函数、极限与连续

试题分析

（一）填空题

1. 设 ，则 。　（90，上，期中）

解　此题主要考查复合函数概念

2. 若 ，则 。　（90，上，期末）

解　此题主要考查分段函数概念及分段函数复合的基本方法

解不等式 ，得 ，此时 ；
解不等式 ，得 。因此 

注　此题也可通过引进中间变量  及利用函数  的图象得到  的表达式，读者不妨一试。

3. 函数  的定义域是 。　（91，上，期末）

解　函数  的定义域是 。由  的定义，当  时，；当  时，。故  的定义域为 。

4. 设 ，则 。　（97，上，期中）

解　利用重要极限  及复合函数求极限的法则，有

从而 。

5. 设  均为正数，则 。　（96，上，期中）

解　这是运用夹逼定理求极限的题目。

令 ，则 ，令 ，注意到 ，由夹逼定理即得结果。

6. 设 ，，则  的间断点为 。　（97，上，期中）

解　因为  在  上连续， 的间断点为 ，所以由连续函数的性质知  是  的间断点。

或者先写出  的解析表达式：

然后再检验分界点  与  是否是间断点。例如，对 ，因为

左极限不等于右极限，所以  是  的间断点。

7. 函数  的间断点为 ，类型为第一类。　（91，上，期末）

解　去掉绝对值写出  的表达式：

易见  是  的间断点，且 ，所以  是  的第一类间断点。

8. 当  时，无穷小量  是  的  阶无穷小。（或填 同）　（91，上，期末）

解　根据无穷小量阶的比较的概念及重要极限  即可得结论。

因为 ，所以当  时， 是  的一阶无穷小。

9. 若  在  上连续，则 。　（98，上，期末）

解　显然，当  时  连续。由  在  处连续的定义知 ，而

于是由 ，得 。

11. 设函数 ，则  在  处间断，其类型是 第一类间断点。　（03，上，期中）

解　这是用极限定义的函数，注意到

所以  是第一类间断点。

12. 函数  的间断点  是第 1 类间断点。　（04，上，期末）

解　由取整函数的定义知

所以  是第一类间断点。

（二）单项选择题

2. 极限  是
(A) 不存在　(B) 等于 5　(C) 等于 3　(D) 等于 0　 [B]　（96，上，期末）

解　利用已知极限  及极限的四则运算法则，有

或者利用重要极限  及连续函数求极限的法则可得

3. 设 ，则  为  的
(A) 第一类间断点　(B) 第一类间断点　(C) 可去间断点　(D) 连续点　 [C]　（97，上，期中）

解　因为 ，，所以 （有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）。又 ，故  是  的可去间断点。

4. 设 ，其中  为常数，，则必有
(A) 　(B) 　(C) 　(D) [A]　（97，上，期中）

解　因为

所以 。

5. 设函数 ，则 
(A) 不存在间断点　(B) 存在间断点 　(C) 存在间断点 　(D) 存在间断点 [B]　（99，上，期末）

解　写出  的表达式

结论便自明。

6. 设  在  内有定义， 为连续函数，且 ， 有间断点，则
(A)  必有间断点　(B)  必有间断点　(C)  必有间断点　(D)  必有间断点　 [D]　（99，上，期中）

解　当  的值域中不含  的间断点时， 连续，故 (A) 不对；
当  时， 连续，所以 (B) 也不对；
当  为常值函数时， 连续，因此 (C) 不对；(D) 是对的，可用反证法证明。

7. 设当  时， 都是无穷小 ，则当  时，下列表达式中不一定为无穷小量的是
(A) 　(B) 　(C) 　(D) [A]　（04，上，期末）

解　可取 ，易知选 (A)。

8. 设 ，若  在  连续，则常数  等于
(A) 5　(B) 4　(C) 7/2　(D) 5/2　 [D]　（01，上，期末）

解　用极限先求出  的表达式：

再由函数在  处的连续性知 。

9.
(A) 不存在但不为 　(B) 等于 2　(C) 等于 0　(D) 为 [A]　（01，上，期中）

解　因为 ，。所以选 (A)。

（三）计算题

1. 计算 　（93，上，期中）

解

注　本题将来也可用洛必达（L'Hospital）法则计算。

2. 求函数  的间断点，并指出其类型（要说明理由）。　（94，上，期中）

解 的间断点为 。

• ，所以  是  的第二类间断点；
• ，，左右极限存在但不相等，所以  是  的第一类间断点；
• ，极限存在但函数在该点无定义（或可补充定义），所以  是可去间断点。

3. 设 ，试求  的连续区间与间断点，并指出间断点的类型（要说明理由）。　（92，上，期中）

解 的间断点为 ；连续区间是 。

• 因为 ，所以  是  的第二类间断点；
• 因为 ，，所以  是  的第一类间断点。

4. 求 　（01，上，期中）

解

5. 求  的连续区间与间断点，并指出间断点的类型（要说明理由）。　（93，上，期中）

解 的连续区间为 ，间断点为  和 。

• ，所以  是可去间断点；
• ，所以  是第二类间断点；
• ，，所以  是函数  的第一类间断点。

（四）证明题

1. 设 ，证明数列  存在极限，并求此极限。　（96，上，期末）

证，由递推关系  易知对一切 。

因为

而 ，所以对一切 ，即数列  单调增加。又 ，设 ，则 。故由归纳法知对一切 ，有 ，即  上方有界。由单调有界原理，数列  收敛。设其极限为 ，即 ，在递推公式两边令  取极限，得 。由此解得 （舍去负根），故

2. 设函数  在点  处连续，并且 。试证：存在  的邻域，使得在此邻域内有 ，其中常数 。　（92，上，期中）

证　因为  在  处连续，所以 ，又 ，故

由函数极限定义，对 ，存在  的某个邻域，使得在此邻域内有

即