夜雨聆风
上海交通大学概率论与数理统计期末试题
一、单选题
1、 设与为随机事件，且，则必有（ ）。
A.；B.；C.；D.。
2、 设随机变量服从参数为 2 的指数分布，则服从（ ）。
A. 泊松分布；B. 指数分布；C. 正态分布；D. 均匀分布。
3、 设随机变量和相互独立，且都服从均匀分布，则以下随机变量中仍服从均匀分布的随机变量是（ ）。
A.；B.；C.；D.。
4、 设（参数的指数分布），则下列各式中错误的是（ ）。
A.；B.；C.；D.。
5、 设总体和相互独立，分别服从正态分布和，和是自然数，且，和为分别取自总体和的样本，若使
服从分布，则应满足的条件是
A.；B.；C.； D.。
二、填空题
6. 已知，则______。
7. 已知是取自于总体的样本，则是的无偏估计的充分必要条件为 ______。
8. 设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则______。
9. 设为取自总体的简单随机样本，，则方差______。
10. 设随机变量相互独立，且均服从参数为的分布，如果（标准正态分布函数），则______。
三、解答题
11. 假设袋中有 4 只球，其中 2 只是红球，每次从中随机取 1 只球，取出后不放回，直到 2 只红球都被取出为止。设为取球的次数。求：
(1)的分布律和分布函数；(2) 数学期望，方差。
12. 已知随机变量服从区域上的均匀分布，令随机变量
(1) 试求的分布律；(2) 试问随机变量与是否独立？是否不相关？为什么？
13. 已知随机变量的密度函数试求：
(1) 常数；(2) 条件密度函数；(3) 在条件下，的条件密度函数。
14. 设为取自均匀总体的简单随机样本，。(1) 试求统计量的概率密度函数；(2) 试求常数，使为参数的无偏估计。
15. 某装配生产线完成一件产品的装配所需时间（单位：min）服从参数的指数分布。
(1) 用切比雪夫不等式估计完成装配 1000 件产品需要 460 min 至 540 min 的概率；
(2) 用中心极限定理计算在当天的 9 个工作小时中能完成装配 1000 件产品的概率。（）
16. 设是来自总体的样本，考虑如下假设检验问题
若检验由拒绝域确定，求当时，检验犯两类错误的概率和。（）
17. 机器人通过迷宫的测试，迷宫的起点到终点之间有 5 个路口，每个路口有两条前进通道，其中只有一条是正确的。机器人在每个路口都需作出选择，用以确定继续前进的通道。设机器人在每个路口是否能作出正确选择是相互独立的，且只有 5 个路口的选择都正确时才能抵达终点。
某台机器人测试了 10 次，其中有 3 次抵达终点。试判断这台机器人在迷宫的路口是否具有作出选择的能力，并简单论述你作出此判断的依据。
四、证明题
18. 设和为任意随机事件，证明：
(1)
(2)。
参考解答
一、单选题
C由 ，可得 与 独立，所以
D，。对 ，故 。 C 独立且均服从 ，所以 服从二维均匀分布。、、 都不再是均匀分布。
B
A由中心极限和 分布构造条件可得
二、填空题
=1-P(B)-P(A-B)=1-0.5-0.3=0.2.
因为要使 是 的无偏估计，需 。
对泊松分布 ，所以 。
因为所以
由题意，随机变量 独立同分布，。 令则 相互独立，且因此即题设要求而要使极限为标准正态分布，需 ，故
三、解答题
11、解：袋中有 4 球（2红2白），不放回取球直到取完 2 个红球， 的可能取值为 2, 3, 4。
(1) 分布律与分布函数
：前两次均取到红球，。 ：前两次一红一白，第三次红球。。 ：。
分布律：
分布函数 ：
(2) 数学期望与方差
12、解：区域 面积为 2，联合密度 且 。面积 ，概率 。
：。面积 ，概率 。 ： 且 。不可能事件，概率 。 ：。面积 ，概率 。
分布律：
| 0 | ||
| 1 |
(2) 独立性与相关性
不独立：因为 ，而 。 相关：，，。协方差 。
13、解：
(1) 常数 由概率密度的归一性 ：
计算积分得 ，解得 。
(2) 条件密度 首先求边缘密度 （当 时）：
则条件密度为：
(3) 时的条件密度将 代入上式：
14、解：
(1) 的密度总体 ，其分布函数为 ()。 的分布函数为 。 求导得概率密度：
(2) 求 计算 的期望：
要使 为无偏估计，需满足 ，即：
解得 。
15、解：单件时间 ，则 ，。 设总时间 ，则： （标准差 ）
(1) 切比雪夫不等式
(2) 中心极限定理9小时 = 540分钟。
查表得结果为 0.9943。
16、解：，。拒绝域 。
第一类错误 ( 真，)：
第二类错误 ( 真，)：
17、解：这是一个二项分布检验问题。 若机器人没有特殊能力（随机猜测），每个路口选对概率 ，通过5个路口到达终点的概率 。
设10次测试中抵达终点的次数为 ，则 。 现在观测到 。我们需要判断这是否是“小概率事件”。
计算在纯随机情况下，至少3次成功的概率（或恰好3次的概率）：
。
或者计算期望 。 实际观测值 3 远大于期望值 0.31。
所以这台机器人具有作出选择的能力。
如果机器人只是随机猜测，10次测试中成功3次的概率极低（约为0.003，远小于显著性水平0.05），属于小概率事件。根据小概率原理，我们有理由拒绝“机器人是随机猜测”的原假设，认为其成功率显著高于随机水平。
五、证明题
证：容易得到
① （全集） ②
(1)
(2)
