浙江省杭甬名校2023-2024学年新高一分班考试数学试卷(含答案解析)

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【新高一分班数学备考】浙江省杭甬名校2023-2024学年新高一分班考试数学真题+详细解析！

对于即将踏入高中校门的同学来说，分班考试是进入新阶段的第一场关键战役。一份来自杭甬地区顶尖名校的真实分班考真题，不仅能帮助同学们了解高中选拔考试的难度与风格，也能为暑期衔接复习提供明确的参考坐标。

我们整理了这份《浙江省杭甬名校2023-2024学年新高一分班考试数学试卷》，并附有完整的参考答案与试题解析，供有需要的老师、同学和家长参考。本卷满分150分，考试时间100分钟，共21道题，题型涵盖选择、填空与解答，涉及相似三角形、圆内接正三角形与正方形、二次函数、指数方程、裂项放缩、不规则图形面积、等腰三角形存在性、增长率问题、立方和公式、不等式恒成立、绝对值化简、反比例函数、圆锥侧面展开、矩形折叠、统计与标准差、抛物线定点、一元二次方程韦达定理、二次函数综合、线性规划、概率、圆幂定理与相似等多个模块，题目设计精巧，思维含量高，适合用于分班考备考、自主招生训练或日常思维拔高。

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部分典型试题分析

第5题（裂项放缩估算）

设S=1/1³+1/2³+1/3³+…+1/99³，求4S的整数部分。

分析：本题是裂项放缩法的典型应用。利用不等式1/k³ < 1/[k(k²-1)]，进一步裂项为1/2[1/(k-1)k - 1/k(k+1)]，从而将S放大到一个可求和的形式，估算出S的范围，进而得到4S的整数部分为4。本题的关键在于构造合适的不等式进行放缩，考查了学生的代数变形与估算能力。

第9题（换元法解方程组）

解方程组：³√(x+1) + ³√(y-1) = 2，x+y=26。

分析：本题是换元法解方程组的典型应用。设³√(x+1)=a，³√(y-1)=b，则a+b=2，a³+b³=26。利用立方和公式a³+b³=(a+b)[(a+b)²-3ab]求出ab=-3，再与a+b=2联立解得两组解，最后回代求出x、y。本题的关键在于灵活运用立方和公式进行代数变形。

第17题（韦达定理与二次函数最值）

设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x²+2(m-2)x+m²-3m+3=0有两个不相等的实数根x₁、x₂。
(1)若x₁²+x₂²=6，求m的值；
(2)求mx₁²/(1-x₁)+mx₂²/(1-x₂)的最大值。

分析：本题是韦达定理与二次函数最值的综合题。第(1)问利用判别式求出m的范围，再用韦达定理将条件转化为关于m的方程求解。第(2)问需要将目标式用m表示，通过代数变形得到关于m的二次函数，在给定的m范围内求最大值，最终得到最大值为10。本题的关键在于熟练运用韦达定理进行代数变形，并注意自变量的取值范围。

第21题（圆幂定理与相似综合）

已知⊙O和⊙O'相交于A、B两点，过点A作⊙O'的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O'于E、F，EF与AC相交于点P。
(1)求证：PA·PE=PC·PF；
(2)求证：PE²/PC²=PF/PB；
(3)当⊙O与⊙O'为等圆时，且PC:CE:EP=3:4:5时，求△PEC与△FAP的面积比值。

分析：本题是全卷的压轴题，分为三问，层层递进。第(1)问通过连接AB，利用切线角定理和圆周角定理证明AF∥CE，进而得到比例关系。第(2)问结合切割线定理和(1)的结论进行推导。第(3)问利用勾股定理的逆定理得到∠C=∠CAF=90°，再通过设元建立方程求出x/y的值，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到比值49/625。本题综合性强，全面考查了圆的性质、切线定理、切割线定理、相似三角形、勾股定理等知识，思维层次清晰，区分度明显。

真题预览

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