求极限讲义_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_04.寒假集训营_第一章求极限_课程作业+测试

三大计算训练营
主讲 武忠祥 教授
(一) 求极限
求极限常用的方法
方法1 利用基本极限求极限
1)常用的基本极限
sinx 1 1
lim 1, lim(1 x)x  e, lim(1 )x  e
x0 x x0 x x
ax 1
lim  lna (a 0), limn n 1, limn a 1,(a 0),
x0 x n n
a
n , nm,

b
a xn a xn1a xa  m
lim n n1 1 0  0, nm,
xb
m
xm b
m1
xm1b
1
xb
0  , nm.


 0, x 1,
 0, x0,

 , x 1, 
limxn  limenx , x 0
n  1, x 1 n 
 1, x 0.
 不存在， x 1.
2)“1”型极限常用结论
若lim(x)  0，lim(x)  ，且lim(x)(x)  A.
则lim[1(x)](x) eA.
可以归纳为以下三步:
1)写标准形式 原式lim[1(x)](x);
2)求极限 lim(x)(x) A;
3)写结果 原式eA.
【例1】(2012年，数三，4分)
11
lim(tanx)cosxsinx  . [e 2]

x
4
2
【例2】(2019年2)lim(x2x)x  __________. [4e2]
x0
1ex
【例3】(2022年2,3)lim( )cotx  __________. [ e]
x0 2
1 1 1
ax bx cx
【例4】 lim( )x ，其中a0,b0,c0.
x 3
x
 1 1 1 
 ax  bx  cx  3
【解】原式 lim 1
 
 3
 
1 1 1
ax bx cx 3
lim( )x
x 3
1 1 1
1 (ax 1)(bx 1)(cx 1)
 lim
3x 1
x
1
 (lnalnblnc)
3
ln3 abc
原式eln3abc 3 abc
2 2
【例5】(1994年3)limtann(  ) __________. [e4]
n 4 n
(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)
【例6】已知lim 0,，则（ ）
x
(2x1)
5!
（A）5!,5. （B） ,5.
25
1 5
（C） ,5. （D） ,4. (B)
25 25
(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)axb
【例7】已知lim 16,，则（ ）
x0 x
（A）a 1,b1. （B）a 2,b 1.
（C）a 5,b1. （D）a 1,b 1. (D)
1xxn
【例8】lim  __________.
n 1nx2n
xx2n
【例9】lim  __________.
n1x2n enx
3方法2 利用有理运算法则求极限
若lim f(x)  A, limg(x)  B,则
lim[f(x)g(x)]lim f(x)limg(x) AB；
lim[f(x)g(x)]lim f(x)limg(x) AB；
f(x) lim f(x) A
lim   (B 0)
g(x) limg(x) B
推论：1）若lim f(x) A0,则
lim f(x)g(x) Alimg(x)
g(x) 1
lim  limg(x)
f(x) A
(即:极限非零的因子极限可先求出来)
f(x)
2）若lim 存在，且limg(x)0,则lim f(x)0;
g(x)
f(x)
3) 若lim  A0,且lim f(x)0,则limg(x)0;
g(x)
 1 x et2 dt 
 1 
【例1】（2021年1,2）求极限lim 0  .
x0  ex 1 sinx
 
axbx2 ln(1x)
【例2】（2023年1,2）已知lim 1,则ab __________.
x0 ex2 cosx
42x f(x)sinx f(x)sinx
【例3】已知lim 1,则lim ( )
x0 x2 x0 x2
（A）1 （B）ln2 （C）1ln2 （D）2
方法3 利用等价无穷小代换求极限
1.等价无穷小代换的原则
1）乘、除关系可以换；
 
若~,~,则lim lim 1.
1 1  
1
2）加、减关系在一定条件下可以换；

(1) 若~,~,且lim 1  A1.则~ .
1 1  1 1
1

(2) 若~,~,且lim 1  A 1.则~ .
1 1  1 1
1
2.常用等价无穷小 当x0时,
1) x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ln(1 x)~ex 1;
1
(1 x)1~x, 1cosx~ x2， ax 1~ xlna,
2
x3 x3 x2
2) xsinx ~ ， tanx x ~ ， xln(1 x)~
6 3 2
x3 x3
arcsinx x ~ ， xarctanx ~
6 3
f(x)
3) 设 f(x)和g(x)在x 0的某邻域内连续，且lim 1,则
x0 g(x)
x x
 f(t)dt ~  g(t)dt
0 0
x x
【注】特别的如果当x0时， f(x)~ g(x)，则 f(t)dt ~  g(t)dt.
0 0
5x x 1
例如当x0时，ln(1x2)~ x2,则 ln(1t2)dt ~  t2dt  x3.
0 0 3
1 cosx 1
【例1】（1995年3）计算 lim . [ ]
x0 x(1cos x) 2
【例2】（2008年，数一、数二，10分）
 sinxsin  sinx   sinx 1
求极限lim . [ ]
x0 x4 6
arctanxx 1
【例3】（2000年2）lim  ______. [ ]
x0 ln(12x3) 6
arctanxsinx 1
【例4】（2007年2）lim  __________ [ ]
x0 x3 6
arcsinxtanx 1
【例5】求极限lim  ___________. [ ]
x0 tanxsinx 3
x 1 f(x)sinx2 1
【例6】已知函数 f(x)满足lim 2,则lim f(x) ______.
x0 e3x 1 x0
6（2tanx）x 2x 1
【例7】求极限lim  ___________. [ ]
x0 x2 2
 1 cos2 x 4
【例8】（2004年3）lim   __________ [ ]
 
x0sin2 x x2  3
方法4 利用洛必达法则求极限
若 1） lim f(x) lim g(x)0();
xx xx
0 0
2） f(x)和g(x)在x 的某去心邻域内可导，且g(x)0;
0
f(x)
3） lim 存在（或）；
xx g(x)
0
f(x) f(x)
则 lim  lim .
xx g(x) xx g(x)
0 0
0 
【注】 1)洛必达法则主要用于7种不定式： ， ，0，，1，0，00.
0 
0  0 
其中“ ”型或“ ” 可直接用，后5种可通过以下关系图化为“ ”型或“ ”
0  0 
型极限来求.
 1
 
0  0 0
, 
0 



00
  
2)使用洛必达法则应该注意的几个问题
(1)使用洛必达法则之前，应该先检验其条件是否满足;
(2)使用洛必达法则之后，如果问题仍然是未定型极限，且仍符合洛必达法则条件，
可以再次使用洛必达法则;
70 
(3)如果“ ”型或“ ”型极限中的函数含有极限非零的因子，可以单独求极限，
0 
不必参与洛必达法则运算，以简化运算;
(4)如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合洛必达法则使用，也可以简化运算.
x
 tln(1tsint)dt
1
【例1】(2016年2)lim 0  ______. [ ]
x0 1cosx2 2
 2
【例2】求极限lim(xx 1)tan x. [ ]
x1 2 
 1 1 
【例3】（2020年1）lim    ____________. [1]
x0ex 1 ln(1 x)
1
【例4】求极限 lim(x 1x2)x. [1]
x
ln(x 1 x2) 1  1
【例5】求极限lim( )x2. [e 6]
x0 x
8x
【例6】求极限lim .
x2xsinx
x f(x)xf(x )
【例7】设函数 f(x)可导，求极限lim 0 0 . [x f(x ) f(x )]
xx xx 0 0 0
0 0
方法5 利用泰勒公式求极限
定理（带 Peano余项的泰勒公式）设 f(x)在x  x 处n阶可导，则
0
f(x ) f (n)(x )
f(x) f(x ) f(x )(xx ) 0 (xx )2 0 (xx )n o(xx )n
0 0 0 0 0 0
2! n!
特别是当x  0时
0
f (0) f (n)(0)
f(x)  f(0) f (0)x x2  xn o(xn)
2! n!
几个常用的泰勒公式
x2 xn
（1）ex 1 x  (xn)
2! n!
x3 x2n1
（2）sinx  x (1)n1 (x2n1)
3! (2n1)!
x2 x2n
（3）cosx 1 (1)n (x2n)
2! (2n)!
x2 xn
（4）ln(1x) x (1)n1 (xn)
2 n
9(1) (1)(n1)
(5) (1x) 1x x2  xn (xn)
2! n!
x2
1  1x2
 1 
2
【例1】求极限lim .  
x0 (cosxex2 )sinx2  12
【解1】
【解2】
ln(1sin2 x)x2  5
【例2】求极限lim .  
x0 sin4 x  6
【解1】
【解2】
【解3】
 1 1 2
【例3】(2023年3)limx22xsin cos  ______. [ ]
x  x x 3
【解1】
【解2】
【解3】
104
【例4】设 f(x)在点x 0的某领域内二阶可导，且 f(0) 1, f(0)0, f(0) .
3
sinx xf (x)
求极限 lim .
x0 x3
【解1】函数 f(x)带有佩亚诺余项的二阶麦克劳林公式为
f(0)
f(x) f(0) f(0)x x2 (x2)
2!
2
即 f(x) 1 x2 (x2)
3
x3
sinx  x (x3)
3!
1
x3 (x3)
sinx xf (x) 1
2
则 lim lim 
x0 x3 x0 x3 2
sinxxf(x) sinxx xf(x)x
【解2】 lim lim lim
x0 x3 x0 x3 x0 x3
1 f(x)1
 lim
6 x0 x2
1 f(x)
 lim
6 x0 2x
1 f(0)
  （导数定义）
6 2
1

2
11