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2017年
数学（三）参考答案
一、选择题
(1) A
—
E恩
l cos石
, r>O,
解由J(r)�j ar X 在.,�o处连续，得 J(x) b.
b, 冬0
五- X
= - =
又l x imf(x)-lJ、 im l cos l工于im l b.
-o+ -o+ ax o+2ax、 2a
=
1
所以ab —放应选A.
2
(2) D
名I= — 2 = = =
3y -2xy —y 2 �--=0 x= O x-1 x= O x 3
解令｛ .
总'-3x-2xy 1· =o'得{y 0'{y -1'{y 3'{y O
所以函数=有四 x =个—驻点(0,=0),( v 1 = ,]),—(0,3),(3,0).= v = 、 ·
又令A z': 2—y ,B2 = z'', 3 2x -2y ,C z': -2.1
则在(0,0)处，A—C 21=3 -9 < 0,(=0,0)不是极值点．
在(1,1)处，AC B2 3>0,且A -2 < O,Cl,l)是极大值点．
在(0,3)处，AC-B2=-—9<0,(0,3)不是极值点．
在(3,0)处，AC-B = 9<0,(3,0)不是极值点
(3) C故应选D.
解由J(x)J'(x)> CJ, 可得2J(x)J'(x)> CJ, 即［尸(x)J'>0. —
因此尸(x)严格单增，故有勹ex)I严格单增，所以有IJO) I >I JC DI.
(4) C故应选C.
厂），
— — —
.1 1 1 2 1 k k 1 2 1
解 stn -=—+o kln 1-- =-— —· +o
n n n ( n) n 2 n (n2 )·
． — = 勹
1 ;-1 1 +k k ;;z1 ;;z1
有 sm了-kln ( 1 ) n + o ( ) ,
— 一 = =
=
1 1
又，气sin--;;- kln
(
1 门］收敛，有l+k O.(否则，级数发散），故k -1.
(5) A故应选C.
= =
解 因为a为3维单位列向晕，故矿a l— tr(Ta矿=）．
所以，A-a矿的特征值为1,0,o. 所以，IE aa l O, 即矩阵E-a矿不可逆．
(6) B故应选A.
淘宝店铺：光速考研工作室解 因为A和B都是上三角矩阵，所以特征值都是1,2,2. 今
所以，要判别A和B能否相似对角化，只需考察属于2的线性无关的特征向量的个数即可．
—
对于A,属于2的线性尤关的特征向量的个数3-r(2E A)= 3 -1 =2.
— —
对于B,属于2的线性无关的特征向量的个数3-r(2E B)=3 2 =1 .
所以，A可以和C相似，但是B不能．
故应选B.
(7) C
解 因为A与C相互独立，B与C相互独立．
所以 P(AC)=P(A)P(C)平(BC)=PCB)P(C)
而P[(A U B)C]= P(AC U BC)
=P( AC)+ PC BC) -P (ABC)
P(A U B)P(C)= [P(A)+ PCB)-P(AB)]P(C)
=P(A)PC C)+P (B)P CC) -P (AB)P(C)
则AUB与C相互独立 已P[(AUB )C] = P(AU B )P(C)已P(ABC)= P(AB)P(C)
已AB与C相互独立，故应选C.
(8) B
解 因为X,�NCµ,1),
—
所以X, µ �N(O,l),
�ex,
则 —µ尸～贮(n),故A正确；
,-1
一｀
�(X,
— 2
(n 1)S ,-1 —
因为 z = �X气n 1)' 故C正确；
C, 1
—1 )，
因为 X �N(µ,
n
—
X µ
所以 �N(O,l),
1
石
2 2
则n(又—µ) �x 0),故D正确．
对于B选项：X" —X1�N(O,Z),
X — X1 X" X1
则 n 迈 �N(O,l), 所以 ( ; f� 炉(1)从． 而B错误．
故应选B.
二、填空题
3
亢
(9) -
2
厂
3 二 = 六 3 +』勹了二了
解 (sin x+五 了）dx J sin xdx dx
rr 六
因为sin 3 x是奇函数，所以『sin勹山 = O.
淘宝店铺：光速考研工作室而 丘 ＝ 了 为 偶 函 数 ， 因 此 『 J2 — 勹 ＿
f
互二 TC -x dx=2 dx
『互二
dx表示由x=O,x=TC,y=O,y=石了二产所围成图形的面积，
1
故有『 左 - x 2 d x = — TC • TC 2= —
1(3
.
4 4
三
所以『(sin五十五了二）dx=
2
一穴
TC
故应填—.
2
( 1 0 ) A 2 十' t 2 -' l
解 Y,+1 -2y, = 2'对应的齐次方程为Y,+1-2y, =O,
,+
特征方程为入 i-211' =O, 特征根为入=2.
因 y 计1-2y, =O的通解为Y,=A2',
再设y,· =k立为Y,+1-2y, =2'的解，代入方程得
k ( t + 1 ) 2 计 1 — 2 k t 2 ' = 2 ' .
1 1
解得k=一．所以对 =-t2'=t2'-1.
2 2
由差分方程解的结构定理得，原方程的通解为
y , = Y , + 对 = A 2 ' + t 2 一' 1 .
故应填A2'十t2'一1
(11) 1+0 — Q)e-Q
一
解 平均成本ccQ)=l+e 汇成本为C(Q)=Q C(Q) =Q +Qe-Q.
边际成本为C'(Q)=1 +e-Q -Qe-Q =1 + (1— Q)e-Q.
故应填1+0 — Q)e艾
(12) xyeY
解 由题意1:cx,y) = yeY ,J;(x ,y) =x(l+ y)e气
f f
所以有f(x,y)= 1:cx ,y)dx= yeYdx=xyeY+C(y).
J;C x ,y) = [xyeY +CCy)]'=x Cl+ y)e +c'(y) =xCl+ y)e,
:.c'(y) =O=?C(y) =C.
因此f(X ,y) =xyeY +c, 又f(O,O)=O.
所以C=O. 故f(x,y)=xye汽
故应填xye气
(13) 2
解 (Aa1 ,Aa2 ,Aa3) = ACa1 ,a2 ,a3), 因为a1,a2 ,a3 线性无关，故矩阵Ca1,a2,a3)可逆，
所以，r(Aa1,Aa2 ,Aa3) = r(A),易 知，rCA)=2. 故应填2.
9
—
(14)
2
解 由分布律的归一性可知�Pk =l
淘宝店铺：光速考研工作室1
即—+a+b=l,
2
1
又因为EX=O,即—2X—+a+3b=O.
2
—1 .
解得a =b=
4
1 1
而 E ( X 2 ) = ( — 2 ) 2 X — + 1 2 X — + 3 2 X — = —
1 9
.
2 4 4 2
所 以 D X = E ( X 勹 — ( E X ) 2 = -
9
.
2
三解、 答题
(15)解 令x-t=u,则t=x—u,dt=— du.
『
。
五二
e'dt e"
『五尸
du
x l - im o+ J.尸 - = x l - im o+ 0 ,q
06)解
(17)解
『 五 e - " d u 。
= lim ,q
x-o+
左e勹
= lim
x-o+ —3
左
2
2- .
3
』
( 1+ x �+
3
沪 ） 2 d x d y - [
=
d x
厂
(1 + x �+
3
y 4 ) 2 d y
＝』厂 -1 石
4 o l+x 2+y 1
。 dx
1
+=
1 1
= 4 J 。 ( 1+ x 2 — 1+ 2 x 2 ) d x
1 产 过 + 。 = )
勹(arctanx / — 了arctan,/2x
0
2—迈
= 16 兀
n k k n k 杻 心 ： 汇 nI ( 1+
--;;
) - 杻 心 ： — nI 1+ • k 1
k�1 k � 1
n ( --;; ) --;;
I
=』 +
。Xln(l X)dx
t
＝了 1 x 2l n (1+ x ) / 0 1 勹 1 l 1+ X 2 x dx
1 1 1 1
＝了ln2— 了I。(x— l+
l+x
)dx
淘宝店铺：光速考研工作室1 1 I 1 I
-—ln2-—(x- 1)2 —— ln(l + X)
2 4 0 2 0
1
－ ．
4
1 1 , (1+ x·)l n气l+x)-x2
(18)解 记f(x)— k,x E (0,1], 贝1Jf (x、) ＝
lnO+x) x
记g(x)= ( 1+ x )l n气1+x)—X Z'则
g'(x)=ln气1+x )+ Zln(l +x )- Zx,
Z[lnO+x)—x]
g"(x)=
l+x
当x E (0,1]时g， "(x)< O,所 以g'(x) o,
2
所以方程fC.d�o在[,<间(0,1)内有实根当且仅当』
l
l k < 0.
lnZ
l 1
故常数K的取值范IN为 �-1,— .
(lnZ 2 )
1
(19)解 c I)因为ao=l,a1 =O,an =+l (na,, +a,,_1),所 以0乏an +l�. l
n+l
记R为幕级数�Un,厂的收敛半径．当IxI< 1时，因为 a立",s;[ x[[n 且级数:厂收
n�o
n-0
敛，所以幕级数I:a,,:r"绝对收敛，于是(—1,1)�(—R ,R),故 R�1.
n�O
c II)因为S(x)=t 汇xn '所以5 1 (x) =t n anXn- l = t ( n + l)a,,+1X"
n�o n-1
n-0
于是(1—x)S'(x)—xS(x) — t(n + l)an +1xt"� ( n + Dan +1nX — l+ ta,,x" i+
n�o n�o n�o
= = =
=a1 +�(n + l)an+ix"�nanx"-� an-ix"
n�l ,,-1 n�l
=a1十 I:[ (n + l)an -+l na,, —a,,-1Jxn
n�l
=0.
ce-x
解方程(1 —x)S'(x)—xS(x)=O得S(x)= .
1-x
由S(0) =a。1得C=l,故 S(x)-l
—x
.
(20)解 C I)由 =a1 + 2az,知 a az,a 线性相关故， r(A)冬2.
ll3 门 3
又因为A有3个不同的特征值，所以A至少有2个不为零的特征值，从而 r(A)? 2.
淘宝店铺：光速考研工作室故r(A) = 2.
知三]�•,
(ll)由a, I 2a, - , �0, 故［勹为方程组Ax�o的一个解
:
又c(A)�2,所以[' 为Ax�o的一个基础解系．
[il
因为 P-•, +a,:!: �{]所以 为方程组Ax�p的一个特解
J []
故Ax -P的通解为x{ I k 2 , 其中k为任意常数．
(21)解 二次型J的矩阵为
—:. :, ]
A�[
由题设知IA =l O. 又IA 1=6 3a, 千是a =2.
矩阵A的特征多项式为I入E —AI=入饥+3)(入-6)'所以特征值为-3,6,0.
不妨设儿=-3,从 =6,儿 =0.
1
矩阵A属于特征值儿＝—3的单位特征向量为P1=-q, - LU飞
点
1
属于特征值儿 =6的单位特征向榄为，2 — —(—l,O,l)勹
迈
1
属千特征值儿 =0的单位特征向最为p3=—(1,2,l)T.
瓦
1 1 1
屈 及高
1 2
故所求的一个正交矩阵为Q= cp 1 , /J 2 , P 3 > = I — —
戎
1 1 1
点 迈 祁
十区勹 妒
(22)解(I) EY=』 汀(y)dy =』 2y2dy =之，
-c心 。3
尸气』4
P{Y雯EY) ="P 2ydy =±_
9.
3
z
C II) 的分布函数记为Fz(z),那么
凡(z)=P{Z�z)
=P{X+Y炙z}
淘宝店铺：光速考研工作室= = =
P{X O}P{X+ Y 冬zIX O}+ P{X= 2}P{X+ Y冬zlX=2}
= —
12 12
-P{Y冬z}+-P{Y冬z 2}.
=
当z
