【真题】1999年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是1999年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

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 ?

通分，等价无穷小。

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 ?

换元，变限积分求导。

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 的通解为  ?

基础题。

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设  阶矩阵  的元素全为 , 则  的  个特征值是 ?

常规方法就是对这个行和相等的行列式进行化简，套路是都加到第一行（列）上，然后求出特征多项式，从而得到特征值。

当然我们还可以把  当作秩一矩阵理解，在1992年数一真题第5题的讲解中，我拓展了秩一矩阵的常用8条性质，其中本题考察的就是第7条。（直接秒了）

忘记的朋友可以复习一下我对1992年数一真题的讲解。

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设两两相互独立的三事件  和  满足条件: , 且已知 , 则  ?

加法公式，独立的性质。

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设  是连续函数,  是  的原函数, 则 ?

(A) 当  是奇函数时,  必是偶函数.

(B) 当  是偶函数时,  必是奇函数.

(C) 当  是周期函数时,  必是周期函数.

(D) 当  是单调增函数时,  必是单调增函数.

考察对积分后加的任意常数  的理解。

B/C/D 三个选项都很容易找出反例：

A 选项感性理解是正确的，严谨证明如下：

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设

其中  是有界函数, 则  在  处 ?

(A) 极限不存在.

(B) 极限存在, 但不连续.

(C) 连续, 但不可导.

(D) 可导.

求出导函数在  处的左右极限，发现是相等的，因此可导。

至于其他选项，显然  在  处是连续的，因此都是错的。

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设

, 其中 , 则  等于 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

狄利克雷收敛定理。首先根据最终展成的是余弦级数可以知道， 要进行偶延拓。于是根据周期性将  转化到已知函数表达式的区间内，发现考察的是间断点类型的收敛定理。

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设  是  矩阵,  是  矩阵, 则 ?

(A) 当  时, 必有行列式 .

(B) 当  时, 必有行列式 .

(C) 当  时, 必有行列式 .

(D) 当  时, 必有行列式 .

考察之前反复讲过的秩的性质，如果不知道这个矩阵秩的性质，可以复习一下我之前讲过的矩阵秩的常用性质以及常用秩不等式，文章附在下面：

有关矩阵秩的不等式，还不学会你就落后啦！

本题过程如下：

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设两个相互独立的随机变量  和  分别服从正态分布  和 ，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

送分题。选 B。

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设  是由方程  和  所确定的函数，其中  和  分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 .

两个方程都对  求导即可，当然对第二个方程之间使用隐函数求导公式也是可以的。

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求 ，其中  为正的常数， 为从点  沿曲线  到点  的弧.

补线法 +  公式。

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设函数  二阶可导且 . 过曲线  上任意一点  作该曲线的切线及  轴的垂线，上述两直线与  轴所围成的三角形的面积记为 ，区间  上以  为曲边的曲边梯形面积记为 ，并设  恒为 ，求此曲线  的方程.

根据面积关系列出等式，化简得到一个含有变限积分的微分方程，对  求导得到一个不显含  的二阶可降阶微分方程，做换元 ，，分离变量即可。

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试证：当  时，.

高中题，显然将对数分离可以简化求导计算。这里需要注意对数前的系数在所给区间并不是不变号的，所以需要分类讨论。

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为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口. 已知井深 ，抓斗自重 ，缆绳每米重 ，抓斗抓起的污泥重 ，提升速度为 ，在提升过程中，污泥以  的速率从抓斗缝隙中漏掉. 现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

物理题，放在高中不用积分也能做，画图求面积嘛。

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设  为椭球面  的上半部分，点 ， 为  在点  处的切平面， 为点  到平面  的距离，求 .

很好的一道题。首先求出切平面方程，然后求出  的表达式。

剩下的就是按照投影法计算第二类曲面积分，注意线面积分都是可以把方程代入化简的。

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设 ，

(1) 求  的值；

(2) 试证：对任意的常数 ，级数  收敛.

第一问代入  的表达式化简通项，利用  凑微分，得到可以裂项的结构。

第二问考虑对  放缩处理，结合  得到通项的上界是收敛的  级数，所以原级数也收敛。

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设矩阵 ，其行列式 ，又  的伴随矩阵  有一个特征值 ，属于  的一个特征向量为 ，求  和  的值。

通过1989数一真题结论可知伴随矩阵和原矩阵特征值的关系，从而根据特征值的定义列出方程组，结合  联立即可解出所有参数。

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设  为  阶实对称矩阵且正定， 为  实矩阵， 为  的转置矩阵，试证： 为正定矩阵的充分必要条件是  的秩 。

必要性：根据正定矩阵的定义，得到对任意非零向量  都有 ，从而得出齐次方程组只有零解，所以  的列向量组线性无关，从而列满秩。

充分性：根据列满秩得到齐次方程组只有零解，从而对任意非零向量  都有 ，再根据正定矩阵的定义结合  的正定性即可说明  的正定性。

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设随机变量  与  相互独立，下表列出了二维随机变量  的联合分布律及关于  和关于  的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。

小学算术题。

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设总体  的概率密度为

 是取自总体  的简单随机样本。

(1) 求  的矩估计量 ；

(2) 求  的方差 。

矩估计通过总体一阶原点矩和样本一阶原点矩相等即可得到结果。

对于矩估计量的方差，需要用到性质 ，这个性质的证明也是很重要的：

独立同分布，所以每个 ，一共  项：

因此原题只需要求出  即可，过程如下：

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