从数到式，从方程到函数：初中数学到底在学什么？

很多家长都有这样的感受：

孩子小学数学学得不错，计算能力也不差，可一进入初中，数学却慢慢变得吃力。

初一开始学代数式，孩子觉得字母很抽象；学一元一次方程，勉强还能按照步骤求解；等到初二接触函数，很多孩子就彻底搞不清楚了。

明明每一部分的知识点都学过，为什么放在一起，就理解不了了？

其实，一个很重要的原因是：

孩子可能学会了一个个知识点，却没有真正理解这些知识之间是怎样联系起来的。

如果把小学到初中的代数知识放在一起观察，我们会发现一条非常清晰的主线：

数 → 式 → 方程 → 函数。

这四个字背后，隐藏着数学思维逐步发展的过程。

一、从数到式：数学开始研究一般规律

小学阶段，孩子最熟悉的是具体的数。

比如，一个正方形的边长是3厘米，它的周长是多少？

我们很自然地列出：

这个问题不难。

但如果我把题目稍微改变一下：

一个正方形的边长是  厘米，它的周长是多少？

这时候，我们就需要写出：

看起来，只不过是把3换成了字母 。

但从数学思维的角度来看，这是非常重要的一步。

原来的 ，解决的是一个具体问题。

而现在的 ，表达的是所有正方形周长与边长之间共同遵循的数量关系。

边长可以是3，可以是5，可以是10，也可以是其他符合条件的数。

我们不再满足于计算某一个具体结果，而是开始用字母表达一类问题的共同规律。

这就是从数到式的重要意义。

也正因如此，初中数学为什么要引入字母，就有了答案。

字母并不是为了把数学变得复杂，而是为了让数学能够表达更加一般的数量关系。

很多初一学生觉得代数式难，恰恰是因为他们还习惯于小学的思维方式：

看到一道题，就想算出一个具体的数字。

可是到了代数式，数学有时候并不要求你算出一个确定的数，而是要求你把数量关系表达清楚。

从“求一个结果”，走向“表达一种规律”，这是初中代数学习的第一道门槛。

二、从式到方程：从表达关系到寻找未知

有了代数式，我们就可以描述数量关系。

但新的问题随之出现：

如果某些条件已经确定，我们能不能反过来找到那个未知的量？

继续研究刚才的正方形。

我们已经知道：

边长为  厘米时，周长就是  厘米。

现在告诉你，这个正方形的周长是20厘米。

那么边长是多少？

根据周长关系，可以列出：

这个式子和刚才的  有什么区别？

前面的 ，表达的是周长与边长之间的一般数量关系。

而 ，是在这个关系的基础上，又增加了一个相等条件。

我们要寻找的是：

究竟哪个  的值，能够让这个等式成立？

解得：

这就是方程的意义。

方程不是凭空出现的一套新算法，而是我们已经能够表达数量关系之后，进一步利用相等关系寻找未知量的一种数学工具。

从这个角度来看，列方程比解方程更值得重视。

因为解方程，很多时候有比较固定的运算规则。

但列方程，需要学生真正理解：

• 哪些量是已知的，哪些量是未知的？
• 它们之间有什么数量关系？
• 哪两个数量应该相等？

这也解释了为什么有些孩子一元一次方程计算很熟练，但一遇到应用题就不会了。

他可能掌握了方程的运算，却没有真正理解方程是怎样从数量关系中建立起来的。

代数式帮助我们表达关系，方程帮助我们在特定条件下确定未知量。

这两者之间，本来就是紧密联系的。

三、从方程到函数：数学开始研究变化

接下来，就是整个初中代数学习中非常关键的一次升级。

还是刚才的正方形。

如果边长是3厘米，周长就是12厘米。

如果边长是5厘米，周长就是20厘米。

如果边长是8厘米，周长就是32厘米。

我们可以继续问：

边长不断变化，周长会怎样变化？

这时候，我们就不再只是研究某一个正方形的周长，也不再只是寻找某一个未知的边长。

而是把边长和周长看成两个相互联系的变量。

设边长为  厘米，周长为  厘米。

于是：

一个熟悉的代数式，现在变成了函数关系式。

为什么？

因为当边长  在允许的范围内取一个确定的值时，周长  都有唯一确定的值与之对应。

而且，随着  的变化， 也按照确定的规律变化。

数学关注的问题，开始发生改变。

以前我们问：

边长是5厘米，周长是多少？

后来我们问：

周长是20厘米，边长是多少？

现在我们进一步问：

当边长变化时，周长如何随之变化？

你会发现，这三个问题并不是毫无关系的三个知识点。

它们研究的其实是同一个数量关系，只是研究角度不同。

从计算一个确定的结果，到确定某个未知量，再到研究两个变量之间的对应与变化。

数学研究的内容变得越来越丰富。

这正是函数思想的重要价值。

当然，方程和函数并不是简单的前后替代关系，它们是研究数量关系的两种不同方式。

方程更关注满足特定条件的未知数的值。

函数则更关注变量之间的对应关系，以及一个量如何随着另一个量的变化而变化。

从方程到函数，最值得学生理解的，不是又多了一个新知识点，而是研究问题的视角发生了变化。

四、为什么说函数能把前面的知识串起来？

初中生学习函数时，经常会觉得它是一个独立的新章节。

一次函数有一次函数的公式，反比例函数有反比例函数的图像，二次函数又有二次函数的性质。

于是，孩子开始大量记忆。

一次函数怎么求解析式？

二次函数顶点坐标怎么找？

抛物线怎么平移？

函数图像与坐标轴的交点怎么算？

这些方法当然需要掌握。

但如果始终把它们当成孤立的题型，函数就很容易变成一堆公式和技巧。

事实上，函数恰恰是把前面大量代数知识联系起来的重要工具。

还是用刚才的例子。

对于函数：

如果我们要求周长等于20厘米时的边长，就是令：

从函数的角度看，这实际上是在寻找函数值等于20时，自变量所对应的值。

如果画出函数图像，还可以把这个问题转化为：

直线  与水平直线  的交点，其横坐标是多少？

同一个问题，我们既可以通过方程求解，也可以通过函数图像理解。

这就是初中数学中非常重要的数形结合思想。

到了初三，学生学习二次函数，这种联系会更加明显。

例如：

如果要求抛物线与  轴的交点，就需要令：

一元二次方程的解，就对应着函数图像与  轴交点的横坐标。

这并不是两个知识点之间偶然出现的联系。

因为方程和函数本来就可以从不同角度研究同一个代数关系。

一个偏重代数求解，一个能够通过图像呈现对应关系与变化特征。

学生一旦理解了这种联系，很多看起来完全不同的题目，就不再是孤立存在的了。

五、真正的难点，是学生的思维没有跟上知识的升级

回过头来看：

为什么有些孩子小学计算非常熟练，到了初中数学却越来越吃力？

并不一定是因为后面的知识有多难。

更深层的原因，可能是他的数学思维还停留在前一个阶段。

学代数式时，还在执着于算出一个具体结果。

学方程时，只记住了移项、合并同类项，却不理解为什么要建立等量关系。

学函数时，又把它当成新的公式体系，只会代数值、描点画图，却不理解变量之间的联系。

于是，每学一个新章节，都像是在重新学习一套完全陌生的知识。

时间一长，知识越积越多，却始终无法形成整体。

我在教学中一直觉得，初中数学不能只盯着某一道题会不会做。

更重要的是，让学生理解自己现在正在研究什么问题。

比如，同样是一个字母 ：

在代数式  中，它帮助我们表达一般的数量关系。

在方程  中，它是需要根据条件确定的未知数。

在函数  中，它是可以在一定范围内取值并引起另一个量相应变化的自变量。

字母本身没有变。

但它所承担的数学角色，已经随着研究问题的不同而发生了改变。

这也正是很多学生容易忽略的地方。

他们看见的是相似的符号，未必看见了符号背后不同的数学意义。

六、学好初中代数，需要建立一条完整的知识主线

如果我们重新梳理小学到初中的代数学习，就会发现：

数，让我们能够描述数量、进行计算。

式，让我们能够用符号表达一般的数量关系。

方程，让我们能够利用相等关系确定未知量。

函数，让我们能够进一步研究变量之间的对应关系和变化规律。

它们不是四套互不相关的知识，而是理解数量关系时不断丰富的数学工具。

当然，数学的发展并不是严格按照这四个阶段单向推进的。代数式、方程和函数之间存在大量交叉，它们也会在后续学习中被反复使用。

但对于初中学生来说，这条主线能够帮助我们看清：自己为什么要学习后面的知识，以及它和前面学过的内容有什么联系。

所以，我一直不太赞成把初中数学简单理解成知识点的不断叠加。

真正有效的数学学习，既需要掌握具体的方法，更需要理解方法之间的联系。

学代数式，要明白字母为什么能够代替具体的数。

学方程，要明白等量关系是怎样建立起来的。

学函数，要明白为什么我们不再只满足于求一个结果，而要研究整个变化过程。

当学生真正理解了从数到式、从方程到函数这条主线，他对初中数学的认识，就会从一道道题目，逐渐走向一个相互联系的知识体系。

而这，可能比多学会几种解题技巧，更有长远价值。

老学长数学研习社

老学长专注北京初中数学教学12年，长期研究初中数学学习规律与解题思维。

不只讲“这道题怎么做”，更关注孩子为什么不会、卡在哪里、怎样真正学会。