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今天我们来做习题1杠4，无穷小与无穷大，第4到第8题。
这5道题涉及求极限、定义对照表、有界性与无穷大的辨析，以及求渐近线，内容很丰富。我们开始吧！
第4题：求下列极限并说明理由。有两个小问。
好，先看第（1）小问：求埃克斯趋于无穷大时，埃克斯分之2埃克斯加1的极限。
这个怎么做？
埃克斯分之2埃克斯加1，可以拆成2加上埃克斯分之1。因为埃克斯趋于无穷大时，埃克斯分之1趋于0，它是一个无穷小。所以埃克斯趋于无穷大时，2加埃克斯分之1的极限等于2。
理由是什么？
理由是这样的：由定理2，埃克斯分之1为当埃克斯趋于无穷大时的无穷小；再由定理1，埃克斯趋于无穷大时，2加埃克斯分之1的极限等于2。也就是说，常数加无穷小的极限等于常数本身。
第（2）小问：求埃克斯趋于0时，1减埃克斯分之1减埃克斯平方的极限。
注意，埃克斯趋于0时埃克斯不等于1，所以1减埃克斯不等于0，可以约分。1减埃克斯平方等于1加埃克斯乘以1减埃克斯，约掉1减埃克斯后得到1加埃克斯。所以埃克斯趋于0时，1减埃克斯分之1减埃克斯平方的极限，就等于埃克斯趋于0时1加埃克斯的极限，等于1。
理由呢？
由定理1，埃克斯趋于0时1加埃克斯的极限等于1。
第5题：根据函数极限或无穷大定义，填写下表。这个表格有6行4列，行是不同的自变量变化方式，列是不同的极限或无穷大类型。
对。6行分别是：埃克斯趋于埃克斯零、埃克斯从右侧趋于埃克斯零、埃克斯从左侧趋于埃克斯零、埃克斯趋于无穷大、埃克斯趋于正无穷大、埃克斯趋于负无穷大。4列分别是：埃夫埃克斯趋于诶、埃夫埃克斯趋于无穷大、埃夫埃克斯趋于正无穷大、埃夫埃克斯趋于负无穷大。
内容很多，我们一行一行来讲。先看第一行，埃克斯趋于埃克斯零的情况。
第一行：埃克斯趋于埃克斯零
第一列，埃夫埃克斯趋于诶：任意艾普西隆大于0，存在德尔塔大于0，使当0小于埃克斯减埃克斯零的绝对值小于德尔塔时，即有埃夫埃克斯减诶的绝对值小于艾普西隆。
第二列，埃夫埃克斯趋于无穷大：任意埃姆大于0，存在德尔塔大于0，使当0小于埃克斯减埃克斯零的绝对值小于德尔塔时，即有埃夫埃克斯的绝对值大于埃姆。
第三列，埃夫埃克斯趋于正无穷大：任意埃姆大于0，存在德尔塔大于0，使当0小于埃克斯减埃克斯零的绝对值小于德尔塔时，即有埃夫埃克斯大于埃姆。
第四列，埃夫埃克斯趋于负无穷大：任意埃姆大于0，存在德尔塔大于0，使当0小于埃克斯减埃克斯零的绝对值小于德尔塔时，即有埃夫埃克斯小于负埃姆。
第二行：埃克斯从右侧趋于埃克斯零
和第一行类似，只是把条件0小于埃克斯减埃克斯零的绝对值小于德尔塔，换成了0小于埃克斯减埃克斯零小于德尔塔，也就是只考虑埃克斯大于埃克斯零的一侧。
所以四列的定义都把不等式从绝对值形式改为单侧形式。第一列：任意艾普西隆大于0，存在德尔塔大于0，使当0小于埃克斯减埃克斯零小于德尔塔时，即有埃夫埃克斯减诶的绝对值小于艾普西隆。
第二列：任意埃姆大于0，存在德尔塔大于0，使当0小于埃克斯减埃克斯零小于德尔塔时，即有埃夫埃克斯的绝对值大于埃姆。第三列和第四列同理，分别改为埃夫埃克斯大于埃姆和埃夫埃克斯小于负埃姆。
第三行：埃克斯从左侧趋于埃克斯零
左侧就是把条件改为0小于埃克斯零减埃克斯小于德尔塔，也就是只考虑埃克斯小于埃克斯零的一侧。
对。四列分别把不等式改为0小于埃克斯零减埃克斯小于德尔塔，其余结论不变。
第四行：埃克斯趋于无穷大
条件改为埃克斯的绝对值大于大埃克斯。第一列：任意艾普西隆大于0，存在大埃克斯大于0，使当埃克斯的绝对值大于大埃克斯时，即有埃夫埃克斯减诶的绝对值小于艾普西隆。
第二列：任意埃姆大于0，存在大埃克斯大于0，使当埃克斯的绝对值大于大埃克斯时，即有埃夫埃克斯的绝对值大于埃姆。第三列和第四列同理。
第五行：埃克斯趋于正无穷大
条件改为埃克斯大于大埃克斯。四列的定义分别用埃克斯大于大埃克斯来替换。
第六行：埃克斯趋于负无穷大
条件改为埃克斯小于负大埃克斯。四列的定义分别用埃克斯小于负大埃克斯来替换。
这道题本质上就是把各种极限和无穷大的定义系统地整理在一起。填写的关键是：先确定自变量变化方式对应的不等式条件，再确定函数值应满足的结论。
第6题：函数歪等于埃克斯乘以cos埃克斯在负无穷大到正无穷大内是否有界？这个函数是不是埃克斯趋于正无穷大时的无穷大？为什么？
这道题要分两个问题来回答。先看第一个：歪等于埃克斯乘以cos埃克斯是否在负无穷大到正无穷大内有界？
直觉上，埃克斯乘以cos埃克斯的绝对值可以无限增大吧？
对的，它是无界的。证明如下：对任意埃姆大于0，总能找到埃克斯零属于埃姆到正无穷大的开区间，使cos埃克斯零等于1，从而歪等于埃克斯零乘以cos埃克斯零等于埃克斯零大于埃姆。所以歪等于埃克斯乘以cos埃克斯在负无穷大到正无穷大内无界。
第二个问题：它是不是埃克斯趋于正无穷大时的无穷大？
答案是不是。虽然它无界，但不是无穷大。因为对任意埃姆大于0和大埃克斯大于0，总能找到埃克斯零属于大埃克斯到正无穷大的开区间，使cos埃克斯零等于0，从而歪等于埃克斯零乘以cos埃克斯零等于0小于埃姆。也就是说，不管你取多大的大埃克斯，总存在埃克斯大于大埃克斯使得函数值等于0，不满足埃夫埃克斯的绝对值大于埃姆。所以它不是无穷大。
这道题告诉我们一个重要区别：无界不等于无穷大。无界只要求函数值可以超过任意大的数，但无穷大还要求函数值最终始终超过任意大的数。cos埃克斯的振荡导致函数值不断回到0，所以不满足无穷大的定义。
第7题：证明函数歪等于埃克斯分之1乘以sin埃克斯分之1在区间0到1的左开右闭区间内无界，但这个函数不是埃克斯从右侧趋于0时的无穷大。
这道题和第6题的思想类似，但更加精巧。分两步来证。
第一步：证明无界
对任意埃姆大于0，在0到1的左开右闭区间内，总可找到点埃克斯零，使埃夫埃克斯零大于埃姆。怎么找呢？我们取埃克斯零等于2埃姆派加2分之派分之1，其中埃姆属于自然数。这里派是圆周率。
然后算埃夫埃克斯零。
对。此时sin埃克斯零分之1等于sin括号2埃姆派加2分之派等于1，所以埃夫埃克斯零等于埃克斯零分之1等于2埃姆派加2分之派。当埃姆充分大时，可以使埃夫埃克斯零大于埃姆。所以歪等于埃克斯分之1乘以sin埃克斯分之1在0到1的左开右闭区间内无界。
第二步：证明不是无穷大
第二步要证明它不是埃克斯从右侧趋于0时的无穷大。
对任意埃姆大于0和德尔塔大于0，总可找到点埃克斯零，使0小于埃克斯零小于德尔塔，但埃夫埃克斯零小于埃姆。这次我们取埃克斯零等于2埃姆派分之1，其中埃姆属于正整数。
算一下埃夫埃克斯零。
此时sin埃克斯零分之1等于sin括号2埃姆派等于0，所以埃夫埃克斯零等于2埃姆派乘以sin括号2埃姆派等于0小于埃姆。也就是说，不管德尔塔多小，在0到德尔塔的区间内总有函数值等于0的点，不满足埃夫埃克斯的绝对值大于埃姆。所以它不是埃克斯从右侧趋于0时的无穷大。
这道题再次说明了无界和无穷大的区别。函数值在某些点可以达到很大的值（所以无界），但在另一些点又回到0（所以不是无穷大）。sin函数的振荡是产生这种现象的根本原因。
最后一题，第8题：求函数埃夫埃克斯等于2减埃克斯平方分之4的图形的渐近线。
渐近线分水平渐近线和铅直渐近线两种。先看水平渐近线。
水平渐近线怎么求？
看埃克斯趋于无穷大时函数的极限。因为2减埃克斯平方分之4，当埃克斯趋于无穷大时，分母趋于负无穷大，分子是常数4，所以极限等于0。因为埃克斯趋于无穷大时埃夫埃克斯的极限等于0，所以歪等于0是函数图形的水平渐近线。
铅直渐近线呢？
铅直渐近线看函数在哪些点趋于无穷大。2减埃克斯平方等于0时，埃克斯平方等于2，埃克斯等于正负根号2。当埃克斯趋于负根号2时，分母趋于0，函数趋于无穷大；当埃克斯趋于正根号2时同样如此。所以埃克斯等于负根号2及埃克斯等于根号2都是函数图形的铅直渐近线。
所以这个函数有3条渐近线：1条水平渐近线歪等于0，2条铅直渐近线埃克斯等于根号2和埃克斯等于负根号2。
好，5道题全部讲完了。总结一下关键点吧。
第一，利用无穷小的性质可以简化极限的计算：常数加无穷小的极限等于常数本身。第二，第5题的表格系统地整理了各种极限和无穷大的定义，关键是掌握自变量变化方式对应的不等式条件。
第三，无界不等于无穷大——无界只要求函数值可以超过任意大的数，而无穷大要求函数值最终始终超过任意大的数。振荡函数（如cos埃克斯、sin埃克斯）是区分这两者的经典例子。第四，求渐近线时，水平渐近线看埃克斯趋于无穷大时的极限，铅直渐近线看函数趋于无穷大的点。
希望同学们通过这些题目，对无穷小与无穷大的概念有了更深入的理解。我们下次再见！
再见！
