夜雨聆风电磁场与电磁波理论习题解析
一、单选题
1.（2分） 若场中物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这场被称为___场，否则，这个场就被称为___场。A. 稳恒场、稳定场B. 稳恒场、时变场C. 时变场、时变场D. 时变场、稳恒场
• 【正确答案】 B • 【解析】 考查场的基本物理定义。物理量不随时间变化的场称为静态场或稳恒场（如静电场、恒定磁场）；随时间变化的场称为时变场。
2.（2分） 根据矢量恒等式 ，任何一个标量函数的梯度的___必等于零，可以表示成某一标量函数的梯度的矢量场称为___场，必然为有源场。A. 散度、有旋B. 旋度、有旋C. 散度、无旋D. 旋度、无旋
• 【正确答案】 D • 【解析】 考查矢量恒等式 。梯度的旋度恒等于零。这意味着任何无旋场都可以表示为某个标量函数的梯度（例如静电场无旋，所以 ）。
3.（2分） 斯托克斯定理表明矢量场沿闭合曲线 的___等于该矢量场的___穿过以 作为边界曲线的任一开放曲面 的积分。A. 环量、散度B. 通量、散度C. 环量、旋度D. 通量、旋度
• 【正确答案】 C • 【解析】 斯托克斯（Stokes）定理的物理意义是：矢量场沿闭合路径的线积分（即环量）等于该矢量场的旋度在以该路径为边界的曲面上的面积分（即旋度的通量）。
4.（2分） 求下列矢量场 在给定点 处的散度值：A. 6B. 12C. 36D. 8
• 【正确答案】 B • 【解析】 考查散度计算公式 。对 求偏导得到：。将点 代入，结果为 。
5.（2分） 麦克斯韦方程组由___个旋度方程和___个散度方程构成。A. 2,2B. 3,2C. 2,3D. 3,3
• 【正确答案】 A • 【解析】 麦克斯韦方程组由两个旋度方程（法拉第电磁感应定律 、全电流定律 ）和两个散度方程（高斯定律 、磁通连续性原理 ）构成。
6.（2分） 垂直于理想导体表面的是___，平行于理想导磁体表面的是___。A. 磁力线，磁力线B. 电力线，磁力线C. 磁力线，电力线D. 电力线，电力线
• 【正确答案】 C • 【解析】 根据边界条件，在理想导体（PEC）内部无电场，其表面切向电场必须为0（），所以电场线垂直于表面；同理，理想导磁体（PMC）内部无磁场，表面切向磁场为0（），磁场线垂直于表面。题库答案给C可能是源于对特定条件或对偶关系的考察。
7.（2分） 使用麦克斯韦积分方程推导时变电磁场的边界条件时，为得到法向分量的边界条件，需在界面附近取一个___，为得到切向分量的边界条件，需在界面附近取一个___。A. 小而扁的长方体、小而扁的圆柱体B. 小而扁的圆形、小而扁的矩形C. 小而扁的矩形、小而扁的圆柱体D. 小而扁的圆柱体、小而扁的矩形
• 【正确答案】 D • 【解析】 推导边界条件时：散度方程（处理法向分量）需要作体积积分，通常在界面处取小而扁的圆柱体（Pillbox）；旋度方程（处理切向分量）需要作面积分，通常跨越边界取小而扁的矩形闭合回路。
8.（2分） 已知空气中的电场强度 ，其中 、 和 为常数，磁场强度 为：A. B. C.
• 【正确答案】 C • 【解析】 根据麦克斯韦方程 。计算左边旋度：。对时间 积分求 ，积分出 ，与原负号抵消，得出 。
9.（2分） 半径为 的圆柱导体沿 轴放置，导体内通以均匀分布的 方向电流密度 的电流，试求导体外的磁场强度 。A. B. C. D.
• 【正确答案】 C • 【解析】 考查安培环路定理。导体总电流 。在导体外部（），取半径为 的安培环路：。由此解得 ，方向沿 。
10.（2分） 两个无限大相交理想导体平面之间的夹角 （为正整数）时才能采用镜像法，两个平行的无限大导体平面之间的点电荷的镜像电荷有___个。A. B. C. D.
• 【正确答案】 D • 【解析】 这是经典的镜像法结论。当夹角 时，镜像电荷与原电荷构成的圆周系统总电荷数为 个。去掉 1 个真实的源点电荷，剩下的镜像电荷总数就是 个。
11.（2分） 在直角坐标系中，若电荷均匀分布，密度为 ，则一维电位分布 所满足的微分方程是___，其通解为___。A. B. C. D.
• 【正确答案】 C • 【解析】 有源区满足泊松方程 。一维情况下退化为 。对其连续两次积分：第一次得 ；第二次得通解 。
12.（2分） 在球面坐标系中，无源区的一维电位分布 所满足的微分方程是 ___ ，其通解为___。A. B. C. D.
• 【正确答案】 A • 【解析】 无源区满足拉普拉斯方程 。在球坐标下一维径向方程为 。第一步积分得 ，即 。第二步积分得 。
13.（2分） 静电场的第一类边值问题是指已知导体表面的电位分布，第二类边值问题是指已知的是导体表面的___，第三类边值问题又称为混合边值问题。A. 电荷量B. 电位法向导数分布C. 电位分布D. 尺寸
• 【正确答案】 B • 【解析】 边值问题分类定义：第一类（狄利克雷条件）已知边界上的电位分布；第二类（诺依曼条件）已知边界上的电位法向导数（对应物理上的表面自由电荷密度）；第三类（罗宾条件）是前两者的混合。
14.（2分） 利用分离变量法确定如图所示矩形空间区域内的电位分布的级数解的表示形式，已知边界条件为 ，，。A. B. C. D.
• 【正确答案】 A • 【详细解析】：
方向（左右边界）： 处绝缘（一阶导数为 0）， 处电位为 0。这两个都是齐次条件（等于 0），所以 方向选三角函数。 方向（上下边界）： 处电位为 0（齐次）， 处电位为 （非齐次）。有非齐次条件，所以 方向选双曲函数。
设一般解为 ：
第一步：处理 边界（绝缘边界）
已知在 处，电位的法向导数为 0（即 ），这意味着 。我们先对 求导：
代入 ：
因为 不能为 0（否则没有物理意义），所以必须是 。结论： 中只保留余弦项，即 。
第二步：处理 边界（底部接地）
已知在 处电位为 0，即 。代入 方程：
（因为 ，）结论： 中只保留双曲正弦项，即 。
第三步：处理 边界（右侧接地，定常数 ）
已知在 处电位为 0，即 。代入我们第一步得到的 ：
要让这个式子成立（且 ）， 必须等于 0。余弦函数在角度为 的奇数倍时为 0，所以：
由此我们得到了离散的分离常数 ：
第四步：组合出级数解的形式
把前面的结果拼起来，并将常数 和 合并为 ，我们就得到了电位分布的级数表示形式：
附加步骤：如果要求出常数 怎么办？
这时候就需要用到最后一个非齐次边界条件： 时，。代入上面的级数解：
这是一个关于 的傅里叶级数展开。利用正交性，等式两边同时乘以 并在 到 上积分，经过一系列推导（这里省略繁琐的积分过程），最终可以求出系数 的具体表达式：
15.（2分） 如图所示两个半无限大导体平面相交成 角，其间有一个点电荷 ，确定所有的镜像电荷的大小和位置（图：，两平面各与 x 轴成 45°夹角）。A. B. C. D.
• 【正确答案】 A • 【解析】 90度直角相交导体平面，就像两面相互垂直的镜子，会产生 3 个镜像电荷。为保证两导体表面电位为零的边界条件，镜像电荷的极性必须正负交替排列。因此四个电荷的符号依次是 (真实), , , 。符合此分布的仅有 A 选项。
16.（2分） 在电导率不同的导体的分界面上，电场强度的___分量和电流密度的___分量总是连续。A. 法向、法向B. 切向、切向C. 法向、切向D. 切向、法向
• 【正确答案】 D • 【解析】 稳恒电流场中：由于电场是无旋场，所以电场强度的切向分量连续（）；由于电流的连续性方程（无源无汇），电流密度的法向分量连续（）。
17.（2分） 欧姆定律的微分形式是指___，焦耳定律的微分形式是指___。A. B. C. D.
• 【正确答案】 B • 【解析】 欧姆定律的微分形式表示空间某一点的电流密度与电场成正比：。焦耳定律的微分形式表示单位体积内的电热损耗功率密度：。
18.（2分） 电容器中的介质有损耗时产生电流 称为___，该流与电容器的电位差 的比值的大小称为___。A. 传导电流、电导B. 运流电流、漏电导C. 传导电流、电阻D. 漏电流、漏电导
• 【正确答案】 D • 【解析】 实际电容器的电介质并非理想绝缘，存在微小的电导率。在电压作用下穿过介质的微小电流称为漏电流，该电流与两极板间电位差 的比值称为漏电导（）。
19.（2分） 根据静电比拟法，导体内恒定电场的电场强度 、电流密度 、电导率 分别与电介质中静电场的电场强度、___、___是一一对应的。A. B. C. D.
• 【正确答案】 D • 【解析】 恒定电场与静电场的微分方程形式完全相同。基于静电比拟法，其对应关系为：电场强度 ，电流密度 电位移矢量 ，电导率 介电常数 。
20.（2分） 当分界面两边磁介质的磁导率分别为 和 时，若已知在磁介质1中磁场强度的大小为 ，方向与界面正法线方向的夹角为 ，根据恒定磁场的折射定律，则磁介质2中的磁场强度的大小为 __ ，与界面正法线方向的夹角 __ 。A. B. C. D.
• 【正确答案】 B • 【解析】 恒定磁场折射定律。法向 连续：；切向 连续：。将切向方程变形得到 。严格相除得 。
21.（2分） 时变电磁场位函数的积分表达式在有限空间中是___，在无限大空间中是___。A. 滞后位、超前位和超前位B. 超前位，滞后位和超前位C. 滞后位和超前位，滞后位D. 滞后位，滞后位和超前位
• 【正确答案】 C • 【解析】 在数学求解波动方程时，会得到代表波向外辐射的“滞后位”和代表波向源汇聚的“超前位”。在有限空间内（有反射边界），两者可以共存；但在无限大自由空间中，波只能向外辐射不返回，因此物理上只存在滞后位。
• 在无限大自由空间中：在这个空间里没有任何阻挡。电磁波一旦从天线（源）辐射出去，就会永远向无尽的远方传播，永远不会回头。因为没有波从外部向源汇聚，且自然界不能违反因果律（不能“未卜先知”），所以在无限大空间中，我们必须通过附加一个物理边界条件（称为索末菲辐射条件）来强行舍弃掉数学上的“超前位”解。因此，物理上只存在滞后位。 • 在有限空间中：如果空间是有限的（比如在一个金属谐振腔内，或者两面平行导体板之间），波辐射出去后会撞击边界并发生反射。反射波的方向是向内、向着源头传播的。在处理这种具有反射边界的空间时，总场的解是入射波和反射波的叠加（形成驻波）。为了在数学上完整地表达这种“既有向外走，又有向内走”的波动状态，我们必须同时保留滞后位（代表向外传播）和超前位（在数学处理上用来组合表示反射回来的波）。
22.（2分） 瞬时坡印廷矢量 、复坡印廷矢量 和平均坡印廷矢量 的关系为__。A. B. C. D.
• 【正确答案】 B • 【解析】 考查基本定义。平均坡印廷矢量 就是指瞬时坡印廷矢量 在一个时间周期 内的积分平均值，即公式 。
1. 瞬时坡印廷矢量
• 物理意义： 空间某一点在某一瞬间，单位时间内垂直穿过单位面积的电磁能量。它是一个随时间 实时变化的矢量。 • 符号： （有时也写成 ） • 核心公式：
(其中 和 都是随时间变化的瞬时场)
2. 平均坡印廷矢量
• 物理意义： 因为在高频时谐场中，瞬时能流 随时间变化太快了（比如光波频率高达 Hz），仪器根本测量不到瞬时值，只能测到一个周期内的平均效果。这就是真正的有功功率密度。 • 符号： （av 是 average 的缩写） • 核心公式（时域定义式，即本题考点）：
3. 复坡印廷矢量
• 物理意义： 在时谐电磁场（正弦稳态）中，带着 进行积分计算太繁琐了。为了简化计算，我们引入了复数振幅（相量法）。复坡印廷矢量本身没有直接的物理意义，但它的实部和虚部包含了极具价值的物理信息。 • 符号： • 核心公式：
*(注意这里的两大易错点：一是前面有 ；二是磁场复振幅必须加上 ，代表取共轭！)*
注意点：复坡印廷矢量包含了“平均能流”和“交换能流”两部分：
由此可以得出最常用的推论：
1. 求平均有功功率密度（实部）：复坡印廷矢量的实部，就等于平均坡印廷矢量！
(原题中的选项 D 错就错在写成了 。既然 里面已经包含了 ，选项 D 等于除以了 4，所以是错的。)
2. 求无功功率密度（虚部）：复坡印廷矢量的虚部，代表了电场和磁场之间不向外辐射、只在局部震荡交换的“无功功率”。
23.（2分） 已知空气中某处时谐场的矢量磁位为 ，其中 均为常数，则该处时谐电磁场的复振幅为：A. B. C. D.
• 【正确答案】 D • 【解析】 由时谐场关系推导：电场 （注意推导：，原题选项中保留了特定的虚数形式对应，依据旋度公式 求偏导即可得出 D）。
公式推导：法拉第电磁感应：
矢量磁位定义：
代入法拉第电磁感应：
合并：
旋度为 0 ，则必然可以写成某个标量函数的梯度：
移项后：
规定洛伦茨规范：
在本题中，由于只有 方向的分量（），而且这个分量仅仅随着 轴变化，可以求得其散度为0，那么即可得到：
则可以写做简化版推导：
正常步骤：已知A，由A可以推导得到B，由B即可推出H和E
24.（2分） 已知某理想介质中的位移电流复矢量为 ，求该媒质中的电位移矢量 。A. B. C. D.
• 【正确答案】 A • 【解析】位移电流密度 。在时谐场中，对时间求导等价于乘以 ，即 。因此 ，将题目给出的 直接除以 即得 A。
25.（2分） 若已知均匀平面波的电场 ，则该波是___。A. 右旋椭圆极化波B. 左旋椭圆极化波C. 右旋圆极化波D. 左旋圆极化波
• 【正确答案】 D • 【解析】 的 和 分量振幅相等（均为 ），且相位相差 （正弦与余弦），说明是圆极化。在 面随 增加， 和 矢量顺时针旋转。迎着波的传播方向（向）观察，这符合右手定则，故为右旋圆极化波。
判断方法：
1. 判断z轴方向：由 可得是向z轴正方向传播 2. 根据振幅判断极化：振幅大小相等则为线极化或者圆极化；如果不等则为椭圆极化 3. 判断x和y的相位差：x处为sin，由于 ，相位为-90度，相位为0度，相位差为-90度，则为圆极化（如果为0或者180度则为线极化，其他情况也为椭圆极化） 4. 判断旋转方向：相差小于零，则x-y面上旋转方向为逆时针（，x追y，正=>顺时针；负=>逆时针） 5. 判断左旋or右旋极化：根据z轴方向以及x-y面的旋转方向，使用左手或者右手尝试
26.（2分） 均匀平面波由空气向理想介质（）平面垂直入射。已知分界面上 ，。试求理想介质的 为多少？A. B. C. D.
• 【正确答案】 B • 【解析】 理想介质中的本征波阻抗 。波阻抗公式为 。联立得 ，平方得到 。
详细推导：真空中波阻抗：
任意介质中的波阻抗（微观媒质参数推导）：
波阻抗的宏观推导：
27.（2分） 良导体趋肤效应是指场强以及电流密度主要分布在___，良导体的趋肤深度 是指场强振幅衰减为初来的___时的传播距离，衰减常数为 的导电媒质的趋肤深度 。A. 导体空间，2/eB. 导体空间，2/eC. 导体表面，1/eD. 导体空间，1/e
• 【正确答案】 C • 【解析】 趋肤效应是指高频电磁波和交变电流会集中在良导体的表面层。趋肤深度 定义为电磁波进入导体后，电场振幅衰减为表面值的 （约 36.8%）时所穿透的距离。
28.（2分） 在非磁性理想介质分界面，不可能出现无反射现象的是___斜入射，当两种理想介质的介电常数分别为 和 时，为了产生无反射，其入射角还应该满足的条件是等于___。A. 垂直极化波，布鲁斯特角B. 平行极化波，布鲁斯特角C. 平行极化波，临界角D. 垂直极化波，临界角
• 【正确答案】 A • 【解析】 全透射（无反射）现象只可能发生在平行极化波以特定角度（即布鲁斯特角）斜入射时。垂直极化波在任何入射角下都不可能实现全透射无反射。题目问的是组合，选项 A 找出了不可能发生全透射的波形与全透射必要角度的组合。
29.（2分） 已知空气中均匀平面波的电场强度为 。试求该均匀平面波的波长和相速。A. B. C. D.
• 【正确答案】 C • 【解析】 由电场表达式 可读出角频率 ，相位常数 。相速 ；波长 。
30.（2分） 均匀平面波从空气垂直入射到 处的理想导体表面。已知入射波的磁场为 ，其中 为给定的常数，则理想导体表面的面电流密度分布 为：A. B. C. D.
• 【正确答案】 C • 【解析】 电磁波垂直入射理想导体表面发生全反射，表面的总磁场是入射场和反射场的叠加，即 。因此表面磁场为 。根据边界条件 ，波从 向 遇到导体，法向向量 。计算：。
均匀平面波入射，说明电场矢量方向与法线如入射线构成的入射面平行，又是垂直入射，根据“小矩形”以及导体内部无电场可得入射电场方向与反射电场方向相反，相互抵消；同时传播方向z也反向，根据可知，磁场方向始终没变，则变为原来的两倍；方向的判定：由于导体内部无任何电磁场，而入射的切向的，根据“小矩形”会在导体内部产生一个和其方向相反的，为了抵消这个内部的，导体表面产生电流密度来抵消，抵消的同时在外部又产生了一个方向和大小完全等于的量，则获得了两倍，同时我们可以使用右手定则，定义法向量 垂直于表面的（从导体指向空气），则可得到：
二、判断题
31.（2分） 哈密顿算子 具有矢量和微分运算特性。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 B • 【解析】（Nabla）算子是一个微分算子，同时它在数学上作为空间矢量参与点乘（散度）、叉乘（旋度）等运算，具有双重特性。
32.（2分） 空间任意点标量函数的梯度的大小等于方向导数，方向指向函数值减小的方向。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 A • 【解析】 梯度的方向是定义为指向函数值增加最快的方向，而不是减小的方向。
33.（2分） 根据矢量恒等式 ，任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零，可以表示成某一矢量函数的旋度的矢量场称为有位场，必然为有旋场。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 A • 【解析】 根据恒等式 ，任意矢量场的旋度必定是一个无源场（其散度为0）。注：部分教材的称呼“有位场/有旋场”等名词的翻译或使用习惯可能存在特异性，但本题干的核心逻辑在题库中被判定为正确。
34.（2分） 物质对电磁场的响应可分为极化、磁化和传导。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 A • 【解析】 物质在电磁场作用下的三种基本宏观物理响应就是：极化（发生于电介质）、磁化（发生于磁介质）、传导（发生于导电媒质）。
35.（2分） 电磁学的三大基本实验定律指的是库仑定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 A • 【解析】 这三个定律是通过实验建立的经典宏观电磁学的三大支柱定律，也是推导麦克斯韦方程组的物理基石。
36.（2分） 麦克斯韦提出位移电流假设和涡旋磁场假设，总结出电磁场的普遍规律并用麦克斯韦方程组表示，最终完成电磁理论的构建。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 B • 【解析】 这是电磁学发展史的核心事实。麦克斯韦引入位移电流修正了安培环路定律，并系统化了偏微分方程组。
37.（2分） 线性和各向同性媒质的结构方程为 。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 A • 【解析】 这三个公式正是描述宏观媒质属性（介电、导磁、导电）与电磁场量之间线性响应关系的媒质本构方程（结构方程）。
38.（2分） 静电场中的电场强度 和电位 的关系是 。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 B • 【解析】 静电场是无旋场（保守场），可以由一个标量电位的负梯度来唯一确定。
39.（2分） 静电场的基本方程 表明静电场是一个无旋场， 表明静电场是一个有源场。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 B • 【解析】 环路积分为 0 是保守场（无旋场）的充要条件；面积分等于内部电荷总量（高斯定理）说明自由电荷是电位移矢量线的源泉（有源场）。
40.（2分） 静电场的能量是以能量密度的形式分布在整个空间。静电场的能量恒为正。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 A • 【解析】 静电场能量密度 ，由于 且 ，因此能量密度处处非负，总能量恒为正。
41.（2分） 利用分离变量法求解静电场边值问题时，最重要的就是确定既能满足拉普拉斯方程又能满足边界条件的每个分离函数的具体形式。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 B • 【解析】 分离变量法的核心正是将多变量偏微分方程分解为单变量常微分方程，然后根据不同维度的边界条件确定本征函数的具体类型（如三角函数还是双曲函数）。
42.（2分） 恒定磁场的磁感应强度 可以用矢量磁位表示成 ，矢量磁位 满足库仑规范是指 。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 B • 【解析】 因为 ，所以可以引入矢量磁位 使得 。为了唯一确定 ，需要规定它的散度，静态场中常用库仑规范即令 。
43.（2分） 时域分析和频域分析中，对时间坐标的微积分具有相同的运算规则。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 B • 【解析】 在时域中是直接对 求微积分；在频域（时谐场）中，对 的偏导映射为代数乘法乘以 ，对 的积分映射为除以 。运算规则不相同。
44.（2分） 时变电磁场的矢量磁位 和标量电位 之间的关系满足洛伦茨规范。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 A • 【解析】 为了解耦和简化时变场中的达朗贝尔波动方程，人为引入了洛伦茨规范约束条件：。
45.（2分） 导电媒质中复介电常数和复磁导率的实部分别对应导电媒质的介电常数和磁导率，虚部分别表示电损耗和磁损耗。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 B • 【解析】 复参数的引入就是为了用统一的形式描述媒质特性。实部代表储能能力（本征介电/磁导性质），虚部则代表由于传导或交变极化/磁化引起的能量损耗。
46.（2分） 均匀平面波是指电磁波的传播方向为直线，等相位面为平面，且在等相位面上各点的电磁场的大小和方向都是相等的。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 A • 【解析】 这是均匀平面波严谨的物理定义。电场和磁场仅仅依赖于传播方向的坐标，在横截面上分布完全均匀。
47.（2分） 均匀平面波是横电磁波，即没有横向方向的分量。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 A • 【解析】 均匀平面波是横电磁波（TEM波），这意味着它没有纵向分量（在波的传播方向上没有电磁场分量），而电场和磁场全部都位于横向面上。题目描述反了。
48.（2分） 在讨论斜入射时，入射面是指入射线和界面法线所确定的平面，垂直极化斜入射是指入射波的电场强度与入射面平行。A. 正确B. 错误
• 【正确答案】 B • 【解析】 入射面定义正确。但垂直极化是指电场强度垂直于入射面；平行极化才是指电场强度平行于入射面。
49.（2分） 当电磁波从介电常数较大的媒质向介电常数较小的媒质斜入射，无论入射角多大，都将产生全反射。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 A • 【解析】 产生全反射是有条件的：波虽然是从光密（介电常数大）射向光疏（介电常数小），但入射角必须大于或等于临界角，而不能是“无论入射角多大”。
50.（2分） 在非磁性理想介质分界面，只有当电磁波从光疏媒质向光密媒质斜入射、且入射角大于临界角时，才有可能出现全反射。A. 错误B. 正确
• 【正确答案】 A • 【解析】 全反射只能发生在电磁波从光密媒质向光疏媒质传播的过程中。从光疏向光密传播时，永远不会出现全反射现象。题干前提说反了。
