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最近在小红书上看到了这样一份高代模拟题（来自南京大学），感觉含金量超高，基本全都是没见过的新题好题

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之前我们公众号上讲解了第四题和第六题，今天则来看一下全卷最为重量级的问题——第九题（第二问），本文结束后全卷所有的难题差不多就都讲完了

我们先来看看作者是如何评价压轴题的：

作者声称：第九题融合牛顿折线、代数几何等超纲知识，让打击来的更彻底

我看未必！这题真没什么高深内容吧，问题的表述是完全初等的线性代数风格，实际上它也完全可以在同济线性代数课本范围内做出来，根本就不需要任何高级理论

如果你没有能力解决，那就是你太菜了，只能说明你距离名词党又近了一步，特别是那些张口纤维从闭口上同调的人，这种题一考试，他们分分钟露馅！

• 下面就来讲解一下，我们给出两种解法，方法一是完全初等的，零基础准大一学生也能看懂，方法二则是满足某些“考试的补集爱好者”以及“名词党”用的，给你们一种基于高级理论的解法

问题与解析

设是上的元不可约多项式且非常值，满足对任意阶复方阵都有，对任意可逆对角阵有，同时，证明：恒成立

共同步骤

任取复方阵  和可逆阵 ，由条件 ，故  在相似变换下不变。

设  为上三角阵。对 ，令 ，则

每个  都与  相似，由  的连续性可知

记 。

任意两个对角元的交换均可由相似变换实现，所以  是对称多项式。又任意复方阵均可相似上三角化，因此若  是  的全部特征值，则

方法一

由题设， 在  上处处非零，并且  不是常数。以下对变量个数归纳证明  只能是单项式。一元情形由代数基本定理立即得到。

把  看成关于  的多项式，设

若 ，可取 ，使得 。于是  是常数项非零的非常值复多项式。由代数基本定理，它有一个非零根，这与  在  上处处非零矛盾。因此 。

取  可知  在  上也处处非零。由归纳假设，

由  的对称性，；再由  得 。代入式 ，可得

由于  是非常值多项式，故 ；若 ，则 ，与  不可约矛盾。因此 ，从而 。

方法二

沿用共同步骤。若  可逆，将  相似上三角化为 ，则  均非零。由题设及上三角矩阵的结论，

记 ，。

上式说明只要 ，就必有 ，即 。由希尔伯特零点定理的强形式，，故存在正整数 ，使得 ，即 。多项式环  是唯一分解整环，而  不可约，所以 。行列式多项式  在  中不可约，因此 ，其中 。最后由  得 ，仍有 。

这样我们就十分优雅的解决了这道所谓的“初等框架下无解的钓鱼题”，事实证明数分高代是无敌的：连黎曼猜想都能靠着数分高代被Claude解决掉2/3，那做点这种所谓的代数几何超难题或者论文题，岂不有手就行？

觉得我讲的好，想要看清题目本质，用初等方法和同济高数知识解决一切难题，或者希望在2026年的各大关键性考试中一鸣惊人，逆天改命，就来报名我们的数海考研竞赛全年班学习吧。

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本期内容到此结束，感谢阅读。

作者：柯西永远爱你