Exercise 2.3.7

题目

设  为整概形， 是支配、一般有限的有限型态射。 证明：存在  的稠密开子集 ，使得诱导态射  是有限态射。

证明

设  为  的泛点， 为  的泛点。由  是支配态射，立得 。

1. 函数域扩张的有限性

整概形的函数域即为泛点处的局部环，因此  诱导函数域的包含关系

我们先依据Hint证明域扩张  是有限的。

取非空仿射开子集 ，再取非空仿射开子集 。 由于  是整概形， 均为整环。由习题3.6的结论，

支配性意味着环同态  是单射，因此可将  视为  的子环。

令 ，则泛纤维在  中的部分为基变换

由  是一般有限态射，泛纤维  只有有限个点；而  是  的开子概形，因此也只有有限个点。

另一方面，由于  是有限型态射， 是有限生成 -代数，故  是有限生成 -代数，且仍为整环。 只有有限个点，说明  是零维环；零维整环必为域，因此

由此  是域  上的有限生成代数。由 Zariski 引理， 是  的有限域扩张。

特别地，对  中任意一点的仿射邻域应用上述论证，可知  仅由泛点  一个点构成。

2. 构造稠密开集 

取仿射开子集 ，，满足 。 由第一步的结论，，且对  有 。

由于  是有限型态射， 是有限生成 -代数，设

每个生成元  都是  中的元素，而  是有限扩张，故每个  在  上都是代数的。 对每个 ，取首一多项式方程

将所有系数通分，存在非零元 ，使得所有  都属于局部化环 。 因此每个  在  上都是整元，从而

是有限 -模。

接下来收缩开集，使得原像完全落在  中。令

由于  包含了整个泛纤维 ，故 。

 是有限型态射，故  是拟紧的； 是开集，因此  是  的闭子集，从而也是拟紧的。 用有限个仿射开子集  覆盖 ，在每个  中，闭子集  对应理想 ，即 。

条件  等价于

即存在  使得 。令

则 ，即

最后令 ，取开集 。 由于  是整环且 ， 是  的非空开子集，而整概形的非空开集都是稠密的，故  是稠密开集。

此时

因此

由于  是有限 -模，局部化后  仍是有限 -模，故诱导态射

是有限态射。

综上，存在稠密开子集 ，使得  为有限态射。