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学霸养成笔记
高分提档严选题
综上，f(:r，y) 在D上的最大值为8，最小值为0.
由dz= (2x、十12y)dx+ 02:r ＋4y)dy 知，z = :r2+ 12:ry +2y气
43. 叶z: ＝ 2叶12y= 0,
式＝1缸＋4y = o,
驻点：（0,0),z(O, O) = 0.
F（工，y，入）＝工2+ 12工y+2y2十入(4工2+y2— 25).
｛
旯＝21·+12y+8杠
＝0，
F: = 12:i-+ 4y + 2入y = 0,
启＝4工2+ y2 -25 = 0.
©
@
由O和＠式知：
{
（] ＋4入）x＋6y = 0，且有非零解
6x+ (2＋入）y = 0,
= O，解得入I
= 2,A2= －—,
17
2＋入
4
入1
= 2时，驻点P 1(2,— 3)，p2 (— 2.3),z
=— 50.
1+4入
则
6
6
1 7
3
3
入2=-—时，驻点凡(—,4),P,（— —
— 4)，z = －-
．
425
4
2
2'
4
比较得Zmu = 425
4 .
44.
设F（工，y,z,).) = xy +纭＋卢＋y2 + z 2— 10).
令［；一；y三三。
F'. = 工2+y2 +z2 — 10 = 0,
得可能的最值点AO,,./5,2),B(— 1,,./5, — 2),CCl, —乔
一
，2),D(— ]，一乔
一
，
－2),
E(2迈，o，— 五），FC-2疫，o，在）．
因为在A,D两点处u = 5乔
一
；在B,C两点处u =-5乔
一
；在E,F两点处u = 0,
45.
所以Uma, = 5石；Umm = -5乔．
作拉格朗日函数
l
F(x,y,z，入，µ) = x'+ y2 + z'十入(.1..2+y' — z) + µ(x+ y+ z — 4),
咒＝2x+2江十µ= 0,
F: = 2y+ 2入y + µ = o,
令F: = 2z
－入十µ = o,
F; = x2 + y2 - z = O,
贮＝x+y+z — 4 = o,
解方程组，得(x1，功，之，）＝ （1, 1, 2), (x2, y2, z 2) = (- 2, - 2, 8)．故所求的最大值为72，最小值为6.
设切点为P(x,y)，切线为Y-y= y'(x)(X-x)，由椭圆的方程可知切线斜率为y'（.'.l·)＝
46.
3x+ y ，截距X。=
l
l
x+3y
3x+y ,Y。=
，从而可得所求三角形面积为
x+3y
S=
1
2(l+8.ry) (.r ＞O,y>O).
根据题意作拉格朗日函数
F(.r，y,入)＝.ry十入(3正＋2.ry + 3y'-l)'
116
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