复旦大学 2005~2006 学年第一学期期末考试试卷

一、填充题（每空格 6 分，共 30 分）

(1)，则  ＿＿＿＿

(2) 曲线  在  处的切线方程为 ＿＿＿＿

(3)，则  ＿＿＿＿

(4)，则  ＿＿＿＿

(5) ＿＿＿＿

二、解答题（每题 10 分，共 70 分）

2. 通过变量代换 ，变换方程 。

3. 设四边形的边长分别为 ，利用 Lagrange 乘数法求出当四边形面积最大时四边形的顶角所满足的条件（不必求出最大面积）。

4. 计算闭曲面  所围体积。

5. 在平面上单位质点  受力  作用，力  的方向与  垂直（ 逆时针转  为  的方向），大小与  成反比，比例系数为 ，求质点  从点  沿位于第一象限的曲线移动到点 ，力  所作的功。

6. 计算积分 ，其中  是曲面  介于  的部分，积分沿曲面下侧。

7. 将周期为  的函数  展开成 Fourier 级数，并计算  的值。