求极限讲义_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_04.寒假集训营_第一章求极限_课程作业+测试

三大计算训练营 主讲 武忠祥 教授 (一) 求极限 求极限常用的方法 方法1 利用基本极限求极限 1)常用的基本极限 sinx 1 1 lim 1, lim(1 x)x  e, lim(1 )x  e x0 x x0 x x ax 1 lim  lna (a 0), limn n 1, limn a 1,(a 0), x0 x n n a n , nm,  b a xn a xn1a xa  m lim n n1 1 0  0, nm, xb m xm b m1 xm1b 1 xb 0  , nm.    0, x 1,  0, x0,   , x 1,  limxn  limenx , x 0 n  1, x 1 n   1, x 0.  不存在， x 1. 2)“1”型极限常用结论 若lim(x)  0，lim(x)  ，且lim(x)(x)  A. 则lim[1(x)](x) eA. 可以归纳为以下三步: 1)写标准形式 原式lim[1(x)](x); 2)求极限 lim(x)(x) A; 3)写结果 原式eA. 【例1】(2012年，数三，4分) 11 lim(tanx)cosxsinx  . [e 2]  x 4 2 【例2】(2019年2)lim(x2x)x  __________. [4e2] x0 1ex 【例3】(2022年2,3)lim( )cotx  __________. [ e] x0 2 1 1 1 ax bx cx 【例4】 lim( )x ，其中a0,b0,c0. x 3 x  1 1 1   ax  bx  cx  3 【解】原式 lim 1    3   1 1 1 ax bx cx 3 lim( )x x 3 1 1 1 1 (ax 1)(bx 1)(cx 1)  lim 3x 1 x 1  (lnalnblnc) 3 ln3 abc 原式eln3abc 3 abc 2 2 【例5】(1994年3)limtann(  ) __________. [e4] n 4 n (x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1) 【例6】已知lim 0,，则（ ） x (2x1) 5! （A）5!,5. （B） ,5. 25 1 5 （C） ,5. （D） ,4. (B) 25 25 (x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)axb 【例7】已知lim 16,，则（ ） x0 x （A）a 1,b1. （B）a 2,b 1. （C）a 5,b1. （D）a 1,b 1. (D) 1xxn 【例8】lim  __________. n 1nx2n xx2n 【例9】lim  __________. n1x2n enx 3方法2 利用有理运算法则求极限 若lim f(x)  A, limg(x)  B,则 lim[f(x)g(x)]lim f(x)limg(x) AB； lim[f(x)g(x)]lim f(x)limg(x) AB； f(x) lim f(x) A lim   (B 0) g(x) limg(x) B 推论：1）若lim f(x) A0,则 lim f(x)g(x) Alimg(x) g(x) 1 lim  limg(x) f(x) A (即:极限非零的因子极限可先求出来) f(x) 2）若lim 存在，且limg(x)0,则lim f(x)0; g(x) f(x) 3) 若lim  A0,且lim f(x)0,则limg(x)0; g(x)  1 x et2 dt   1  【例1】（2021年1,2）求极限lim 0  . x0  ex 1 sinx   axbx2 ln(1x) 【例2】（2023年1,2）已知lim 1,则ab __________. x0 ex2 cosx 42x f(x)sinx f(x)sinx 【例3】已知lim 1,则lim ( ) x0 x2 x0 x2 （A）1 （B）ln2 （C）1ln2 （D）2 方法3 利用等价无穷小代换求极限 1.等价无穷小代换的原则 1）乘、除关系可以换；   若~,~,则lim lim 1. 1 1   1 2）加、减关系在一定条件下可以换；  (1) 若~,~,且lim 1  A1.则~ . 1 1  1 1 1  (2) 若~,~,且lim 1  A 1.则~ . 1 1  1 1 1 2.常用等价无穷小 当x0时, 1) x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ln(1 x)~ex 1; 1 (1 x)1~x, 1cosx~ x2， ax 1~ xlna, 2 x3 x3 x2 2) xsinx ~ ， tanx x ~ ， xln(1 x)~ 6 3 2 x3 x3 arcsinx x ~ ， xarctanx ~ 6 3 f(x) 3) 设 f(x)和g(x)在x 0的某邻域内连续，且lim 1,则 x0 g(x) x x  f(t)dt ~  g(t)dt 0 0 x x 【注】特别的如果当x0时， f(x)~ g(x)，则 f(t)dt ~  g(t)dt. 0 0 5x x 1 例如当x0时，ln(1x2)~ x2,则 ln(1t2)dt ~  t2dt  x3. 0 0 3 1 cosx 1 【例1】（1995年3）计算 lim . [ ] x0 x(1cos x) 2 【例2】（2008年，数一、数二，10分）  sinxsin  sinx   sinx 1 求极限lim . [ ] x0 x4 6 arctanxx 1 【例3】（2000年2）lim  ______. [ ] x0 ln(12x3) 6 arctanxsinx 1 【例4】（2007年2）lim  __________ [ ] x0 x3 6 arcsinxtanx 1 【例5】求极限lim  ___________. [ ] x0 tanxsinx 3 x 1 f(x)sinx2 1 【例6】已知函数 f(x)满足lim 2,则lim f(x) ______. x0 e3x 1 x0 6（2tanx）x 2x 1 【例7】求极限lim  ___________. [ ] x0 x2 2  1 cos2 x 4 【例8】（2004年3）lim   __________ [ ]   x0sin2 x x2  3 方法4 利用洛必达法则求极限 若 1） lim f(x) lim g(x)0(); xx xx 0 0 2） f(x)和g(x)在x 的某去心邻域内可导，且g(x)0; 0 f(x) 3） lim 存在（或）； xx g(x) 0 f(x) f(x) 则 lim  lim . xx g(x) xx g(x) 0 0 0  【注】 1)洛必达法则主要用于7种不定式： ， ，0，，1，0，00. 0  0  0  其中“ ”型或“ ” 可直接用，后5种可通过以下关系图化为“ ”型或“ ” 0  0  型极限来求.  1   0  0 0 ,  0     00    2)使用洛必达法则应该注意的几个问题 (1)使用洛必达法则之前，应该先检验其条件是否满足; (2)使用洛必达法则之后，如果问题仍然是未定型极限，且仍符合洛必达法则条件， 可以再次使用洛必达法则; 70  (3)如果“ ”型或“ ”型极限中的函数含有极限非零的因子，可以单独求极限， 0  不必参与洛必达法则运算，以简化运算; (4)如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合洛必达法则使用，也可以简化运算. x  tln(1tsint)dt 1 【例1】(2016年2)lim 0  ______. [ ] x0 1cosx2 2  2 【例2】求极限lim(xx 1)tan x. [ ] x1 2   1 1  【例3】（2020年1）lim    ____________. [1] x0ex 1 ln(1 x) 1 【例4】求极限 lim(x 1x2)x. [1] x ln(x 1 x2) 1  1 【例5】求极限lim( )x2. [e 6] x0 x 8x 【例6】求极限lim . x2xsinx x f(x)xf(x ) 【例7】设函数 f(x)可导，求极限lim 0 0 . [x f(x ) f(x )] xx xx 0 0 0 0 0 方法5 利用泰勒公式求极限 定理（带 Peano余项的泰勒公式）设 f(x)在x  x 处n阶可导，则 0 f(x ) f (n)(x ) f(x) f(x ) f(x )(xx ) 0 (xx )2 0 (xx )n o(xx )n 0 0 0 0 0 0 2! n! 特别是当x  0时 0 f (0) f (n)(0) f(x)  f(0) f (0)x x2  xn o(xn) 2! n! 几个常用的泰勒公式 x2 xn （1）ex 1 x  (xn) 2! n! x3 x2n1 （2）sinx  x (1)n1 (x2n1) 3! (2n1)! x2 x2n （3）cosx 1 (1)n (x2n) 2! (2n)! x2 xn （4）ln(1x) x (1)n1 (xn) 2 n 9(1) (1)(n1) (5) (1x) 1x x2  xn (xn) 2! n! x2 1  1x2  1  2 【例1】求极限lim .   x0 (cosxex2 )sinx2  12 【解1】 【解2】 ln(1sin2 x)x2  5 【例2】求极限lim .   x0 sin4 x  6 【解1】 【解2】 【解3】  1 1 2 【例3】(2023年3)limx22xsin cos  ______. [ ] x  x x 3 【解1】 【解2】 【解3】 104 【例4】设 f(x)在点x 0的某领域内二阶可导，且 f(0) 1, f(0)0, f(0) . 3 sinx xf (x) 求极限 lim . x0 x3 【解1】函数 f(x)带有佩亚诺余项的二阶麦克劳林公式为 f(0) f(x) f(0) f(0)x x2 (x2) 2! 2 即 f(x) 1 x2 (x2) 3 x3 sinx  x (x3) 3! 1 x3 (x3) sinx xf (x) 1 2 则 lim lim  x0 x3 x0 x3 2 sinxxf(x) sinxx xf(x)x 【解2】 lim lim lim x0 x3 x0 x3 x0 x3 1 f(x)1  lim 6 x0 x2 1 f(x)  lim 6 x0 2x 1 f(0)   （导数定义） 6 2 1  2 11