夜雨聆风前言
本文主要解析国科大25、26年的数分真题。然后分析试卷难度。习题解析仅选取部分我认为重要的来详细写，其他的一句话带过。
25数分
25国科数分
T1
(1)带指数类型极限，想法是取对数求极限(2)stolz公式直接出。补充一点：最好会自然数幂和的估计，可以用EM公式估计，也可以stolz估计.
T2
这里需要三等分区间，也是这题的难点。只有这样做才可以保证不含有$r_i
假设 可数．设 ．
将区间 三等分，必存在一个子区间不包含 （三等分是为了防止 恰好出现在区间的端点上）． 记此区间为 ．
继续三等分区间 ，然后取出不包含 的子区间，记为 ．
以此类推，做下去得到一个区间套 ，满足 不包含 ． 且 严格单调趋于 ．
由区间套定理： 存在唯一的 ．
然而，由于 ，必然存在某个 使得：
但这与 产生矛盾． 事实上，存在 ，当 时， 不包含 （即 不包含 ），故 ，从而 ，矛盾． 故假设不成立， 不可数．
T3
看到0边界条件，我们可以用NL公式表示
由 得到：
记 ． 由 即得 是连续函数，故根据微积分基本定理：
代入上式，左端可化为：
T4
就是经典的换元u=x+y,v=x-y然后累次积分即可
T5
曲面方程是抛物面，补面直接gauss公式。三重积分的计算无非投影，截线法。
取平面 的上侧（补面），记为 ． 由 Gauss 公式（其中 取外侧）：
该三重积分的左端即为所给几何图形体积的 倍：
而右侧的曲面积分拆分为球面部分（原曲面）与补面 ：
对于补面 （位于 平面，取外侧即下侧 ），因为 ，且
故所求的原曲面积分为：
T6
只有正弦项，说明应延拓为奇函数，其次只含有奇数项，说明偶数项系数为0，只需要把
这里是试出来的
T7
就是纯算，需要利用正交性化简平方展开式：
注意到可将上式看作关于 的多元函数，记为 ． 求驻点以及 Hessian 矩阵：
解得驻点为 ，其中：
Hessian 矩阵为对角阵：
为正定阵，故在 处取得最小值．
将 偶延拓自得在 上的傅里叶级数为 ，其中 恰为上面分析所得． 于是：
T8
这种题很常见，就是stolz定理，根据题目条件把f(x)在0出展开估计就可以。
T9
第九题也是考察经典的三角函数求和一致有界。这个求和式子必须记住。
T10
收敛域好求的，和函数需要用到cauchy乘积，需要积累。
点评
25年数分整体上偏简单，都是考察的常见基础题目。第二题如果三分区间套的题目做的少可能想不到，其他就是纯送分。
26数分
T1
(1)第一题stolz就可以，另外(1)给我们启示：阶足够大的数列求和后阶保持不变。(2)倒代换洛必达就行
T2
注意到递推函数是递减的，奇偶子列单调性相反。这时候使用压缩映射就可以。
或者证明奇偶子列收敛到同一个极限也可以。不过不如压缩映射快。
T3
一眼cauchy不等式放缩，不用搞麻烦的拉乘法。
T4
既然给你了最大值条件，那就设出来，根据fermet引理得得到导数为0的点，对于左边两个一阶导绝对值的估计，既可以采取微分学（拉中）也可以采取积分学（NL公式）估计。
取 为最大值点，由 Fermat 引理
由牛莱公式
T5
看到这样的被积函数肯定想到gauss公式，补z=0面和补成椭球面都可以。这里的三重积分的简便计算需要先换元，变成球体，这样根据对称性就只需要算这个函数的三重积分。 如果补成椭球面，根据对称性RHS相当于两个所求曲面积分。
解： 补成整椭球体（也可只补面）.记 ,为上半曲面，为下半平面.由 Gauss 公式
注意到曲面积分对称性
且该向量关于原点相反.故
只需共
故 ,故
T6
没啥思维含量，就是补上线段然后green公式，用上中值定理就可得到P=0，然后回代根据连续性得到偏导也为0 任意 任意半径r.补上线段AB
由 Green 公式
令 即得 又 是任意的，故 回代上式
若存在一点 ，.则由连续性可知在该点附近一定存在某个邻域使得 在其上积分不为 0，矛盾.故
T7
就是很常规的含参积分求导。
解：
.
由 Dirichlet 判别法
故 在 上可微，可积分号下求导
证明RHS第二项可以积分号下求导
故 （常系数二阶ODE）
通解
解得
故
T8
大水题。积分移到一边，函数移到一边，发现就是证明,两边求导验证F'=f+c就行。
T9
做过类似题目的同学很快想到就是第一型曲面积分的正交变换公式，当然首先应当观察到左边的式子就是单位球面上的曲面积分。这样就好做了。
证明： 注意到 是单位球面上的曲面积分.
做正交变换令
变换前 故 即将球面变换为球面（一句话就是正交变换是刚性变换，平移旋转）.记为
找 参数方程
经计算易得
T10
纯粹考察黎曼积分证明。离散版本的就是延拓区间然后周期分段。证明应当会默写。
点评
全是基础题，纯粹考察课本上重要的定理和习题。和25数分差不多难度。不过计算量这个稍微大一点。