(63)--8.6笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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O第八章O 向量O代数与O空间解O 析几何O O O O O O
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第六节 空间曲线及其方程
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主讲 武忠祥 教授
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O O 空O 间曲O线及其O 方程 O O O O O O
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一、空间曲线的一般方程
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国 国 二、空国间曲线的国参数方程国 国 国 国 国 国 国
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C 三C、空间曲C线在坐标C面上的投C影 C C C C C C
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O空间曲线可O视为两曲O面的交线 O其一般方程O为方程组O O O O O O
,
O O O O O O O O O O O
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中
)  0
中 中 S 中 中 中 中 中 中
S
 1
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
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大表示圆柱大面与平面的大交线 C. 大 大 大 大 大 大 大 大
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M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O  O 2 2 O2 O O O O O O O O
M z  M a  x  My M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学

大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 2 2 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 x  y  中 ax  0 中 中 中 中 中 中 中 中
表示上半球面与圆柱面的交线
C.
C C C C C C C C C C C
O O O O O O z O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M O M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 a y 大 大 大 大
国 国 国 C 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 z 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
x  x(t)
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
称它为空间曲线的
y  y(t)
参数方程.
C C C C C C C C C C C
O z  z( O t) O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
M
国 例如,圆国柱螺旋线国的参数方程国为 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
O
x  a cost x 
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O v O O y O O O O O
学 M y  学 aMsint 令 学 M  t , b学 M  x 学 M a cos 学 M 学 M 学 M 学 M 学 M 学 M
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大

国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 z中  vt 中 中 中 y  a sin中 中 中 中 中 中
z  b
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM 当 2 πMM 时 , 上升高 MM 度 h  2π bMM , 称为螺距MM . MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
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M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C  x 2 C y 2  1 C C z  a 2  x C2  y 2 C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O (1)  O O (2) O  O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
大 学 大 学  2x  3z  大 学 6 大 学  x 2  y 大 2学  ax  0 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
解 : (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
C C C C C C C C C C C
O O x  cos tO O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 y  sin 学 t (学0  t  2 π)学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
z  1 (6  2 cos t)
3
2
O( C 2) 将第二 O 方C 程变形为 O C (x  a ) 2  O C y 2  a , 故 O C所求为 O C O C O C O C O C O C
O O O O O O O O O O O
2 4
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 x  a 大 a cos t 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
2 2
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
y  a sin t (0  t  2 π)
2
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO z  a 1 OO 1 cos t OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学2 2 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O FO(x, y, z)  0O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国G(x, y, z)国  0 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
z
消去 z 得投影柱面 H (x, y)  0,
C C C C C C C C C C C
O O O O O C O O O O O O
则 在 面上的投影曲线 ´为
OC xOy O O C O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国
H (x, y)
国
0
国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
O

y
 z  0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
消去 得 在 面上的投影曲线方程
O x CO yOz O O O  O O O O O O
M M M M M C M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大x 大 大 大 大 大 大
国 国R( y, z)  0国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中

 x  0
T (x, z)  0
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO消去 得 在OO 面上OO的投影曲线OO 方程 OO OO OO OO OO OO OO
OO y C OO zOx OO OO  OO OO OO OO OO OO OO
学学 MM 学学 MM 学学 MM 学学 MM 学学 MM y  0 学学 MM 学学 MM 学学 MM 学学 MM 学学 MM 学学 MM
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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 2 2 2
M Mx  y  z M 1 M M M M M M M M
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大 C : 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 2 国 2 国2 国 国 国 国 国 国 国
中 中x  ( y  中1)  (z 1中)  1 中 中 中 中 中 中 中
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z
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 2 2
x  2 y  2 y  0
C

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O  O z  0 O O O O O O O O O
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O O上半球面 O O z  4  O O x 2  y 2 和 O O锥面 z  O O 3(x 2  y 2 O ) O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 所围的国立体在 国 面上的投国影区域为国: 二者交线国在 国 国 国 国 国
xOy
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
面上的投影曲线所围之域
xOy .
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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2 2
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大 大 大 z  4  大x  y 大 大 大 大 大 大 大
二者交线
国 国 国 国 国 z国 国 国 国 国 国
C : 
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2 2
z  3(x  y )

C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M  2 M 2 M M M M M M M
学 学 学 x 学  y  1 学 学 学 学 学 学 学
大 在 大面上的投影大曲线 大 大 大 大 大 大 大 大
国 xOy 国 国  国 国 O 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 C 中 中 中 中 中 中
 z  0 1 y
所围圆域 : x 2  y 2  1, z  0. x
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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三元方程组
国 • 空间国曲线 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
或参数方程 如 圆柱螺线
( , )
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O• 求投影曲O 线 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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