Exercise*4.10 Chow's Lemma

题目

*4.10. Chow's Lemma. This result says that proper morphisms are fairly close to projective morphisms. Let  be proper over a noetherian scheme . Then there is a scheme  and a morphism  such that  is projective over , and there is an open dense subset  such that  induces an isomorphism of  to . Prove this result in the following steps.

(a) Reduce to the case  irreducible.

(b) Show that  can be covered by a finite number of open subsets , , each of which is quasi-projective over . Let  be an open immersion of  into a scheme  which is projective over .

(c) Let , and consider the map

deduced from the given maps  and . Let  be the closed image subscheme structure (Ex. 3.11d) . Let  be the projection onto the first factor, and let  be the projection onto the product of the remaining factors. Show that  is a closed immersion, hence  is projective over .

(d) Show that  is an isomorphism, thus completing the proof.

约定：下文所有 fiber product 均在  上取，结构态射记为 。仅使用 open/closed immersion、fiber product、separated、proper、projective、closed image subscheme 等 Hartshorne II.4 之前的基础概念与语言。

(a) 归约到  irreducible 的情形

先说明一个易出错的点：若  非 reduced，不能直接给 irreducible component 赋予 reduced 结构，否则无法在 dense open set 上与原非 reduced  同构。

因  Noetherian，且  是 proper morphism，故  是 Noetherian scheme，其拓扑空间只有有限个 irreducible component

对应 generic point 记为 。

对每个分支 ，设  是定义其 reduced closed subscheme 结构的 ideal sheaf。在 generic point  处，茎  就是局部环  的 nilradical。Noetherian 局部环的 nilradical 是幂零的，因此存在整数  和  的 open neighborhood ，使得

进一步收缩 ，可使

于是  是  中的 open set，且集合论上仅含于第  个 irreducible component 。

令  是由 ideal sheaf  定义的 closed subscheme，则 ，故  irreducible；又因它是 proper -scheme  的 closed subscheme，故  也是 proper morphism。并且在 open set  上有

作为 scheme 完全相等。

假设定理对 irreducible 的 proper -scheme 成立，则对每个 ，存在 -projective scheme 、morphism ，以及 dense open set ，使得

令

其中  通过  视为  中的 open set。由于  是  的 open set 且避开其他分支，因此  实际上是  的 open set。各  两两不交，且每个都包含 generic point ，故

是  的 dense open subset。

令

为有限 disjoint union。有限个 -projective scheme 的 disjoint union 仍是 -projective 的：将每个  closed immersion 到某个 ，再利用  的不同坐标截面分离各分支，即可将  closed immersion 到同一个 projective -scheme。

定义 morphism

为各  的并。因  且  仅落在第  个分支上，故

因此只需证明  irreducible 的情形。

下文均假设  irreducible。

(b) 用有限个 quasi-projective open set 覆盖 

任取点 。因  是 scheme，存在 affine open set

包含 。 是  的 open subscheme，可取  的 affine open neighborhood

由于  是 finite type morphism，故  也是 finite type，即  是有限生成 -代数。取生成元 ，得到满同态

从而有 closed immersion

而  是  的 open subscheme（），因此复合  是 immersion，即  quasi-projective over 。

由此  的每一点都有 quasi-projective open neighborhood。又因  Noetherian，可取有限子覆盖：

其中每个  都 quasi-projective over 。

对每个 ，由 quasi-projective 的定义，存在 immersion 。令  为其 closed image subscheme，即  在  中的闭包并赋予 closed image subscheme 结构。由于  的像是 locally closed 的，故  是  的 open subscheme；又  是  的 closed subscheme，因此

是 projective morphism。

这样我们得到 open immersion

其中  projective over 。

(c) 构造 ，并证明  是 closed immersion

令

因  irreducible 且每个  都是非空 open set，有限交  仍是非空 dense open set。

记

由 open immersion  可得限制 morphism ，再由 fiber product 的泛性质得到

结合 open immersion ，最终得到对角 morphism

令

并赋予 Hartshorne Ex. II.3.11(d) 中的 closed image subscheme 结构。记

分别为两个投影在  上的限制。

下面证明  是 closed immersion。

首先， 是 proper morphism，做 base change 后

仍是 proper morphism。又  是 closed immersion，proper morphism 复合 closed immersion 仍 proper，故

是 proper morphism。特别地， 是闭映射，因此  是闭集。

将 open immersion  的像仍记为 ，令

其中  位于第  个因子位置。

第一步： 覆盖 

任取 。因  覆盖 ，存在指标  使得

考虑 open subscheme

在其中定义 closed subscheme ：它是满足「第  个  坐标等于  下的像」的点全体。严格来说， 是 morphism

对对角线  的逆像，其中  是 open immersion。 因  separated，对角线是 closed immersion，故  是  的 closed subscheme。

对任意 ， 显然落在  中（第  个坐标正是 ）。由 closed image subscheme 的最小性，

因此若 ，则

即

由此得

第二步：在每个  上， 是 closed immersion

在 open set  上，第  个坐标已落在  中，因此可定义 morphism

：取第  个坐标视为  的点，再通过 open immersion  映到  中。

因  separated（proper 蕴含 separated），故  的 graph

是 closed subscheme，且投影  是同构。

另一方面，，且事实上 ：对 ， 的第  个坐标就是 ，故 。

由 closed image subscheme 的最小性，

作为 closed subscheme 包含在  中。于是

是 closed immersion，即

为 closed immersion。

现在  是  中的闭集，而  覆盖了 。令

则  构成  的 open cover。在  上  的逆像为空，平凡地是 closed immersion；在每个  上已证是 closed immersion。Closed immersion 可在目标的 open cover 上局部检验，因此

是 closed immersion。

最后，因每个  projective，有限 fiber product

仍 projective over ；而  是 closed immersion，故

是 projective morphism。

(d) 证明  是同构

记

为前述 morphism，则

在 open subscheme  中就是  的 graph：

因  separated，故 graph

是 closed subscheme，且投影  是同构。

现在将闭像  限制到 open subscheme  上。由 closed image subscheme 结构的局部性，

正是  在  中的闭像。但在  中， 本身就是 closed subscheme ，因此

而

故

于是

就是 graph 投影 ，因此是同构。

综上，irreducible 情形下已构造出 -projective scheme  和 morphism ，使得在某个 dense open set  上有

结合 (a) 的归约，定理对一般 Noetherian proper -scheme  成立。