夜雨聆风欢迎来到新系列【何意味】，这个系列将会更新一些我也不知道何意味的东西。
大多将会成为个人学习数学的一点小小的迷思嗯对大概是这样。
本文为作者复习高等代数（II）的时候发疯得到的产物嗯对。
那天坐在文科楼的教室里面，好像脑子突然灵光一现，我对着目录看了半天，划出了五条主线，他们是：
向量的独立性 空间的结构 映射的信息 变换的化简和分类 内积带来的几何性质
如果用“衡量对象”来整理，则全书可以分成七条主线。
| 主线 | 对应概念 | 真正衡量的问题 |
|---|---|---|
而表达映射本身的一个方法是矩阵。所以说矩阵只是线性变换在某组基下的坐标表达；坐标只是向量在某组基下的数值表达。
因此，高等代数的核心是寻找好基，并找出换基后仍然不变的本质。
为了方便说明，把最后一条主线拆成两部分说，所以总共是八条。
第一条主线：自由度
核心问题
这一组概念的核心问题是： 核心问题：给定一批向量，它们到底提供了多少个真正独立的方向？线性代数的第一层抽象，就是把“方向”从几何空间推广到任意线性空间。一个向量组可能看起来有很多个向量，但其中很多可能只是前面向量的线性组合。所以我们需要一套语言描述“有效方向数”。
概念翻译表
| 概念 | 定义语言 | 衡量语言 |
|---|---|---|
最核心的逻辑链
线性无关的意思是：没有冗余，因此可以作为坐标方向。 张成的意思是：覆盖整个空间，因此任意向量都能表达。 基就是“线性无关 + 张成”：既无冗余，又能覆盖整个空间。
三个层次：向量组的秩、子空间的维数、矩阵的秩
这三个东西本质是同一个自由度概念，只是放在不同对象上。
| 对象 | 名称 | 衡量什么 |
|---|---|---|
若
则 如果矩阵 以这些向量为列，则考试中自由度类题目的统一做法
判别线性无关/相关的统一套路
要证明 线性无关：
设
把这个等式翻译成坐标、函数恒等式、矩阵等式或多项式恒等式。
证明只能推出
要证明线性相关，则找一组不全为零的系数使组合等于 。
求秩的统一套路
求向量组或矩阵的秩，就是求它的最大无关子组。
如果对象在 中，直接行化简或列化简。
如果对象是多项式或函数，先尝试转成系数矩阵或取值矩阵。
如果对象是抽象向量，利用线性表出关系、维数上界、替换引理。
最后给出极大无关组与秩。
常见误区
“向量个数多”不等于“秩大”。秩只看独立方向个数。
“张成空间相同”不要求两个向量组长度相同，只要求它们互相线性表出。
基不是“随便一组能表示空间的向量”，还必须无冗余。
零向量不能出现在任何线性无关组中。
第二条主线：空间关系
核心问题
从向量组进入子空间后，问题变成： 核心问题：几个空间之间有多少重叠？合起来有多大？能不能无重叠拼接？这就是“交、和、直和、余维数”的统一来源。
概念翻译表
| 概念 | 形式定义 | 衡量语言 |
|---|---|---|
维数公式：空间版容斥原理
对于有限维子空间 ，有
这和集合公式 非常相似。唯一不同是：集合论中衡量大小用元素个数；
线性空间中衡量大小用维数。
直和：唯一表达性
直和的本质是唯一表达。
直和的本质
对两个子空间 ，下列说法等价：
是直和，即 ；
在 中的表达唯一；
中每个向量的表达唯一；
若 有限维，则 ；
若 是 的基， 是 的基，则合并后是 的基。
所以
真正表示：考试中子空间关系类题目的统一做法
证明某集合是子空间
要证明 是子空间：
先证 ，通常证明 ；
任取 ，证明 ；
任取 ，证明 。
或者一步完成：任取 与 ，证明
证明直和
证明 是直和，有四种常用入口：
直接证 ；
设 ，证明 ；
证明 中表达唯一；
有限维时用维数公式证明 。
常见误区
一般不是子空间，除非 或 。
总是子空间，但 通常不是。
不等于 ；后者还要求 。
不等于 ；它只说明无重叠，不说明覆盖整个空间。
第三条主线：线性映射的信息流
核心问题
线性映射 的本质问题是： 核心问题：输入信息经过 以后，哪些被压成 ，哪些变成有效输出？因此，核与像孤立定义，而是线性映射的两个“信息统计量”。
概念翻译表
| 概念 | 定义语言 | 衡量语言 |
|---|---|---|
秩–零化度公式：信息守恒
若 有限维，则
这句话可以理解为： 这句话可以理解为：输入自由度 = 被消灭的自由度 + 保留下来的自由度。 于是：越大，说明 丢失的信息越多；
越大，说明 的输出能力越强；
表示不丢方向，即单射；
表示覆盖目标，即满射。
同构：只换名字，不改结构
两个线性空间 同构，本质上表示： 和 作为线性空间没有本质区别，只是元素名字不同。 有限维情形最重要的结论是：
所以有限维线性空间的分类非常简单： 有限维线性空间的本质只由维数决定。考试中线性映射类题目的统一做法
求核与像
给定线性映射 ：
求核：解方程
得到一组基与维数。求像：看 对 的一组基的作用。若 是 的基，则
用秩–零化度公式互相检查：
证明同构
证明 是同构，可以任选以下路线：
直接证明 线性、单射、满射；
若 ，证明 单射即可；
若 ，证明 满射即可；
证明 把 的一组基映成 的一组基。
常见误区
核是定义域 的子空间，像是陪域 的子空间。
是满射的意思是
同构不是相等；同构是结构相同。
有限维同构只看维数，但具体同构映射不唯一。
第四条主线：表达方式的改变
核心问题
坐标与矩阵表示的核心问题是： 核心问题：同一个几何对象，换一组基以后，数字表达如何改变？这部分最容易让人迷糊，因为同一个对象会有多个矩阵表达。关键是区分：
向量、线性映射、线性变换本身是本体；
坐标列、矩阵只是它们在某组基下的表达。
向量坐标的换基
设 与 是 的两组基，并且
若向量 在 -基和 -基下的坐标分别为 ，则 这里 的列是新基 在旧基 下的坐标。线性变换矩阵的换基：相似
设 。若 在 -基下的矩阵是 ，在 -基下的矩阵是 ，并且
则 这就是矩阵相似。相似的本质
两个矩阵 相似，不是是说： 与 表示同一个线性变换，只是选取的基不同。 因此相似是一种“同一对象的不同坐标表达”。
相似不变量：换基后仍然不变的东西
既然相似矩阵表示同一个线性变换，那么真正本质的性质必须在相似下保持不变。常见相似不变量包括：
秩：；
行列式：；
迹：；
特征多项式：；
特征值及其代数重数；
几何重数 ；
极小多项式；
不变因子、初等因子；
Jordan 块结构。
判断两个矩阵不相似的常见方法
若要证明 与 不相似，只需找一个相似不变量不同：
；
；
特征多项式不同；
极小多项式不同；
对某个 ， 与 不同；
Jordan 块大小不同。
第五条主线：可分解性
核心问题
线性变换最理想的情况是：存在一组基，使得每个基向量都只被拉伸，而不会被转到别的方向。也就是
所以这条主线的核心问题是： 核心问题：线性变换能否分解成若干个互不干扰的一维伸缩？特征向量：不改变方向的向量
若
则 是特征向量， 是特征值。它的直观含义是： 经过 后方向不变，只是长度按 倍缩放。 特征子空间
衡量的是： 特征子空间表示所有被 按 倍缩放的方向组成的空间。可对角化：特征向量够不够组成基
可对角化的本质是： 有一组由特征向量组成的基。 等价地，若 是 的不同特征值，则
这说明可对角化不是“有特征值”这么简单。判断可对角化的关键是：特征子空间的维数加起来是否足够填满整个空间。代数重数与几何重数
对特征值 ：
代数重数： 作为特征多项式根的重数；
几何重数：。
总有 总有：几何重数 不超过 的代数重数，并且若 是特征值，则 。 可对角化的常用判别是： 可对角化，当且仅当特征多项式分裂，并且每个特征值的几何重数都等于代数重数。
考试中对角化类题目的统一做法
判断矩阵是否可对角化
设 。
求特征多项式：
看 是否在 上完全分裂。
对每个特征值 ，求
比较
是否等于 。若等于 ，则可对角化；否则不可对角化。
求对角化
若 可对角化：
分别求每个特征子空间的一组基；
把所有特征子空间的基合并成 的一组基；
以这些特征向量为列组成矩阵 ；
得到
其中 的对角元按 中特征向量的顺序排列。
常见误区
有 个特征值不一定准确。若有 个互异特征值，则一定可对角化；但可对角化不要求特征值互异。
特征多项式能分裂不等于可对角化，还要检查特征向量够不够。
不同特征值对应的特征向量自动线性无关；同一特征值内部仍需取基。
对角化的矩阵 的列必须是特征向量。
第六条主线：相似分类
核心问题
对角化是理想情况，但不是所有矩阵都能对角化。于是更深的问题是： 核心问题：如果不能对角化，能不能找到某种最简标准形式？这就是极小多项式、-矩阵、不变因子、初等因子、有理标准型、Jordan 标准型的统一动机。
多项式作用在矩阵上：变换满足什么方程
对矩阵 和多项式
定义 如果 就说明 满足代数方程 。极小多项式的本质
极小多项式 是使
成立的首一多项式中次数最低者。它衡量的是： 极小多项式衡量的是： 被多项式关系约束的最小复杂度。 Hamilton–Cayley 定理告诉我们：
因此极小多项式一定整除特征多项式：极小多项式与可对角化
在特征多项式能分裂的情形下，最重要的判别是： 可对角化，当且仅当 无重根。 直观解释：
若 中出现 或更高次，说明 对应方向存在“纠缠链”；
若 全部是一次因子的乘积，说明每个特征值对应部分都可以完全拆开。
-矩阵：把相似问题转成相抵问题
矩阵相似问题
可以转化为 -矩阵 的相抵问题。这一步的意义是： 这一步的意义是：用多项式矩阵的不变量，刻画普通矩阵的相似不变量。
不变因子与初等因子
| 概念 | 形式来源 | 衡量语言 |
|---|---|---|
Jordan 标准型：距离对角化还差多少
一个 Jordan 块
表示： 这表示：在特征值 附近，存在长度为 的广义特征向量链。 如果所有 Jordan 块都是 ，则矩阵可对角化。否则，不可对角化。Jordan 块的直观解释
特征值只告诉你“有哪些伸缩倍率”；Jordan 块大小告诉你“这些伸缩方向纠缠到什么程度”。
所以 Jordan 标准型衡量的是： 所以 Jordan 标准型衡量的是：一个线性变换离完全对角化还有多远。
考试中标准型类题目的统一做法
由初等因子写 Jordan 标准型
若初等因子为
则每个初等因子 对应一个 Jordan 块 把这些 Jordan 块放在对角线上，即得到 Jordan 标准型。由 Jordan 标准型读极小多项式
对每个特征值 ，找它对应的最大 Jordan 块大小 ，则
特征多项式则由所有 Jordan 块大小总和给出： 其中 是 对应所有 Jordan 块大小之和。常见误区
特征多项式只知道每个特征值的总重数，不知道 Jordan 块如何拆分。
极小多项式只知道每个特征值最大 Jordan 块大小，不知道有几个块。
初等因子完整决定 Jordan 块，因此比单独的特征多项式和极小多项式更精细。
有理标准型适用于任意数域；Jordan 标准型通常要求特征多项式在该数域上分裂，特别常在 上使用。
第七条主线：几何结构
核心问题
前面的线性空间只关心加法和数乘，不关心长度和角度。欧氏空间额外加入内积：
于是核心问题变成： 核心问题：在线性结构之外，如何衡量长度、角度、垂直、最近点？概念翻译表
| 概念 | 形式定义 | 衡量语言 |
|---|---|---|
Cauchy–Schwarz 不等式：内积几何的基础
它保证夹角公式有意义：
等号成立当且仅当 线性相关。Gram–Schmidt 正交化：把普通基变成好基
若 是欧氏空间中的一组线性无关向量，则可以构造正交组：
再单位化得到标准正交组：
Gram–Schmidt 的本质
Gram–Schmidt 是在依次去掉当前向量在旧方向上的投影，保留真正的新正交方向。
正交补与投影：最佳逼近的来源
若 是有限维欧氏空间 的子空间，则
因此每个 都可以唯一写成 其中， 是 在 上的正交投影， 是误差。最小二乘的几何本质
当线性方程 无解时，我们希望找一个 最接近 。这等价于把 投影到 的列空间 上。
最优条件是误差
垂直于列空间，因此 于是得到正规方程第八条主线：变换与几何结构的关系
核心问题
在欧氏空间中，我们不只关心线性变换是否保持加法和数乘，还关心： 核心问题：它是否保持长度、角度、内积？它能否在标准正交基下变简单？
正交变换：保持几何
线性变换 是正交变换，如果
矩阵语言中，在标准正交基下： 正交变换保持：内积；
长度；
夹角；
距离；
正交性。
所以正交变换的本质是： 所以正交变换的本质是：只旋转或反射，不拉伸、不压缩、不改变几何形状。
正交矩阵：列向量构成标准正交基
对实矩阵 ，以下条件等价：
是正交矩阵；
；
；
的列向量构成 的一组标准正交基；
的行向量构成 的一组标准正交基。
对称变换：能被正交对角化
线性变换 是对称变换，如果
矩阵语言中，在标准正交基下： 对称变换最重要的定理是： 对称变换最重要的定理是：实对称矩阵一定可以正交对角化。 即存在正交矩阵 ，使得 其中 是实对角矩阵。对称矩阵为什么特别好
一般矩阵可对角化，只要求存在可逆矩阵 使
实对称矩阵更强：可以选 为正交矩阵，使 这说明实对称变换不仅能分解成特征方向，而且这些特征方向还能取成标准正交基。考试中正交/对称类题目的统一做法
判断正交矩阵
判断 是否正交：
直接算 是否等于 ；
或检查列向量是否两两正交且长度为 ；
或检查 。
实对称矩阵正交对角化
设 。
求特征值；
对每个特征值求特征子空间；
对每个特征子空间分别取标准正交基；
合并得到 的标准正交特征向量组；
以这些向量为列构成正交矩阵 ；
得到
常见误区
正交矩阵不等于对称矩阵。正交是 ，对称是 。
正交相似 是相似的一种特殊形式，因为 。
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量自动正交；同一特征子空间内部需要正交化。
正交变换保持长度，不代表它一定是对称变换。
