夜雨聆风
1 一、选择题
小题，每小题 分，共 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1
已知当 时， 与 是等价无穷小，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
知识点：
- 等价无穷小的定义与判定；
- 初等函数在 处的泰勒展开；
- 无穷小阶数比较与待定系数法。
解析：
当 时，
且
因此
若它与 等价，则其一阶项必须消失，且二阶项系数应等于 ，即
故
故选 A。
2
设 是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解。若常数 使得 是该方程的解， 是该方程对应齐次方程的解，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
知识点：
- 二阶线性非齐次微分方程解的结构；
- 线性微分算子的线性性；
- 非齐次方程特解线性组合的判定。
解析：
设非齐次方程为
因为 均为该方程的特解，所以
由线性性可知，
要使 仍为原非齐次方程的解，必须有
同理，
要使其为对应齐次方程的解，必须有
解方程组
得
故选 B。
3
设函数 由方程 （ 为非零常数）确定，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
知识点：
- 多元隐函数求导；
- 偏导数运算；
- 指数复合函数的求导。
解析：
令
由隐函数方程 ，分别计算偏导数：
根据隐函数求导公式，
因此
故选 A。
4
设线密度为 的细直棒两端点分别位于 和 ，质量为 的质点位于 ， 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
知识点：
- 定积分的物理应用；
- 微元法；
- 对称性分析；
- 万有引力分解。
解析：
取细棒上点 附近的微元 。因线密度为 ，该微元质量为 。它到质点 的距离为
该微元对质点的引力大小为
由于细棒关于 轴对称，水平方向分力相互抵消，只需计算竖直方向分力。竖直方向分力系数为
因此
只需计算右半段 后乘以 ，所以总引力大小为
故选 D。
5
设函数 在区间 上有定义，则
- A. 当 在 单调递减、在 单调递增时， 是极小值
- B. 当 是极小值时， 在 单调递减、在 单调递增
- C. 当 的图形在 上是凹的时， 在 上单调递增
- D. 当 在 上单调递增时， 的图形在 上是凹的
答案： C
知识点：
- 极值的定义；
- 单调性与极值的关系；
- 凸凹性与割线斜率的关系；
- 反例法判定命题真假。
解析：
逐项判断。
A 错。 单调性只在去心邻域 和 内成立，不能控制 的函数值。例如
则 在 单调递减，在 单调递增，但 不是极小值。
B 错。 极小值并不推出两侧分别单调。例如
此时 是极小值，但 在 与 上并不满足“左减右增”。
C 对。 若 的图形在 上是凹的，即其割线斜率随割点右移而不减。对固定点 ，表达式
表示点 与点 所连割线的斜率，因此它在 上单调递增。
D 错。 单独固定右端点 的割线斜率单调，不能推出整个区间上任意两点割线斜率均满足凹性要求。例如
因为 ，所以
在 上单调递增。但
在 上不恒为非负，因此 的图形不在整个区间上为凹的。
故选 C。
6
已知函数
的反函数为 ，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
知识点：
- 变上限积分求导；
- 反函数的值与导数；
- 链式法则。
解析：
先求反函数在 处的函数值。由于
所以
再由变上限积分求导与链式法则，
于是
由反函数求导公式
得
故选 B。
7
设函数 在区域
上连续，且 ，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
知识点：
- 二重积分的对称性；
- 二重积分的黎曼和定义；
- 积分区域的划分与面积微元。
解析：
区域 是单位正方形，且 。关于直线 对称，所以
三角形区域 可以用网格点
其中
来描述。每个小正方形面积为
因此
化简系数得
这正是选项 D 中的系数形式：
故选 D。
8
单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵。设 为 阶置换矩阵， 为 的伴随矩阵，则
- A. 为置换矩阵
- B. 为置换矩阵
- C.
- D.
答案： B
知识点：
- 置换矩阵的性质；
- 逆矩阵与转置矩阵；
- 伴随矩阵公式；
- 行列式的符号。
解析：
置换矩阵是由单位矩阵经过若干次行互换得到的矩阵。它仍为可逆矩阵，且满足
置换矩阵的转置仍为置换矩阵，所以 必为置换矩阵，选项 B 正确。
另一方面，
对置换矩阵有
当 时，；当 时，。因此 A、C、D 都不一定恒成立。
故选 B。
9
设矩阵
若存在矩阵 满足 ，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
知识点：
- 矩阵方程 的可解性；
- 列空间与线性表示；
- 线性方程组求解。
解析：
若存在矩阵 使得
则 的每一列都必须能够由 的列向量线性表示，即每一列都属于 的列空间。
先看 的第一列。设
由前三行得
解得
代入第四行
得
再看 的第二列。设
由前三行得
解得
代入第四行
得
因此
故选 A。
10
设三阶矩阵 满足
且 ，则下列结论错误的是
- A.
- B. 只有零特征值
- C. 不能都是对角矩阵
- D. 只有一个线性无关的特征向量
答案： D
知识点：
- 矩阵多项式运算；
- 幂零矩阵；
- 特征值与特征向量；
- 对角矩阵的性质。
解析：
由题设
可得
即
记
因为 ，所以 ，且
于是：
由 可知
所以 A 正确。
若 是 的特征值，则 是 的特征值。因为 ，所以
从而
所以 B 正确。
若 都是对角矩阵，则 也是对角矩阵。对角矩阵平方为零只可能是零矩阵，即 ，这与 矛盾。所以 C 正确。
由于 ，有
对三阶非零矩阵 ，可得
因此 至少有两个线性无关的特征向量，而不是只有一个。D 错误。
故选 D。
2 二、填空题
小题，每小题 分，共 分。
11
设 为常数，若反常积分
收敛，则 的取值范围是 ________。
答案：
知识点：
- 反常积分的敛散性；
- 无穷区间与瑕点处的分别讨论；
- 等价无穷小与比较判别法。
解析：
该反常积分需要分别讨论 与 两端。
当 时，
所以被积函数满足
积分
收敛的条件为
即
当 时，
所以
积分
收敛的条件为
即
综上，
12
答案：
知识点：
- 极限运算；
- 泰勒展开；
- 等价无穷小；
- 初等函数局部展开。
解析：
先通分：
当 时，
于是
而
因此
13
曲线
在点 处的曲率半径为 ________。
答案：
知识点：
- 隐函数求导；
- 曲率公式；
- 曲率半径的定义。
解析：
将曲线看作隐函数方程
两边对 求导：
即
代入点 ，得
所以
再对
求导，得
代入 与 ，得
化简得
所以
曲率公式为
因此
曲率半径为
14
已知函数 可微，且
记
则
答案：
知识点：
- 全微分与偏导数；
- 多元复合函数求导；
- 链式法则。
解析：
由
可知
因为
由链式法则，
当 时，
所以
15
函数
在区间 上的平均值为 ________。
答案：
知识点：
- 函数平均值公式；
- 定积分计算；
- 对数函数积分。
解析：
函数 在区间 上的平均值为
本题中 ，因此平均值为
令
则
由于
所以
计算得
16
设矩阵
若二次型
的规范形为 ，则 ________。
答案：
知识点：
- 二次型的规范形；
- 矩阵秩与二次型秩；
- 矩阵 的秩；
- 行向量线性相关。
解析：
二次型
的规范形为 ，说明该二次型的秩为 ，即
对于实矩阵有
所以
矩阵 有两行，因此两行必须成比例。设第二行等于第一行的 倍，即
于是
由第一式和第三式可得
从而
此时
再由
得
因此
3 三、解答题
小题，共 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17
（本题满分 分）
计算
知识点：
- 二重积分的计算；
- 积分区域转换；
- 极坐标变换；
- 分部积分。
解：
先分析积分区域。由
可知区域位于圆
内，且在直线
的上方。
改用极坐标
则
区域对应为
于是
即
分离变量得
先算角度积分：
再算径向积分。分部积分可得
所以
代入得
因此
18
（本题满分 分）
已知函数 连续。设
求 的表达式，并判断 在 处的连续性。
知识点：
- 含参变量积分求导；
- 变量代换；
- 导数定义；
- 积分中值定理；
- 连续性判定。
解：
当 时，令
则
当 时，；当 时，。因此
对 求导，得
即
下面求 。由定义，
因此
仍利用上面的变量代换，有
因为 连续，由积分中值定理，存在 介于 与 之间，使得
所以
当 时，。由于 在 处连续，，故
因此
综上，
下面判断 在 处的连续性。对 ，
由连续性可知
又由上面的积分中值定理，
所以
因此 在 处连续。
19
（本题满分 分）
求函数
的极值。
知识点：
- 多元函数偏导数；
- 驻点求法；
- 二阶偏导判别法；
- 多元函数极值。
解：
先求一阶偏导数：
令
因为 ，所以
代入 ，得
即
因此驻点为
再求二阶偏导数：
记
在 处，
所以
故 不是极值点。
在 处，
于是
且
因此 是极大值点。
极大值为
综上，函数只有一个极大值
在点 处取得；无极小值。
20
（本题满分 分）
已知 是曲线
的拐点， 为原点。记 是第一象限中以曲线
线段 及 正半轴为边界的无界区域，求 绕 轴旋转所成旋转体的体积。
知识点：
- 拐点的判定；
- 导数与曲线凹凸性；
- 旋转体体积；
- 广义积分；
- 三角反函数积分。
解：
先求拐点。设
则
令
得
即
由于 ，所以
相应地，
因此
直线 的斜率为
故线段 的方程为
区域 绕 轴旋转的体积由两部分组成：
- 时，上边界为线段 ；
- 时，上边界为曲线 。
所以
第一部分为
因此
第二部分利用公式
于是
当 时，
所以上限值为
当 时，
且
因此第二部分为
综上，
21
（本题满分 分）
求微分方程
满足条件
的解。
知识点：
- 不显含 的二阶微分方程降阶；
- 伯努利方程与变量代换；
- 一阶线性微分方程；
- 初值问题。
解：
方程不显含 ，令
则
原方程化为
整理为
由于初值给出
可令
则
将方程
两边除以 ，得
即
所以
这是关于 的一阶线性微分方程。积分因子为
于是
积分得
即
由初值
得
解得
因此
所以
由于 ，可写为
作多项式除法：
因此
积分得
由
得
所以
故所求解为
22
（本题满分 分）
已知向量组
记
- 证明： 是 的极大线性无关组；
- 求矩阵 使得 ，并求 。
知识点：
- 向量组的线性相关与线性无关；
- 极大线性无关组；
- 矩阵的列分解；
- 矩阵乘法结合律；
- 特殊矩阵幂的计算。
解：
（1）证明极大线性无关组
由题意，
注意到
且
因此 都可由 线性表示，所以
另一方面，若
则由前两个分量可得
于是
所以 线性无关，从而
故
因此 是该向量组的极大线性无关组。
（2）求 与
由
得
因此
即
因为
所以
利用矩阵乘法结合律，
先计算
逐项相乘得
记
它是一个二阶 Jordan 型矩阵，因此
故
于是
即
先算
再乘以 ，得