夜雨聆风在高考数学中，导数求解函数最值是压轴题必考题型，不管是选择填空的小题，还是解答题的大题，都会频繁出现。很多同学觉得导数题难度大、无从下手，其实这类题型有固定的解题套路，掌握核心步骤，就能轻松拆解拿分。
今天以一道高考常考题型为例，整理超详细的解题步骤+通用模板，吃透这道题，同类题直接套用即可！
一、经典例题呈现
题目：已知函数$$f(x)=x^3 - 3x^2 - 9x + 5$$，求函数在区间$$[-2,4]$$上的最大值和最小值。
本题是典型的闭区间上可导函数的最值问题，也是高考最常考的基础导数最值题型，学会解法能直接适配各类变式题。
二、解题思路梳理
利用导数求闭区间上函数最值，核心遵循4步万能解法，步骤固定、逻辑清晰：
1. 求函数定义域：确认题目给定区间，保证后续计算在定义域内；
2. 求导函数：准确计算原函数的导函数，这是解题基础；
3. 求极值点：令导函数为0，解出临界点，筛选出在给定区间内的极值点；
4. 计算关键值比较：分别计算区间端点、区间内极值点的函数值，比较大小得出最值。
三、详细解题步骤
步骤1：确定函数定义域
由题目可知，函数$$f(x)$$的定义域为$$\boldsymbol{[-2,4]}$$，后续所有计算均在此区间内进行。
步骤2：求解函数的导函数
根据基本求导公式$$(x^n)'=nx^{n-1}$$，常数导数为0，对原函数求导：
$$f'(x)=(x^3 - 3x^2 - 9x + 5)'$$
$$f'(x)=3x^2 - 6x - 9$$
对导函数进行因式分解，方便后续求解临界点：
$$f'(x)=3(x^2 - 2x - 3)=3(x+1)(x-3)$$
步骤3：求区间内的临界点（极值点）
令导函数$$f'(x)=0$$，即$$3(x+1)(x-3)=0$$，解得：
$$x_1=-1，x_2=3$$
两个解均在区间$$[-2,4]$$内，因此这两个点为函数在该区间内的极值嫌疑点。
步骤4：计算关键点的函数值
分别计算区间两个端点$$x=-2$$、$$x=4$$，以及两个临界点$$x=-1$$、$$x=3$$处的函数值：
- 当$$x=-2$$时，$$f(-2)=(-2)^3 - 3×(-2)^2 - 9×(-2) + 5=-8-12+18+5=\boldsymbol{3}$$；
- 当$$x=-1$$时，$$f(-1)=(-1)^3 - 3×(-1)^2 - 9×(-1) + 5=-1-3+9+5=\boldsymbol{10}$$；
- 当$$x=3$$时，$$f(3)=3^3 - 3×3^2 - 9×3 + 5=27-27-27+5=\boldsymbol{-22}$$；
- 当$$x=4$$时，$$f(4)=4^3 - 3×4^2 - 9×4 + 5=64-48-36+5=\boldsymbol{-15}$$。
步骤5：比较函数值，确定最值
将计算出的4个函数值排序：$$\boldsymbol{10>3>-15>-22}$$
由此可得：
函数$$f(x)$$在区间$$[-2,4]$$上的最大值为10，最小值为-22。
四、导数求最值核心知识点总结
1. 求导易错点：多项式求导要逐项计算，系数、指数切勿算错，因式分解能快速简化临界点求解；
2. 极值点判断：无需判断极值是极大值还是极小值，直接计算所有关键点函数值比较即可，步骤更简单；
3. 通用结论：闭区间上的连续可导函数，最值一定出现在端点或极值点处，这是解题的核心依据。
五、拓展变式练习题
大家可以趁热打铁，练习这道同类题，巩固解题模板：
已知函数$$f(x)=x^3 - 6x^2 + 9x + 2$$，求函数在区间$$[0,2]$$上的最大值与最小值。
导数求最值是高中数学的核心考点，也是攻克导数压轴题的基础，只要牢记4步解题流程，多加练习，就能彻底掌握。后续会持续分享含参函数最值、导数应用题等进阶内容，记得关注【数学解题人】，每天解锁数学解题技巧！
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