东南大学 高等数学下 期末试卷解析

东南大学期末试卷

一、填空题（本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）

1. 曲面  在点  处的法线方程是 ________。
2. 设 ，则梯度  ________。
3. 已知 ，，则  在  方向的投影  ________。
4. 设闭曲线 ，取逆时针方向，则曲线积分  的值是 ________。
5. 设函数  具有一阶连续偏导数，则曲线积分  与路径无关的充分必要条件是 ________。
6. 二重积分  的值是 ________。
7. 设  为球面：，则曲面积分  的值是 ________。
8. 设  是折线 ，则曲线积分  的值是 ________。
9. 取  ________ （注：答案不唯一），可使得级数  收敛，且级数  发散。

二、计算下列各题（本题共 4 小题，满分 30 分）

1. （本小题满分 7 分）设 ，其中  具有连续的二阶偏导数， 具有连续导数，计算 ，。

2. （本小题满分 7 分）计算 ，其中 。

3. （本小题满分 8 分）计算二次积分 。

4. （本题满分 8 分） 求密度均匀分布的立体的质心坐标。

三、（14）. （本题满分 7 分） 试求过点  且与  轴相交，又与直线  垂直的直线方程。

四、（15）. （本题满分 7 分） 计算 ，其中  是柱面  被锥面  和平面  所截下的部分。

五、（16）. （本题满分 7 分） 计算 ，其中  为曲线 ，方向沿  增大的方向。

六、（17）. （本题满分 7 分） 计算 ，其中  为  被  所截部分，取上侧。

七、（18）. （本题满分 6 分） 证明不等式 。