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概率论与数理统计题库
习题 一
1． 略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1） A发生，B，C都不发生；
（2） A与B发生，C不发生；
（3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；
（5） A，B，C都不发生；
（6） A，B，C不都发生；
（7） A，B，C至多有2个发生；
（8） A，B，C至少有2个发生.
【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC
(5) ABC=ABC (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C
(8)AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
3. 略.见教材习题参考答案
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4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）.
【解】 P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]
=1[0.70.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：
（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？
（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？
【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)
1 1 1 1 3
= + + =
4 4 3 12 4
7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？
【解】 p=C5 C3 C3 C2 /C13
13 13 13 13 52
8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A ={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故
1
1 1
P（A ）= =（ ）5 （亦可用独立性求解，下同）
1
75 7
（2） 设A ={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
2
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65 6
P（A ）= =( )5
2
75 7
(3) 设A ={五个人的生日不都在星期日}
3
1
P（A ）=1P(A )=1( )5
3 1
7
9. 略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30.如图阴影部分所示.
302 1
P
602 4
22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：
6
（1） 两个数之和小于 的概率；
5
1
（2） 两个数之积小于 的概率.
4
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【解】 设两数为x,y，则0乙 ）=（甲 ≤乙 ）=（n+1甲 ≤n乙 ）
正 正 正 正 反 反
=（甲 ≥1+乙 ）=（甲 >乙 ）
反 反 反 反
由对称性知P（甲 >乙 ）=P（甲 >乙 ）
正 正 反 反
1
因此P(甲 >乙 )=
正 正
2
46. 证明“确定的原则”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B).
【证】由P（A|C）≥P(B|C),得
P(AC) P(BC)
,
P(C) P(C)
即有 P(AC) P(BC)
同理由 P(A|C) P(B|C),
得 P(AC) P(BC),
故 P(A) P(AC)P(AC) P(BC)P(BC) P(B)
47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.
【解】 设A={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则
i
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(n1)k 1
P(A) (1 )k
i nk n
2
P(AA )(1 )k
i j n
n1
P(A A A )(1 )k
i 1 i 2 i n1 n
其中i ,i ,…,i 是1，2，…，n中的任n1个.
1 2 n1
显然n节车厢全空的概率是零，于是
n 1 1
S P(A)n(1 )k C1(1 )k
1 i n n n
i1
2
S P(AA )C2(1 )k
2 i j n n
1ijn
n1
S P(A A A )Cn1(1 )k
n1 i1 i 2 i n1 n n
1ii i n
1 2 n1
S 0
n
n
P( A)S S S (1)n1S
i 1 2 3 n
i1
1 2 n1
C1(1 )k C2(1 )k (1)nCn1(1 )k
n n n n n n
故所求概率为
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n 1 2 n1
1P( A)1C1(1 )k C2(1 )i (1)n1Cn1(1 )k
i1 i n n n n n n
48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.
【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
1(1)n 1(n)
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的
概率是多少？
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
m n
由题知 P(B) ,P(B)
mn mn
1
P(A|B) ,P(A|B)1
2r
则由贝叶斯公式知
P(AB) P(B)P(A|B)
P(B| A)
P(A) P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)
m 1
mn 2r m
m 1 n m2rn
1
mn 2r mn
50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一
盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？
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1
【解】以B 、B 记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B ) P(B ) .（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2nr次，设n次取自B 盒（已
1 2 1 2 2 1
空），nr次取自B 盒，第2nr+1次拿起B ，发现已空。把取2nr次火柴视作2nr重贝努里试验，则所求概率为
2 1
1 1 1 1
p 2Cn ( )n( )nr Cn
1 2nr 2 2 2 nr 22rr
式中2反映B 与B 盒的对称性（即也可以是B 盒先取空）.
1 2 2
（2） 前2nr1次取火柴，有n1次取自B 盒，nr次取自B 盒，第2nr次取自B 盒，故概率为
1 2 1
1 1 1 1
p 2Cn1 ( )n1( )nr Cn1 ( )2nr1
2 2nr1 2 2 2 2nr1 2
51. 求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
(q p)n C0p0qn C1pqn1C2p2qn2 Cnpnq0 1
n n n n
(q p)n C0p0qn C1pqn1C2p2qn2 (1)nCnpnq0
n n n n
以上两式相减得所求概率为
p C1pqn1C3p3qn3
1 n n
1
[1(q p)n]
2
1
[1(12p)n]
2
若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
1
p [1(12p)n].
2 2
52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值.
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【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
所求 (AB)(AB)(AB)(AB)
[(ABAB)(AB AB)]
故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)
9
3P(A)3[P(A)]2
16
1 3 1 1
故P(A) 或 ,按题设P（A）< ,故P（A）= .
4 4 2 4
54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.
1
【解】 P(AB) P(AB)1P(AB) ①
9
P(AB) P(AB) ②
故 P(A)P(AB) P(B)P(AB)
故 P(A) P(B) ③
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由A,B的独立性，及①、③式有
1
1P(A)P(B)P(A)P(B)
9
12P(A)[P(A)]2
[1P(A)]2
1
故 1P(A)
3
2 4
故 P(A) 或P(A) （舍去）
3 3
2
即P（A）= .
3
55.随机地向半圆00,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小.(2006研考)
解：因为 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(B)P(A B) P(B)
所以 P(AB) P(A)P(B)P(B) P(A).
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习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
【解】
X 3,4,5
1
P(X 3) 0.1
C3
5
3
P(X 4) 0.3
C3
5
C2
P(X 5) 4 0.6
C3
5
故所求分布律为
X 3 4 5
P 0.1 0.3 0.6
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2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：
（1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图；
(3)
1 3 3
P{X },P{1 X },P{1 X },P{1 X 2}.
2 2 2
【解】
X 0,1,2.
C3 22
P(X 0) 13 .
C3 35
15
C1C2 12
P(X 1) 2 13 .
C3 35
15
C1 1
P(X 2) 13 .
C3 35
15
故X的分布律为
X 0 1 2
P 22 12 1
35 35 35
（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
22
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
35
34
当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=
35
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当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1
故X的分布函数
0, x0
22
, 0 x1
35
F(x)
34
, 1 x2
35
1, x2
(3)
1 1 22
P(X ) F( ) ,
2 2 35
3 3 34 34
P(1 X ) F( )F(1) 0
2 2 35 35
3 3 12
P(1 X ) P(X 1)P(1 X )
2 2 35
34 1
P(1 X 2) F(2)F(1)P(X 2)1 0.
35 35
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
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P(X 0)(0.2)3 0.008
P(X 1)C10.8(0.2)2 0.096
3
P(X 2)C2(0.8)20.20.384
3
P(X 3)(0.8)3 0.512
故X的分布律为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
分布函数
0, x0
0.008, 0 x1
F(x)0.104, 1 x2
0.488, 2 x3
1, x3
P(X 2) P(X 2)P(X 3)0.896
4.（1） 设随机变量X的分布律为
k
P{X=k}=a ，
k!
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，
试确定常数a.
【解】（1） 由分布律的性质知
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k
1P(X k)a ae
k!
k0 k0
故 ae
(2) 由分布律的性质知
N N a
1P(X k) a
N
k1 k1
即 a 1.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
(1) P(X Y) P(X 0,Y 0)P(X 1,Y 1)P(X 2,Y 2)
P(X 3,Y 3)
(0.4)3(0.3)3C10.6(0.4)2C10.7(0.3)2+
3 3
C2(0.6)20.4C2(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3
3 3
0.32076
(2) P(X Y) P(X 1,Y 0)P(X 2,Y 0)P(X 3,Y 0)
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P(X 2,Y 1)P(X 3,Y 1)P(X 3,Y 2)
C10.6(0.4)2(0.3)3 C2(0.6)20.4(0.3)3
3 3
(0.6)3(0.3)3 C2(0.6)20.4C10.7(0.3)2
3 3
(0.6)3C10.7(0.3)2 (0.6)3C2(0.7)20.3
3 3
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能
保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有
P(X N)0.01
200
即 Ck (0.02)k(0.98)200k 0.01
200
kN1
利用泊松近似
np 2000.024.
e44k
P(X N) 0.01
k!
kN1
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不
小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
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【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
P(X 2)1P(X 0)P(X 1)
1e0.10.1e0.1
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
C1p(1 p)4 C2p2(1 p)3
5 5
1
故 p
3
1 2 10
所以 P(X 4)C4( )4 .
5 3 3 243
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
5
P(X 3)Ck(0.3)k(0.7)5k 0.16308
5
k3
(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
7
P(Y 3)Ck(0.3)k(0.7)7k 0.35293
7
k3
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
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（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
3 5
【解】（1）P(X 0)e 2 (2) P(X 1)1P(X 0)1e 2
11.设P{X=k}=Ckpk(1 p)2k, k=0,1,2
2
P{Y=m}=Cmpm(1 p)4m, m=0,1,2,3,4
4
5
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}= ，试求P{Y≥1}.
9
5 4
【解】因为P(X 1) ，故P(X 1) .
9 9
而 P(X 1) P(X 0)(1 p)2
4
故得 (1 p)2 ,
9
1
即 p .
3
65
从而 P(Y 1)1P(Y 0)1(1 p)4 0.80247
81
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
np 20000.0012
e225
得 P(X 5) 0.0018
5!
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3 1
13.进行某种试验，成功的概率为 ，失败的概率为 .以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
4 4
【解】X 1,2,,k,
1 3
P(X k)( )k1
4 4
P(X 2)P(X 4)P(X 2k)
1 3 1 3 1 3
( )3 ( )2k1
4 4 4 4 4 4
1
3 1
4
4 1 5
1( )2
4
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险
费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为
P(2000X 30000) P(X 15)1P(X 14)
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
14 e55k
P(X 15)1 0.000069
k!
k0
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(2)P(保险公司获利不少于10000)
P(300002000X 10000) P(X 10)
10 e55k
0.986305
k!
k0
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000） P(300002000X 20000) P(X 5)
5 e55k
0.615961
k!
k0
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae|x|, ∞a时，F（x）=1
即分布函数
0, x0
x
F(x) , 0 xa
a
1, xa
18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.
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【解】X~U[2,5]，即
1
, 2 x5
f(x)3
0, 其他
51 2
P(X 3) dx
3 3 3
故所求概率为
2 1 2 20
p C2( )2 C3( )3
3 3 3 3 3 27
1
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E( ).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，
5
以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
1
【解】依题意知X ~ E( )，即其密度函数为
5
1
x
e 5, x0
f(x)5
0, x0
该顾客未等到服务而离开的概率为
1 x
P(X 10) e 5dxe2
105
Y ~b(5,e2),即其分布律为
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P(Y k)Ck(e2)k(1e2)5k,k 0,1,2,3,4,5
5
P(Y 1)1P(Y 0)1(1e2)5 0.5167
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服
从N（50，42）.
（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则
x40 6040
P(X 60) P (2)0.97727
10 10
若走第二条路，X~N（50，42），则
X 50 6050
P(X 60) P
(2.5)0.9938++
4 4
故走第二条路乘上火车的把握大些.
（2） 若X~N（40，102），则
X 40 4540
P(X 45) P (0.5)0.6915
10 10
若X~N（50，42），则
X 50 4550
P(X 45) P (1.25)
4 4
1(1.25)0.1056
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故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N（3，22），
（1） 求P{20;
bx, 0 x1,
1
(2) f(x)= , 1 x2,
x2
0, 其他.
试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.
2a
【解】（1） 由 f(x)dx1知1 ae|x|dx2a exdx
0
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故 a
2
ex, x0
2
即密度函数为 f(x)
ex x0
2
x x 1
当x≤0时F(x) f(x)dx exdx ex
2 2
x 0 x
当x>0时F(x) f(x)dx exdx exdx
2 0 2
1
1 ex
2
故其分布函数
1
1 ex, x0
2
F(x)
1
ex, x0
2
1 2 1 b 1
(2) 由1 f(x)dx bxdx dx
0 1 x2 2 2
得 b=1
即X的密度函数为
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x, 0 x1
1
f(x) , 1 x2
x2
0, 其他
当x≤0时F（x）=0
x 0 x
当00时，F (y) P(Y y) P(ex y) P(X ln y)
Y
lny
f (x)dx
X
dF (y) 1 1 1
2y/2
f (y) Y f (ln y) eln , y 0
Y x
故 dy y y 2π
(2)P(Y 2X2 11)1
当y≤1时F (y) P(Y y)0
Y
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当y>1时F (y) P(Y y) P(2X2 1 y)
Y
y1 y1 y1
P X2 P X
2 2 2
(y1)/2
f (x)dx
X
(y1)/2
d 1 2 y1 y1
故 f (y) F (y) f f
Y dy Y 4 y1 X 2 X 2
1 2 1
e(y1)/4,y 1
2 y1 2π
(3) P(Y 0)1
当y≤0时F (y) P(Y y)0
Y
当y>0时F (y) P(| X | y) P(y X y)
Y
y
f (x)dx
X
y
d
故 f (y) F (y) f (y) f (y)
Y dy Y X X
2
ey2/2,y
0
2π
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31.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1） Y=eX的分布函数及密度函数；
（2） Z=2lnX的分布函数及密度函数.
【解】（1） P(0 X 1)1
故 P(1Y eX e)1
当 y1时F (y) P(Y y)0
Y
当10时，F (z) P(Z z) P(2ln X z)
Z
z
P(lnX ) P(X ez/2)
2
1
dx1ez/2
ez/2
即分布函数
0, z 0
F (z)
Z 1-e-z/2, z 0
故Z的密度函数为
1
ez/2, z 0
f (z)2
Z
0, z 0
32.设随机变量X的密度函数为
2x
, 0 xπ,
f(x)=π2
0, 其他.
试求Y=sinX的密度函数.
【解】P(0Y 1)1
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当y≤0时，F (y) P(Y y)0
Y
当00）=1，故0<1e2X<1，即P（06,则P（X1时，F (y) P(Y y) P(eX y) P(X ln y)
Y
lny 1
exdx1
0 y
1
1 , y>1
即 F (y) y
Y
0, y1
1
, y>1
故 f (y)y2
Y
0, y1
51.设随机变量X的密度函数为
1
f (x)= ,
X π(1 x2)
求Y=13 x 的密度函数f (y).
Y
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【解】F (y) P(Y y) P(1 3 X y) P(X (1 y)3)
Y
1 1
dx arctgx
(1y)3 π(1x2) π (1y)3
1 π
arctg(1 y)3
π2
3 (1 y)2
故 f (y)
Y π1(1 y)6
52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.
（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）
【解】（1） 当t<0时，F (t) P(T t)0
T
当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有
F (t) P(T t)1P(T t)1P(N(t)0)1et
T
1et, t 0
即 F (t)
T 0, t 0
即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。
e16
（2） Q P(T 16|T 8) P(T 16)/P(T 8) e8
e8
53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{1P{|Y-μ|<1}，试比较σ 与σ 的大小. (2006
1 1 2 2 1 2 1 2
研考)
X Y
解： 依题意 1 N(0,1)， 2 N(0,1)，则
1 2
66淘宝旺旺：智联职考 QQ：931232758 点击： 查询最新更新及仿冒认证 店扯：https://shop115748884.taobao.com/
X 1
P{X 1} P{ 1 }，
1
1 1
Y 1
P{Y 1} P{ 2 }.
2
2 2
因为P{X 1} P{Y 1}，即
1 2
X 1 Y 1
P{ 1 } P{ 1 }，
1 1 2 2
1 1
所以有 ，即 .
1 2
1 2
习题三
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1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
X 0 1 2 3
Y
1 0 1 1 1 3 1 1 1 0
C1 C2 3/8
3 2 2 2 8 3 2 2 2
3 1 0 0 1 1 1 1
8 2 2 2 8
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
X 0 1 2 3
Y
0 0 0
C2C2 3 C3C1 2
3 2 3 2
C4 35 C4 35
7 7
1 0
C1C1C2 6 C2C1C1 12 C3C1 2
3 2 2 3 2 2 3 2
C4 35 C4 35 C4 35
7 7 7
2 P(0黑,2红,2白)= 0
C1C2C1 6 C2C2 3
1 3 2 2 3 2
C2C2 /C4 C4 35 C4 35
2 2 7 35 7 7
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
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π π
sinxsin y, 0 x ,0 y
F（x，y）= 2 2
0, 其他.
π π π
求二维随机变量（X，Y）在长方形域0 x , y 内的概率.
4 6 3
π π π
【解】如图P{0 X , Y }公式(3.2)
4 6 3
π π π π π π
F( , )F( , )F(0, )F(0, )
4 3 4 6 3 6
π π π π π π
sin sin sin sin sin0sin sin0sin
4 3 4 6 3 6
2
( 31).
4
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
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Ae(3x4y), x 0,y 0,
f（x，y）=
0, 其他.
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
A
【解】（1） 由 f(x,y)dxdy Ae-(3x4y)dxdy 1
0 0 12
得 A=12
（2） 由定义，有
y x
F(x,y) f(u,v)dudv
y y 12e(3u4v)dudv (1e3x)(1e4y) y 0,x0,
0 0
0, 0, 其他
(3) P{0 X 1,0Y 2}
P{0 X 1,0Y 2}
1 2
12e(3x4y)dxdy (1e3)(1e8)0.9499.
0 0
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
k(6x y), 0 x2,2 y 4,
f（x，y）=
0, 其他.
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}；
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（3） 求P{X<1.5}；
（4） 求P{X+Y≤4}.
【解】（1） 由性质有
2 4
f(x,y)dxdy k(6x y)dydx8k 1,
0 2
1
故 R
8
1 3
（2） P{X 1,Y 3} f(x,y)dydx
1 31 3
k(6x y)dydx
0 2 8 8
(3) P{X 1.5} f(x,y)dxdy如图a f(x,y)dxdy
x1.5 D
1
1.5 41 27
dx (6x y)dy .
0 2 8 32
(4) P{X Y 4} f(x,y)dxdy如图b f(x,y)dxdy
XY4 D
2
2 4x1 2
dx (6x y)dy .
0 2 8 3
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题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
5e5y, y 0,
f
Y
（y）=
0, 其他.
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
1
, 0 x0.2,
f (x)0.2
X
0, 其他.
而
5e5y, y 0,
f (y)
Y 0, 其他.
所以
f(x,y)X,Y独立f (x)f (y)
X Y
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1
5e5y 25e5y, 0 x0.2且y 0,
0.2
0,
0, 其他.
(2) P(Y X) f(x,y)dxdy如图25e5ydxdy
yx D
0.2 x 0.2
dx 25e-5ydy (5e5x 5)dx
0 0 0
=e-1 0.3679.
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
(1e4x)(1e2y), x 0, y 0,
F（x，y）=
0, 其他.
求（X，Y）的联合分布密度.
2F(x,y) 8e(4x2y), x0,y 0,
【解】 f(x,y)
xy 0, 其他.
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
4.8y(2x), 0 x1,0 y x,
f（x，y）=
0, 其他.
求边缘概率密度.
【解】 f (x) f(x,y)dy
X
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x 4.8y(2x)dy 2.4x2(2x), 0x1,
= 0
0,
0, 其他.
f (y) f(x,y)dx
Y
1
4.8y(2x)dx 2.4y(34y y2), 0 y1,
= y
0,
0, 其他.
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
ey, 0 x y,
f（x，y）=
0, 其他.
求边缘概率密度.
【解】 f (x) f(x,y)dy
X
74淘宝旺旺：智联职考 QQ：931232758 点击： 查询最新更新及仿冒认证 店扯：https://shop115748884.taobao.com/
eydy ex, x0,
= x
0,
0, 其他.
f (y) f(x,y)dx
Y
y eydx yex, y 0,
= 0
0,
0, 其他.
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
cx2y, x2 y 1,
f（x，y）=
0, 其他.
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度.
【解】（1） f(x,y)dxdy如图 f(x,y)dxdy
D
1 1 4
= dx cx2ydy c1.
-1 x2 21
75淘宝旺旺：智联职考 QQ：931232758 点击： 查询最新更新及仿冒认证 店扯：https://shop115748884.taobao.com/
21
得 c .
4
(2) f (x) f(x,y)dy
X
1 21 21
x2ydy x2(1x4), 1 x1,
x2 4 8
0, 0, 其他.
f (y) f(x,y)dx
Y
y 21 7 5
x2ydx y2, 0 y1,
y 4 2
0, 0, 其他.
11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
1, y x,0 x1,
f（x，y）=
0, 其他.
求条件概率密度f （y｜x），f （x｜y）.
Y｜X X｜Y
76淘宝旺旺：智联职考 QQ：931232758 点击： 查询最新更新及仿冒认证 店扯：https://shop115748884.taobao.com/
题11图
【解】 f (x) f(x,y)dy
X
x
1dy 2x, 0 x1,
x
0, 其他.
1
1dx1 y, 1 y0,
y
1
f (y) f(x,y)dx 1dx1 y, 0 y1,
Y
y
0, 其他.
所以
1
f(x,y) , | y| x1,
f (y|x) 2x
Y|X f (x)
X 0, 其他.
1
, y x1,
1 y
f(x,y) 1
f (x| y) , y x1,
X|Y f (y) 1 y
Y
0, 其他.
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布；
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（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1） X与Y的联合分布律如下表
3 4 5
Y P{X x}
X i
1 6
1 1 2 2 3 3
10
C3 10 C3 10 C3 10
5 5 5
2 0 3
1 1 2 2
10
C3 10 C3 10
5 5
3 0 0 1
1 1
10
C2 10
5
1 3 6
P{Y y}
i 10 10 10
6 1 6 1
(2) 因P{X 1}P{Y 3} P{X 1,Y 3},
10 10 100 10
故X与Y不独立
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
2 5 8
X
Y
0.4 0.15 0.30 0.35
0.8 0.05 0.12 0.03
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（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1）X和Y的边缘分布如下表
X 2 5 8 P{Y=y i }
Y
0.4 0.15 0.30 0.35 0.8
0.8 0.05 0.12 0.03 0.2
0.2 0.42 0.38
P{X x}
i
(2) 因P{X 2}P{Y 0.4}0.20.8 0.160.15 P(X 2,Y 0.4),
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
1
ey/2, y 0,
f
Y
（y）=2
0, 其他.
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
1
y
1, 0 x1, e 2, y 1,
【解】（1） 因 f (x) f (y)2
X 0, 其他; Y
0, 其他.
1
ey/2 0 x1,y 0,
故 f(x,y)X,Y独立f (x)f (y)2
X Y
0, 其他.
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题14图
(2) 方程a2 2XaY 0有实根的条件是
(2X)2 4Y 0
故 X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
P{X2 Y} f(x,y)dxdy
x2y
1 x2 1
dx ey/2dy
0 0 2
1 2[(1)(0)]
0.1445.
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为
1000
, x 1000,
f（x）= x2
0, 其他.
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求Z=X/Y的概率密度.
X
【解】如图,Z的分布函数F (z) P{Z z} P{ z}
Z Y
(1) 当z≤0时，F (z)0
Z
1000
（2） 当00)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（01}=P{}=0,
P{X=1,Y=1}=P{U>1,U≤1}
1 dx 1
P{1U 1}
1 4 4
2dx 1
P{X 1,Y 1} P{U 1,U 1} P{U 1} .
1 4 4
故得X与Y的联合概率分布为
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
(X,Y)~ 1 1 1 .
0
4 2 4
(2) 因D(X Y) E[(X Y)2][E(X Y)]2,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应
为
2 0 2 0 4
X Y ~ 1 1 1 , (X Y)2 ~ 1 1 .
4 2 4 2 2
1 1
从而E(X Y)(2) 2 0,
4 4
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E[(X Y)2]0 4 2,
2 2
所以D(X Y) E[(X Y)2][E(X Y)]2 2.
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31.设随机变量X的概率密度为f(x)= ex ，（∞
