文档内容
大湾区 2023—2024 学年第二学期期末联合考试
高二数学
本卷共 6页，19小题，满分 150分.考试时间 120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡
上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
{ } { }
a a = −1,a =8 a
1. 等差数列 n 中， 1 4 ，则 n 的公差d =（ ）
A. 3 B. 2 C. −2 D. −3
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据等差数列的公差计算公式即可求解．
a −a 9
【详解】由a = −1,a =8得，d = 4 1 = =3，
1 4 4−1 3
故选：A．
2. 已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 2 3
P a b a
则E
(ξ)=（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据分布列概率之和为1得2a+b=1，再由随机变量的期望公式计算即可.
【详解】由分布列的性质可得，a+b+a=1，即2a+b=1，
E (ξ)=1×a+2×b+3×a =4a+2b=2 ( 2a+b )=2.
故选：B．
3. 在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若X N ( µ,σ2 ) ，记 p = P (µ−σ< X <µ+σ) ，
1
p = P (µ−2σ< X <µ+2σ) ， p = P (µ−3σ< X <µ+3σ) ，经统计，某零件的尺寸大小X （单
2 3
位：dm）从正态分布N ( 30,25 ) ，则P ( X >40 )=（ ）
p p 1− p 1− p
A. 1− 1 B. 1− 2 C. 2 D. 3
2 2 2 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可得所求.
【详解】由题意知，X ∼ N ( 30,25 ) ，则µ=30，σ=5，∴µ−2σ=20，µ+2σ=40.
1−P ( 20≤ X ≤40 ) 1− p
结合正态曲线的对称性可得P ( X >40 )= = 2 .
2 2
故选：C.
4. 已知一组成对数据 ( x ,y )( i =1,2,,6 ) 中 y 关于 x 的一元非线性回归方程 y =bx2 +1，已知
i i
6 6 6
∑x2 =12,∑x =4,∑y =18，则b=（ ）
i i i
i=1 i=1 i=1
9 9
A. −1 B. 1 C. − D.
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得x2和y的平均数，根据样本中心满足回归方程，即可求解.
【详解】因为y关于x的一元非线性回归方程y =bx2 +1，
设t = x2，则回归直线方程yˆ =b ˆ t+1，
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学科网（北京）股份有限公司6 6 1 6 1 6
又因为∑x2 =12,∑y =18，可得 ∑x2 =2, ∑y =3，即样本中心为(2,3)，
i i 6 i 6 i
i=1 i=1 i=1 i=1
将样本中心(2,3)代入回归直线方程yˆ =b ˆ t+1，可得3=2b ˆ+1，解得b ˆ=1，即b=1.
故选：B.
5. 画n条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）
n2 +2n+1 n2 +n+2
A. 部分 B. 部分
2 2
n2 +3n n2 −n+4
C. 部分 D. 部分
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】设画n条线把圆最多分成a 部分，根据已知条件得到递推关系式，从而求出通项公式.
n
【详解】设画n条直线，将圆最多分割成a 部分，
n
则a =2，a −a =n(n≥2)，
1 n n−1
因此a −a =2,a −a =3,,a −a =n(n≥2)，
2 1 3 2 n n−1
(n−1)(n+2)
相加得：a −a =2+3+4++n= (n≥2)，
n 1 2
n2 +n+2
所以a = (n≥2)，
n 2
n2 +n+2
当n=1，a =2，符合上式，所以a = ，
1 n 2
故选：B.
6. 若函数 f ( x )=ex −klnx在区间 ( 1，e ) 上是增函数，则实数k的取值范围为（ ）
1
A.
(−∞，0 ]
B.
−∞，
e
C.
(−∞，e ]
D.
( −∞，ee
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为恒成立问题，然后求导得最值即可.
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学科网（北京）股份有限公司k
【详解】由 f′( x )=ex − ≥0，可得k≤ xex，记g ( x )= xex，x∈( 1，e ) ，
x
则g′( x )=( x+1 ) ex >0，所以g ( x ) 在 ( 1,e ) 单调递增，所以k ≤ g ( 1 )=e.
故选：C
7. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性
检验.整理所得数据后发现，若依据α=0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若
依据α=0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2的值可能为（ ）
附表：
α
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
α
A. 4.238 B. 4.972 C. 6.687 D. 6.069
【答案】D
【解析】
【分析】依据α的取值，得出χ2的取值范围，判断即可.
【详解】由题知χ2∈[ 5.024,6.635 ) ，故χ2的值可能为6.069.
故选：D.
8. 已知函数 f(x)= xα(x >0)，α为实数， f(x)的导函数为 f′(x)，在同一直角坐标系中， f(x)与 f′(x)
的大致图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得α>1，结合两函数图象
交点的位置舍去C项.
【详解】由 f(x)= xα,可得 f′( x )=αxα−1
1
对于A，当α=−1时，在第一象限上 f ( x )= x−1递减，对应 f′( x )=−x−2 =− 图象在第四象限且递增，
x2
故A项符合；
对于B,C,D,在第一象限上 f ( x ) 与 f′(x)的图象在(0,+∞)上都单调递增，故α>0且α−1>0，则α>1.
又由 f ( x )= f′( x ) 可得x =α>1，即 f(x)=xα与 f′( x )=αxα−1的图象交点横坐标应大于1，显然C项不
符合，B, D项均符合.
故选：C.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列函数中，存在极值点的是（ ）
1
A. y = x− B. y =−2x3 −x
x
C. y = xlnx D. y = xsinx
【答案】CD
【解析】
【分析】根据极值的定义以及导数符号对选项一一验证即可.
1
【详解】对于A，y = x− ，定义域为 (−∞,0 ) ( 0,+∞) ，
x
1 1
其导数y′=1+ >0，则函数y = x− 在 (−∞,0 ) 和 ( 0,+∞) 上单调递增，没有极值点，故A错误；
x2 x
对于B，y =−2x3 −x在定义域R上单调递减，没有极值点，故B错误；
对于C，y = xlnx，定义域为 ( 0,+∞) ，
1
其导数y lnx1，再x∈ 0, 时，y′<0，函数单调递减，
e
1
再x∈
,+∞ 时，y′>0，函数单调递增，
e
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学科网（北京）股份有限公司1
则当x= 时，函数取得极小值，故C正确；
e
对于D，y = xsinx，定义域为R，
π
其导数y′=sinx+xcosx，当x∈− ,0时，y′<0，函数单调递减，
2
π
当x∈ 0, 时，y′>0，函数单调递增，
2
则当x=0时，函数取得极小值，故D正确；
故选：CD.
10. 已知数列 { a } ，其前n项和记为S ，则（ ）
n n
A. 若 { a } 是等差数列，且a +a =a +a ，则 p+q=s+t
n p q s t
B. 若 { a } 是等差数列，且S = An2 +Bn+C ( A,B,C∈R ) ，则C =0
n n
C. 若 { a } 是等比数列，且S =2n+1+C，其中C为常数，则C =−2
n n
D. 若 { a } 是等比数列，则S ,S S ,S S ,也是等比数列
n k 2k k 3k 2k
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例判断AD选项，由等差等比数列的前n项和公式判断BC选项.
【详解】A选项中，当等差数列 { a } 是常数列时，由a +a =a +a ，就不能得到 p+q=s+t，所以
n p q s t
A是错误的；
1 d d
B选项中，设等差数列 { a } 公差为d，由前n项和S =na + n ( n−1 ) d = n2 + a − n，
n n 1 2 2 1 2
可知C =0，所以B是正确的；
C选项中，由S =2n+1+C可知，等比数列 { a } 公比不为1，设公比为q，
n n
( )
a 1−qn a a a
由等比数列前和公式得S = 1 = 1 − 1 qn，则有q2， 1 =−2，
n 1−q 1−q 1−q 1−q
则常数C =−2，所以C是正确的；
D选项中，等比数列 { a } 中，当公比q =−1时，若k =2，有S =0，则S ,S −S ,S −S ,⋅⋅⋅就不是
n 2 2 4 2 6 4
等比数列，所以D是错误的；
故选：BC．
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11. 设A，B是一次随机试验中的两个事件，且P(A)= ，P(B)= ，P(AB+ AB)= ，则（ ）
3 4 12
A. A，B相互独立 B. P(A+B)= 5 C. P ( B A ) = 1 D. P ( A B ) ≠ P ( B A )
6 3
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A、B，利用条件概率的定义与公式
可判定C、D.
【详解】由题意可知P(A)=1−P ( A ) = 2 ,P ( B ) =1−P ( B )= 3 ，
3 4
事件AB,AB互斥，且P ( AB ) +P ( AB )= P ( A ) ,P ( AB ) +P ( AB )= P ( B ) ，
所以P(AB+ AB)= P ( AB ) +P ( AB ) = P ( A )+P ( B )−2P ( AB )= 7 ，
12
2 1 7 1
即 + −2P ( AB )= ⇒ P ( AB )= = P ( A ) P ( B )，故A正确；
3 4 12 6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
则P(A+B)= P A +P B −P AB = P A +P B −P A ⋅P B
1 3 1 3 5
= + − × = ，故B正确；
3 4 3 4 6
1
( )
( ) P AB 6 1 1
由条件概率公式可知：P B A = = = ≠ ，故C错误；
P ( A ) 2 4 3
3
1 1
( ) −
( ) P AB P ( B )−P ( AB ) 4 6 1
P A B = = = = ，
P ( B ) P ( B ) 1 3
4
2 1
( ) P ( BA ) P ( A )−P ( AB ) 3 − 6 3 ( ) ( )
P B A = = = = 即P A B ≠ P B A ，故D正确.
P ( A ) P ( A ) 2 4
3
故选：ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1
12. 当x∈[ 0,3 ] 时，函数 f ( x )= x3−x+2的最小值为_______.
3
4 1
【答案】 ##1
3 3
【解析】
【分析】首先求函数的导数，并判断函数定义域内的单调性，即可求函数的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知， f′( x )= x2 −1=( x+1 )( x−1 )，
令
f′(
x
)=0，有x=1或x=−1（舍），
当x∈[ 0,1)时， f′(x)<0， f ( x ) 单调递减，当x∈( 1,3 ] 时， fx0， f ( x ) 单调递增，
1 4
所以当x=1时，函数取得最小值 f ( 1 )= −1+2= .
3 3
4
故答案为：
3
13. 将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同
的分配方法数是____________.
【答案】240
【解析】
【分析】把5名志愿者分成4组，再分配到4个社区即可.
【详解】把5名志愿者分成4组，有C2种分法，
5
再把每一种分法的4组分配到4个社区有A4种方法，
4
所以不同的分配方法数是C2A4 =240.
5 4
故答案为：240.
14. “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，
去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为
_____.
【答案】2037
【解析】
【分析】根据“杨辉三角”的特点可知n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n+1行，从而得
到第n+1行去掉所有为1的项的各项之和为：2n −2；根据每一行去掉所有为1的项的数字个数成等差数列
的特点可求得至第11行结束，数列共有45项，则第46项为C1 =11，从而加和可得结果.
11
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知，n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n+1行
则“杨辉三角”第n+1行各项之和为：2n
∴第n+1行去掉所有为1的项的各项之和为：2n −2
从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,⋅⋅⋅
则：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，即至第11行结束，数列共有45项
∴第46项为第12行第1个不为1的数，即为：C1 =11
11
∴前46项的和为：21−2+22 −2+23 −2+⋅⋅⋅+210 −2+11=2037
本题正确结果：2037
【点睛】本题考查数列求和的知识，关键是能够根据“杨辉三角”的特征，结合二项式定理、等差等比数
列求和的方法来进行转化求解，对于学生分析问题和总结归纳的能力有一定的要求，属于较难题.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 数列 { a } 满足a =1，a a +a −a =0.
n 1 n+1 n n+1 n
{ }
（1）求数列 a 通项公式；
n
cosnπ
（2）设b = +2，求数列 { b } 的前n项和S .
n 2a n n
n
1
【答案】（1）a = ；
n n
9n
,n=2k
4
（2）S = ,k∈N∗ .
n 7n−1
,n=2k−1
4
【解析】
【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得.
（2）利用（1）的结论，求出b ，按n为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和.
n
【小问1详解】
1 1
数列 { a } 中，a =1，a a +a −a =0，显然a ≠0，则 1，
n 1 n+1 n n+1 n n a a
n1 n
1 1
数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列， =1+(n−1)⋅1=n，
a a
n n
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学科网（北京）股份有限公司1
所以数列 { a } 通项公式是a = .
n n n
【小问2详解】
n
由（1）知，b =(−1)n⋅ +2，
n 2
n−1 n 9 9 n 9n
当n=2k,k∈N∗时，b +b =(−1)n−1⋅ +2+(−1)n⋅ +2= ，S = ⋅ = ，
n−1 n 2 2 2 n 2 2 4
9(n+1) n+1 7n−1
当n=2k−1,k∈N∗时，S =S −b = − −2= ，
n n+1 n+1 4 2 4
9n
,n=2k
4
所以S = ,k∈N∗ .
n 7n−1
,n=2k−1
4
16. 小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年
来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单
位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1∼5.
年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）.
5 5
参考数据：: y =1.32,∑x y =21.4, ∑( y − y )2 ≈0.55, 10 ≈3.16；
i i i
i=1 i=1
n
∑( x −x )( y − y )
i i
参考公式：相关系数r = i=1 ，回归方程yˆ =b ˆ x+aˆ中斜率和截距的最小二乘估
n n
∑( x −x )2 ∑( y − y )2
i i
i=1 i=1
n
∑( x −x )( y − y )
i i
计公式分别为b ˆ= i=1 ,aˆ = y−b ˆ x .
n
∑( x −x )2
i
i=1
【答案】（1）答案见解析
（2）yˆ =0.16xˆ+0.84
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由题意代入公式即可求出相关系数近似为0.92，说明y与x的线性相关程度较高，从而可以
用线性回归模型拟合y与x的关系；
（2）利用最小二乘法求出b ˆ=0.16，aˆ =0.84，即可得到y关于x的经验回归方程.
【小问1详解】
1+2+3+4+5 5 5
由已知得x = =3,y =1.32,∑( x −x )2 =10, ∑( y − y )2 ≈0.55,
5 i i
i=1 i=1
5 5
∑( x −x )( y − y )=∑x y −5x⋅y =21.4−5×3×1.32=1.6
i i i i
i=1 i=1
1.6
∴r ≈ ≈0.92.
3.16×0.55
因为y与x的相关系数近似为0.92，说明y与x的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y与x
的关系.
【小问2详解】
5 5
由题可得，∑x y =21.4,∑x2 =12 +22 +32 +42 +52 =55
i i i
i=1 i=1
5
∑( x −x )( y − y )
i i 1.6
b ˆ= i=1 = =0.16，aˆ = y−b ˆ x =1.32−0.16×3=0.84
5 55−5×32
∑x2 −5x2
i
i=1
故y关于x的经验回归方程为yˆ =0.16xˆ+0.84.
17. 某同学在研究二项式定理的时候发现： f ( x )=( 1+x )n =1+C1x+C2x2 ++Cn−1xn−1+Cnxn其中
n n n n
Cr 为xr 的系数，它具有好多性质，如：①1+C1 +C2 ++Cn−1+Cn =2n;②Cm =Cn−m;③
n n n n n n n
kCk =nCk−1；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题:
n n−1
（1）计算：C1 +2C2 +3C3 ++7C7；(请用数字作答)
7 7 7 7
n
（2）若n∈N*，且n≥3，证明： ∑k2Ck =n ( n+1 )⋅2n−2；
n
k=1
（3）设数列a ，a ，a ，…，a 是公差不为0的等差数列，证明：对任意的n∈N*，函数
0 1 2 n
p ( x )=a C0( 1−x )n +aC1x ( 1−x )n−1+a C2x2( 1−x )n−2 ++a Cnxn是关于x的一次函数.
0 n 1 n 2 n n n
【答案】（1）448；
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用Cm =Cn−m，结合组合数公式计算即得.
n n
n
（2）根据给定条件，利用kCk =nCk−1变形等式左边，再结合 ∑ Ck =2n推理即得.
n n−1 n
k=0
（3）设出等差数列的公差，利用首项、公差表示a 并代入函数式，再分组求和并逆用二项式定理推理即得.
n
【小问1详解】
原式=C1 +6C6 +2C2 +5C5 +3C3 +4C4 +7C7
7 7 7 7 7 7 7
=7(C0 +C1 +C2 +C3)=7(1+7+21+35)=7×64=448.
7 7 7 7
【小问2详解】
显然k2Ck =k⋅kCk =k⋅nCk−1，而kCk−1 =(k−1)Ck−1+Ck−1 =(n−1)Ck−2 +Ck−1，
n n n−1 n−1 n−1 n−1 n−2 n−1
因此k2Ck =n(n−1)Ck−2 +nCk−1，
n n−2 n−1
n n n
则 ∑k2Ck =n(n−1)∑Ck−2 +n∑Ck−1 =n(n−1)⋅2n−2 +n⋅2n−1 =n(n+1)2n−2 .
n n−2 n−1
k=1 k=2 k=1
所以原命题成立.
【小问3详解】
设等差数列a ，a ，a ，…，a 的公差为d，d ≠0，
0 1 2 n
则 p(x)=a C0(1−x)n +aC1x(1−x)n−1+a C2x2(1−x)n−2 ++a Cnxn
0 n 1 n 2 n n n
=a C0(1−x)n +(a +d)C1x(1−x)n−1++(a +nd)Cnxn
0 n 0 n 0 n
=a [C0(1−x)n +C1x(1−x)n−1++Cnxn]+d[C1x(1−x)n−1+2C2x2(1−x)n−2 ++nCnxn]
0 n n n n n n
=a [(1−x)+x]n +dnx[C0 (1−x)n−1+C1 x(1−x)n−2 ++Cn−1xn−1]
0 n−1 n−1 n−1
=a +dnx
x+( 1−x )
n−1
0
=a +dnx.
0
所以对任意的n∈N*， p(x)是关于x的一次函数.
【点睛】思路点睛：本题第（3）利用公差d,a 表示a ，借助分组求和的思想并逆用二项式定理即可推理
1 n
得证.
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学科网（北京）股份有限公司18. 为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了
一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家
1
庭数为随机变量X ( X ≥2 ) ，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为 ，已知各家庭抽查结果相互独立.
3
（1）求P ( X =4 ) ；
2
（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于 ，求整数n的最小值.
3
4
【答案】（1）
27
（2）7
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）利用错位相减法求取的家庭数X 不超过n的概率，再结合数列的单调性求解即可.
【小问1详解】
由题意，前三次抽到一户三胎家庭，第四次抽到一户三胎家庭，
2
1 2 1 4
所以P(X =4)=C1× × × = .
3 3 3 3 27
【小问2详解】
1 2
i−2
1 i−1 2
i−2
因为P(X =i)=C1 × ×
× = ×
(i≥2).
i−1
3 3 3 9 3
n
所以抽取的家庭数X 不超过n的概率为P =∑ P(X =i)= P(X =2)+P(X =3)++P(X =n)，
i=2
1 2 0 2 2 1 3 2 2 n−1 2 n−2
即P= ×
+ ×
+ ×
++ ×
，
9 3 9 3 9 3 9 3
2 1 2 1 2 2 2 n−2 2 n−2 n−1 2 n−1
P= ×
+ ×
++ ×
+ ×
，
3 9 3 9 3 9 3 9 3
1 1 2 0 2 1 2 2 2 n−2 n−1 2 n−1
两式相减，得 P= × + + ++ − × ,
3 9 3 3 3 3 9 3
n−1
2
所以P= 1 × 1− 3 − n−1 × 2 n−1 =1− 2 n−1 − n−1 × 2 n−1 =1− n+2 ⋅ 2 n−1 .
3
1−
2 3 3 3 3 3 3 3
3
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学科网（北京）股份有限公司n+2 2
n−1
2 2
n−1
由P=1− ⋅
≥ ，得(n+2)⋅
≤1，
3 3 3 3
n−1
2
令a =(n+2)⋅
(n≥2)，
n 3
2
n−1
2
n−2
1−n 2
n−2
则a −a =(n+2)⋅ −(n+1)⋅ = . <0(n≥3)，
n n−1 3 3 3 3
所以a 1,a =9×
= <1，
6 3 243 7 3 81
所以整数n的最小值是7.
19. 已知函数 f ( x )=lnx+1,g ( x )=ex −1.
（1）求曲线y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的公切线的条数；
（2）若a>0,∀x∈(−1,+∞) , f ( x+1 )≤a2g ( x )+a2 −a+1，求a的取值范围.
【答案】（1）2条 （2）a≥1
【解析】
1
=ex
2
【分析】（1）设切点，求导，分别求解 f ( x ) ,g ( x ) 的切线方程，根据公切线可得x ，
1
lnx =−x ex 2 +ex 2 −1
1 2
即可求解x =0或x =1，从而得解，
2 2
（2）将问题转化为ln ( x+1 )≤a2ex −a对于∀x∈(−1,+∞) 恒成立，根据x=0可得a≥1，进而构造函数
m(x)=lnx−x+1,证明ln ( x+1 )≤ x，即可先求解x≤a2ex −a，构造函数F ( x )= x−a2ex +a, ( x>−1 ) ，
求导，结合分类讨论即可求解.
【小问1详解】
设 f ( x )=lnx+1,g ( x )=ex −1的切点分别为 ( x , f ( x )) , ( x ,g ( x )) ，
1 1 2 2
1
则 f′( x )= ,g′(x)=ex，
x
1 1
故 f ( x )=lnx+1,g ( x )=ex −1在切点处的切线方程分别为y = ( x−x )+lnx +1⇒ y = x+lnx ，
x 1 1 x 1
1 1
y =ex 2 ( x−x )+ex 2 −1⇒ y =ex 2x−x ex 2 +ex 2 −1
2 2
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学科网（北京）股份有限公司则需满足；
1
x
=ex
2 ,故ln 1 =−x ex 2 +ex 2 −1⇒ ( ex 2 −1 )( x −1 )=0，
1 ex
2
2 2
lnx =−x ex 2 +ex 2 −1
1 2
解得x =0或x =1，
2 2
因此曲线y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 有两条不同的公切线，
【小问2详解】
由 f ( x+1 )≤a2g ( x )+a2 −a+1可得ln ( x+1 )+1≤a2 ( ex −1 ) +a2 −a+1，
即ln ( x+1 )≤a2ex −a对于∀x∈(−1,+∞) 恒成立，
ln ( 0+1 )≤a2e0 −a，结合a>0,解得a≥1
设m(x)=lnx−x+1,，
1
则当x>1时m′(x)= −1<0,m ( x )单调递减，当0< x<1时，m′(x)>0,m ( x ) 单调递增，
x
故当m(x)≤m ( 1 )=0，故lnx≤ x−1,
因此ln ( x+1 )≤ x， ( x>−1 ) ，
令F ( x )= x−a2ex +a, ( x>−1 ) ，则F′( x )=1−a2ex，
令F′( x )=1−a2ex =0，得x=−2lna，
当−2lna≤−1时，此时a≥ e，F′( x )=1−a2ex <0，故F ( x ) 在x>−1上单调递减，
e 2 e2 e 2 e2
所以 F(x)−1时，此时10，解得−1< x<−2lna,F ( x ) 单调递增，
令F′( x )=1−a2ex <0，解得x>−2lna,F ( x ) 单调递减，
故F ( x )≤ F ( x ) = F (−2lna )=−2lna−1+a，
max
2 a−2
令 p ( a )=−2lna−1+a，则 p′( a )=− +1= ，
a a
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学科网（北京）股份有限公司2 a−2
由于 1
