中考冲刺：代几综合问题--巩固练习（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_67中考冲刺：代几综合问题（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高） 撰稿：李爱国 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点 Q从点A出发，沿图中所示方向按 滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图 中所示方向按 滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的 路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4－ C． D． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的 变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ） 二、填空题 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________． 4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△BDC 的面积为S，△BDC 2 1 1 1 3 2 2 的面积为S，…，△B DC 的面积为S，则S=______________；S=__________________ 2 n+1 n n n 2 n (用含 的式子表示）． 三、解答题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点 A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向 终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）． （1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 （2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？ （3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4）， 点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点． 两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两 个点的运动时间为t（秒）． （1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？ （2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ 7.条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知， B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是 ； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 （2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最 小值； （3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值． 8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上， OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点． （1）求N点、M点的坐标； （2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析 式； （3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标； ②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m， △PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不 存在，请说明理由． 9.如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB= ． （1）求B点的坐标和k的值； （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面 积S与x的函数关系式； （3）探索：在（2）的条件下： ①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是 ； ②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所 有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转 90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重 合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1 个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒． （1）求此抛物线的解析式； （2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形； （3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K 为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值． 11.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为 等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）． （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请 直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是 否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B. 2.【答案】A. 三、填空题 3.【答案】 （0，0），（0，10），（0，2），（0，8） 4．【答案】 ； ； 【解析】由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B、B、B…向对边作垂线，垂足为 1 2 3 M、M、M， 1 2 3 ∵△ABC 是等边三角形， 1 1 ∴AD=AC•sin60°=2× = ， 1 1 ∵△BCB 也是等边三角形， 1 1 2 ∴CB 是∠ACB 的角平分线， 1 1 1 2 ∴AD=BD= ， 1 2 1 故S=S ﹣S = ×2× ﹣ ×2× = ； 1 △B2C1A △AC1D1 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 S=S ﹣S = ×4× ﹣ ×4× = ； 2 △B3C2A △AC2D2 作AB∥BC，使AB=AB，连接BB，则B，B，…B 在一条直线上． 1 1 1 1 2 3 n ∵B C∥AB， n n ∴ = = ， ∴BD= •AD= ， n n 则DC=2﹣BD=2﹣ = ． n n n n △BCB 是边长是2的等边三角形，因而面积是： ． n n n+1 △B DC 面积为S= • = • = ． n+1 n n n 即第n个图形的面积S= ． n 三、解答题 5．【答案与解析】 解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向 终点C运动，t=1秒， ∴AP=1，BQ=1.25， ∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3， ∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75， ＡP PE 1 PE ∵PE∥BC，  ,  , ＡC CD 4 3 解得PE=0.75， ∵PE∥BC，PE=QD， ∴四边形EQDP是平行四边形； （2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点 C运动， ∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t， PC 4t t CQ 51.25t t ∴  1 ,  1 , AC 4 4 BC 5 4 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 PC CQ   AC BC ∴PQ∥AB； （3）分两种情况讨论： ①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t， 又∵EQ∥AC， ∴△EDQ∽△ADC EQ DQ ∴  ， AC DC ∵BC=5，CD=3， ∴BD=2， ∴DQ=1.25t-2， 4t 1.25t2 ∴  , 4 3 解得t=2.5（秒）； ②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t， 在Rt△ACD中， ∵AC=4，CD=3， ∴AD= ， AC2 CD2  42 32 5 AC CD 12  CN   AD 5 ∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°， ∴△EDQ∽△CDA， DQ EQ 1.25t2 5(4t)  ,  AD CD 5 12 ∴ t=3.1（秒）． 综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 6.【答案与解析】 解：（1）过点B作BD⊥OA于点D， 则四边形CODB是矩形， BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3 在Rt△ABD中， ． 当 时， ， ， ． ∵ ， ， ∴ ， 即 （秒）． （2）过点 作 轴于点 ，交 的延长线于点 ， ∵ ， ∴ ， ． 即 ， ． ， ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 ， ∴ ． 即 （ ）． 由 ，得 ． 当 时，S有最小值，且 ． 7．【答案与解析】 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD， ∴PB=PD， 由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE， 在△ADE中，根据勾股定理得，DE= ； （2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P， PA+PC的最小值即为A′C的长， ∵∠AOC=60° ∴∠A′OC=120° 作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60° ∵OA′=OA=2 ∴A′D= ∴ ； （3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时 △PQR周长的最小值等于MN． 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB， ∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°， 在Rt△MON中，MN= = =10 ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 即△PQR周长的最小值等于10 ． 8.【答案与解析】 解：（1）∵CN=CB=15，OC=9， ∴ON= =12，∴N（12，0）； 又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3， 设AM=x ∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）； （2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36 则（12﹣a）2=36 ∴a=6或a=18（舍去） 1 2 ∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二： ∵x2﹣36=0， ∴x=﹣6，x=6； 1 2 ∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0） 由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点， 所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36； （3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点， 设直线MN的解析式为y=kx+b， 则 ，解得 ， ∴y= x﹣16， ∴P（6，﹣8）； ②∵DE∥OA， ∴△CDE∽△CON， ∴ ； ∴S= ∵a=﹣ ＜0，开口向下，又m=﹣ 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 ∴S有最大值，且S =﹣ ． 最大 9.【答案与解析】 解： （1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C， ∴OC=1； ∵tan∠OCB= ，∴OB= ；∴B点坐标为： ； 把B点坐标为： 代入y=kx﹣1得：k=2； （2）∵S= ，y=kx﹣1， ∴S= × |2x﹣1|；∴S=| x﹣ |； （3）①当S= 时， x﹣ = ，∴x=1，y=2x﹣1=1； ∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为 ； ②存在． 满足条件的所有P点坐标为：P（1，0），P（2，0），P（ ，0），P（ ，0）． 1 2 3 4 10.【答案与解析】 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0）， ∴ ，解得a=﹣1，b=2， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3． （2）在直角梯形EFGH运动的过程中： ①四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示： 此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合． 由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平 移的距离即为线段DF的长度． 过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴， ∴ ，即 ，解得DN= ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF= = = ，∴t= ； ②四边形MOHE构成正方形的情形． 由图1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣ ﹣1= ，即OH≠MO， 所以此种情形不存在； ③四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示： 过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN∥y轴，RN=EF=FT=1， HR=TN． 设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x； ∵FN∥y轴，∴ ，即 ，解得DN= （1+x）． ∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣ （1+x）= ﹣ x． 若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1， 在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2， 即：（ ﹣ x）2+x2=12， 解得x= ， ∴FN=1+x= ，DN= （1+x）= ． 在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF= = =3． 由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度， ∴t=3． 综上所述，当t= s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第13页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 （3）当t= s或t= s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形． 简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考） 由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK∥AA′，且GK=AA′=2． ①当直角梯形位于△OAD内部时，如图3所示： 过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3． 由SG∥x轴，得 ，求得AS= ，∴OS=OA﹣AS= ， ∴FN=FT+TN=FT+OS= ，易知DN= FN= ， 在Rt△FND中，由勾股定理求得DF= ； ②当直角梯形位于△OAD外部时，如图4所示： 设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS= ，OS=OA+AS= ． 过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS= ． 在Rt△FGT中，FT=1，则TG= ，FG= ． 由TG∥x轴，∴ ，解得DF= ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第14页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t= s或t= s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形． 11.【答案与解析】 解：（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上. （2）成立． 证明：连结DE，DF． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE． 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE， ∴△DMF≌△DNE． ∴MF=NE． （3）画出图形（连出线段NE）， MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第15页 共16页让更多的孩子得到更好的教育 N C D E A F B M 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第16页 共16页