不熟，是审题偏了，是计算失误，还是一开始方向就走错了。然后还要继续问，为什么会错，下次怎么提前发现。如果题做对了，我也不一定马上翻篇，我会看看有没有更简洁的方法，自己的步骤有没有绕远，有没有哪一步其实靠运气蒙对了。考试里如果再碰到类似问题，这个方法会不会太慢。
柴老师：我注意到你一直在说为什么，很多学生复盘时只停留在我错哪儿了，你会继续追到我为什么会在这里错。这个差别其实很大。
王同学：是这样的，因为如果只知道错在哪儿，下一次很可能还是会犯。如果知道自己为什么会在这里做出错误判断，才有机会改掉。比如有些人总在分类讨论时漏情况，他以为这是粗心，但你复盘几次以后可能会发现，他的问题是每次都没有先想清楚分类标准。那你要解决的就不再是下次认真一点，而是建立一个固定检查机制。复盘完以后我还会总结，比如什么条件出现时可以优先想到某个方法，哪些知识点经常一起出现，某类题的第一步通常从哪里切入。能把一道题压缩成下次还能调用的方法，我才觉得这道题做值了。
柴老师：所以你把做题排在第二，也不是因为做题没那么重要，而是做题如果没有后面的加工，很容易变成纯消耗。
王同学：嗯啊！题肯定要做，而且在复盘质量有保证的前提下，接触的题越丰富越好。训练量能帮你熟悉不同变化，也能检验自己总结出来的方法到底靠不靠谱。但刷题本身不能成为目的。很多人做完一晚上题，最大的收获是我今天又做了三十道，这种满足感其实没什么意义。真正有用的是，做完这三十道以后，你有没有少犯一种错误，有没有多识别出一种结构。
柴老师：那问老师和同学讨论为什么能排到这么前面？
王同学：因为高中阶段老师通常对知识体系、常见误区和命题方式都很熟。如果一个问题自己钻很久还没解决，直接问老师效率很高，我也挺重视和同学讨论。有时候老师会从比较高的位置告诉你这题该怎么看，但同学和你的认知阶段更接近，他是怎么卡住的，后来怎么想到突破口，这个过程你反而更容易吸收。有时候听到一个完全不同的思路，本身就很有价值。
柴老师：那你把听课和教材放得比较后，这个说法可能会让一些学生很兴奋，觉得终于找到理由不听课了。
王同学：这个肯定不能这么理解。我把它们放后面，是基于我当时自己的情况。到了高三，我数学成绩基本稳定在班级第一，老师课堂上讲的大部分内容我已经掌握了，所以有些课我会根据自己的状态做题、复盘，太累的时候甚至会补觉。老师知道我的情况，也基本默许。但这个方法有个很强的前提，你得非常清楚自己哪里会、哪里不会。如果基础没打牢，只因为觉得老师讲得慢就选择性听课，那风险很大。我当时更像是在统一教学之外，给自己做了一套个人培养计划。
柴老师：我很赞成你把前提讲清楚。很多方法离开使用条件就会变成误导。接着聊你刚才提到的总结。高中生很喜欢总结题型，有人一见题就找模板。你自己会主动总结题型吗？
王同学：会的，而且我觉得题型总结很有必要。只是对我来说，题型更像一个索引。它的作用是帮助我快速识别问题，而不是替我完成思考。高中数学虽然变化很多，但常见设问、条件组合和解题入口确实有规律。看到某个条件，我会联想到它可能在暗示什么；碰到某种问法，脑子里会马上调出几条可能的路径。这样能省很多试错时间。
柴老师：但如果只做到这一层，遇到变式就容易失效。
王同学：对的！只会看到这种题就用这种方法，上限比较低。题目一换条件、一换表达，原来的套路可能就不成立。所以我总结题型的时候，会继续追问，这个方法为什么在这里成立，到底是哪个条件触发了它。如果删掉这个条件还能不能做，如果把条件换掉，原来的方法还适不适用，还有没有其他路径。这些问题想清楚以后，留下来的才不是一道具体题，而是一条思维链。题目有什么特征，条件和结论之间缺什么，可以通过什么转化把它们连接起来，最容易在哪一步出错，条件变化之后方法要怎么调整。
柴老师：我理解你的意思，题型解决的是识别速度，结构决定的是迁移能力。
王同学：题型能让我做得更快，结构和方法决定我碰到陌生题还能不能继续往下想。学到后面会慢慢发现，题目外表千变万化，底层反复调用的东西其实没有那么多。要积累的是那些可以跨题目使用的关系、转化和思维方式。
柴老师：这就引到我特别想问你的一个问题。很多数学好的学生做难题时，会有一种很奇怪的感觉：题目明明没见过，但看着看着会觉得，里面这个东西我好像认识。你有这种感觉吗？
王同学：非常非常非常有，而且我觉得这就是做难题时很重要的一种能力。现在很多题背景很新，条件组合也可以很陌生，但你继续往里拆，经常会发现它底层调用的东西并不陌生。可能是某个条件在暗示转化，可能是两个知识板块之间的联系，也可能是以前见过的一种证明结构。表面是不等式，突破口可能在函数单调性；表面是解析几何，真正好用的可能是向量或者参数化；题目看起来要求一个值，实际上第一步得先找到某个不变量。
柴老师：那这种所谓题感，你觉得怎么来的？很多学生会把它理解成聪明人天然就有。
王同学：我觉得很大一部分来自长期复盘和抽象。做完一道题，如果只记答案和步骤，那你以后只能识别和它长得很像的题。但如果继续想，这道题最关键的条件是什么，真正的突破发生在哪一步，这个方法为什么有效，它还能迁移到哪些问题里，最后留下来的就会变成一种结构。结构积累多了以后，脑子里慢慢会形成一张方法论。看到对称性，会想到换元、配对、构造；看到恒定关系，会考虑不变量；发现局部条件不好直接用，会考虑整体化、特殊化或者反向推导。所谓题感，我觉得很大程度就是这种结构识别能力。
柴老师：你这句话我很喜欢，直觉背后其实有大量已经被压缩掉的思考过程。
王同学：最开始很多感觉是模糊的，你可能只是觉得这里应该变一下，这道题和以前某道题有点像，但说不清像在哪儿。经过反复尝试、验证、总结以后，这种模糊的感觉才会慢慢变成明确判断。所以我一直觉得，直觉是大量思考被压缩之后留下来的结果。
柴老师：你之前和我讲过一个高考压轴题的故事，我觉得特别适合放在这里，因为它几乎就是你刚才这套方法最直接的例子。
王同学：对，这个故事你确实已经听过很多遍了（上次的采访）。我高考的时候有一道数学压轴题，我第一眼看到就发现，它和自己错题本里一道题属于同一种结构。当时我几乎马上就知道该往哪个方向做，大概五分钟就把那道题解决了。这给我另外一道压轴题留出了很多时间，对最后成绩帮助挺大。这个经历对我影响很深。错题本真正有价值的地方，不是你高考正好撞上一道原题，而是题目换了外壳以后，你还能认出里面熟悉的框架。
柴老师：这也是我特别想强调的一点。很多学生整理错题本，最后整理成一本收藏册，抄得很漂亮，却没建立识别能力。那我们继续往高分段走。你觉得能稳定在145分以上的学生，最常见的丢分原因是什么？计算、审题、时间分配、书写，还是思维漏洞？
王同学：如果一个学生能长期稳定在145分以上，通常说明知识体系已经比较完整了，大部分常规题和中高难度题都有能力解决。这个阶段明显的思维漏洞和时间分配问题会少一些。以我自己为例，说得不太谦虚一点，我整个高三数学基本都在140分以上，而且考试里很少碰到完全不会做的题。我的失分主要集中在计算和审题。
柴老师：很多学生会觉得，高分生计算应该几乎不出错。
王同学：其实不一定……水平越高，解题速度通常越快，越容易在熟悉步骤上凭惯性往下走。难题核心思路可能完全没问题，最后一个符号、一个算式出了错，分就没了。我高三一直在想办法降低这种失误，但这里其实有个平衡。每一步都反复检查，时间会被拖慢；太追求速度，错误率又会升高。这个平衡我一直到高考也没有找到一个让我完全满意的办法，只能说高考当天发挥得比较顺，没有在计算上出明显问题。
柴老师：审题呢？我自己的感受是，越到高分段，审题错一次的代价越大，因为后面整条推导可能都建立在错误前提上。
王同学：对，我也是这么看。计算错了，最后检查还有机会发现；审题如果一开始就理解错，后面越认真，反而可能错得越完整。所以高三后期我专门复盘了很多审题错误。我会看自己到底容易漏什么，是范围、定义域、符号、存在和任意，还是题目到底让我证明什么。复盘多了以后，你会发现所谓粗心其实经常有模式。只要能把模式找出来，就能针对性降低发生频率。到高考前，这类问题我基本压到了很低。
柴老师：那我们聊一个更大的问题。很多学生数学学不好时，第一反应就是我没有天赋。你自己高中数学很好，后来又到了北大学物理，对人与人之间的能力差异应该感受得更明显。你觉得高中阶段，努力大概可以弥补多少天赋差距？
王同学：如果讨论普通高中数学，我觉得努力可以弥补绝大多数普通意义上的天赋差距。因为天赋这个词经常被用得太宽。一个人理解得快，可能是以前基础扎实；一个人看到题很快有思路，可能是长期复盘以后，脑子里积累了更多可以调用的方法；一个人计算又快又准，也可能只是训练量很大。很多我们以为是天生的能力，里面其实混着大量后天积累。
柴老师：而且高中数学本身还有明确边界，不是在做纯数学研究。
王同学：高中数学有明确的知识范围和考试边界，高考主要考理解、熟练度、迁移能力和稳定性。只要方法合理、时间投入足够，很多能力都能训练出来。所以对绝大多数高中生来说，我觉得远没到需要用天赋给自己下结论的时候。
柴老师：但如果把层级再往上拉，你应该也不会认为努力可以无限弥补差距。
王同学：肯定不会！真到了很高水平以后，个体差异会越来越明显。这个我大学以后感受特别强。比如做科研，有的人读完一篇文献以后很快就能想到一个新idea，而且马上知道怎么把它转成实验。实验出了问题，也有人能很快缩小范围，判断问题大概出在哪儿。这种能力上的差异确实存在，我不觉得单纯增加努力时间就能完全抹平。所以我更愿意把努力和天赋看成一种乘法关系。天赋影响你学习某件事的速度和潜在高度，努力决定你最终能兑现多少。
柴老师：我觉得这里最值得高中生听的一句话，是不要太早拿天赋给自己封顶。
王同学：很多人一次考试没考好，别人一道难题想出来了自己没想出来，就开始觉得他有天赋，我没有。但你看到的只是那一刻的结果，你不知道他之前积累了多少。在高中这个层面，学习方法、投入程度和长期积累造成的差距，已经足够大了。与其天天问自己的天赋够不够，不如先问自己有没有把现有能力发挥出来。如果连这一点都还没做到，讨论上限其实太早。
柴老师：我再问一个很现实的问题。有一类学生看起来特别努力，题刷得很多，时间也花了，数学成绩就是上不去。你觉得他们最常见的问题在哪里？
王同学：我觉得最大的问题就是做完题以后没有真复盘，这类学生很容易陷入闷头刷题。错了一道，对答案，把正确过程抄下来，就觉得订正完成；做对了一道，马上翻篇。最后题做了很多，笔记本也写得很满，但脑子里留下来的还是一堆孤立的题。题目稍微换个条件、换种说法，就又不知道从哪里下手。
柴老师：还有一种我见得特别多，看答案的时候什么都会，自己一做什么都不会。
王同学：对，这也很典型，很多人把看懂答案当成自己会做。看解析时，每一步都觉得合理，甚至会产生我刚才其实也想到了的感觉。但把答案关上，隔几天再做一次，还是卡在原来的地方。因为看懂是在顺着别人的思路走，会做是在没有任何提示的情况下，自己识别条件、选择方向、把推导完成。这两个能力差得很远。
柴老师：所以对这一类学生来说，最该调整的可能不是刷题量，而是整套学习流程。
王同学：做题之前，最好知道这一组题想练什么；做题过程中尽量独立，不要一卡就看答案；做完以后不只判断对错，还要分析自己为什么会这么想；复盘以后把具体题压缩成可以继续调用的方法；过一段时间再脱离答案重新完成一次，看看是不是真的掌握。数学成绩最后看的是这些题在你脑子里发生了什么变化。同一种错误有没有越来越少，相似结构能不能越来越快识别，学过的方法能不能迁移到陌生问题里。题量只是原材料，复盘、总结和迁移才是加工过程。
柴老师：你后来到北大学物理，再回头看高中数学，会不会发现以前很多题其实理解得挺浅？
王同学：这个感觉很强，其实我高中时就自学过一点微积分，也看过舒幼生的力学和赵凯华的电磁学。当时肯定学得很浅，但已经能明显感觉到，接触更高层级的知识以后，再看高中内容，视角会变。
柴老师：你之前给我打过一个比方，我印象很深。你说只学平级知识像在迷宫里走，往上学一点以后像站到高处看迷宫。
王同学：对，我现在还是这么觉得。如果只在同一层级里学，就像人在迷宫里面，一条路一条路试，碰到岔路再判断。但当你接触一些更高层级的知识以后，有时候像突然到了迷宫上空，很多原来要靠技巧拼出来的东西，一下能看到整体关系。比如导数。高中时我们都知道导数表示瞬时变化率，几何上对应切线斜率，但做题时注意力还是集中在求导、单调性、极值这些操作。后来学微积分以后，再看导数和微分，会更关注它怎么描述变化，为什么复杂函数在足够小的范围里可以用线性关系近似。这个视角回来以后，再看高中里的切线、单调性和极值，就会发现它们原本就是同一个变化过程的不同侧面。
柴老师：所以你会建议高中生提前接触大学知识吗？
王同学：我会加一个很强的前提，学有余力（比如一直都135-140+）。如果课内知识都没搞明白，跑去啃大学教材，我觉得意义不大，甚至会打乱节奏。但如果高中内容已经很扎实，适当往上看一层，我觉得是有帮助的。它未必直接让你多做对一道题，但会改变你理解知识的方式。很多原来靠记忆的结论，慢慢会变成一个更完整体系里的自然结果。
柴老师：这个区分很重要。那竞赛也是类似的问题。现在很多家长让孩子提前学竞赛，理由都是培养数学思维。你觉得什么样的孩子适合学，什么样的孩子其实没必要？
王同学：我会先看孩子对数学问题本身有没有好奇心。他更关心我做对了吗、能拿几分，还是会继续问为什么可以这么做，换一个条件会怎么样。没有人催的时候，他会不会愿意为了一个问题再多想一会儿。如果有这种倾向，我觉得可以给他更多深入探索的机会。
柴老师：第二个应该还是基础和余力。
王同学：如果课内已经掌握得很扎实，日常学习也还有明显余力，那一直重复熟悉内容确实没太大意义，可以往外拓展。竞赛是一条路，但不是唯一一条。可以做开放问题，可以研究不同解法，也可以适当接触一点高等数学或者大学物理。反过来，如果一个孩子主要目标只是把校内成绩提高，我个人不会优先推荐竞赛，数学思维不需要和竞赛绑定。一道普通课内题，让学生解释为什么这样做，比较三种解法，研究条件变化以后结论还成不成立，本身就在训练思维。
柴老师：所以核心还是兴趣、基础和余力，三样缺一块，都容易把拓展变成额外负担。
王同学：我差不多就是这个判断。有兴趣、有基础、有余力，可以尝试。只是因为别人家孩子在学，就觉得自己家也必须学，我觉得没必要。
柴老师：最后再收几个更实用的问题。如果只让你选三个，你最希望高中生尽早养成的数学学习习惯是什么？
王同学：第一，做完题及时复盘总结；第二，认真整理有价值的错题；第三，尽早建立限时训练的意识。这三个前面其实都聊得差不多了，我就不再展开了。再展开下去，读者可能还没累，我这个回答问题的人先写不动了。
柴老师：那我最后追问一个。我发现很多学生现在特别依赖套路，遇到一道题第一反应就是这是什么题型，有没有模板。如果一个学生长期这样学，他最后会付出什么代价？
王同学：首先我不反对套路，我自己高中也很重视题型归纳，看到某些条件时，也会优先想到熟悉方法。关键要看这个方法是分析之后的选择，还是拿来代替分析。如果是前者，它能提高效率；如果是后者，时间长了会限制自己的思路。因为你每次碰到题，不再从条件本身出发，而是在脑子里搜索有没有现成模板。
柴老师：最麻烦的是，一旦模板没有匹配上，很多学生会直接得出一个结论，这题我不会。
王同学：对的！但没有现成模板，不代表你缺少解决它需要的知识。很多陌生题考的恰恰就是重新组织已有知识的能力。看到熟悉结构，快速调用方法当然没问题，但至少要知道它为什么适用。条件一旦变了，也要有能力停下来重新判断，而不是一路硬套。套路本身不可怕，脑子里只剩套路才可怕。模板在的时候你跑得很快，模板一消失，你连第一步该问什么都不知道。
柴老师：我觉得这句话可以作为今天这场访谈很好的结尾，数学学到最后，真正成熟的状态，大概就是两件事能同时做到：遇到熟悉结构，识别得快；遇到陌生结构，也不慌，愿意重新从条件出发。
王同学：对，我觉得这才是比较理想的状态。见过的东西能迅速调用，没见过的东西也敢自己往下拆。前者给你效率，后者决定你的上限。
柴老师：OK，谢谢小弟！
