中考冲刺：代几综合问题--巩固练习（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_66代几综合问题（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：代几综合问题—巩固训练（基础） 撰稿：李爱国 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 1.如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF 从如图所示的位置出发，沿 直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF 与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间 （t）变化的图象大致是（ ） s s s s O t O t O t O t A B C D ． ． ． ． 2.如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B 不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻 画y与x的函数关系的图象是（ ） 二、填空题 3. 将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ 的图象如图所示，P是抛物线y 对称轴上的一个 1 ２ 2 动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y 交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角 2 顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t的值，则t＝ ． 9 4.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y= 的图象在第一象限相交 x 于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系 式____________________. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 三、解答题 5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个 点……依次类推. （1）试写出第n层所对应的点数； （2）试写出n层六边形点阵的总点数； （3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？ 6.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点 P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另 一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说 明理由． 7.阅读理解：对于任意正实数a、b，∵ ( a  b)2 0, a2 abb 0,ab2 ab, 只有当ab时，等号成立。 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，若a•b为定值p，则a+b≥2 ，只有当a=b时，a+b有 ab p 最小值2 ． p 根据上述内容，回答下列问题： 1 （1）若m＞0，只有当m=____________时，ｍ＋ 有最小值，最小值为____________； m 12 （2）探究应用：已知A（-3,0）、B（0，-4），点P为双曲线ｙ＝ （ｘ＞０）上的任一点，过点P作PC⊥ x ｘ轴于点C，PD⊥ｙ轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状． 8. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式 为 ，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点 时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）. （1）求出点C的坐标； （2）求S随t变化的函数关系式； （3）当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． y D C Q A P O B x 9.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，2)． 3 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以 1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）． ①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； 5 ②当S= 时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R的坐 4 标． y 2 A B 1 C -1 O 1 2 x -1 10．已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝2x交于点B、C（B在右、C在左）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得BFE CFE，若存在，求出 点F的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒 5个单位长度、每秒2 5个单位长度的 速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴）， 设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y  ax2 bx4经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点 C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点 B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动. （1）求该抛物线的解析式； （2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值； （3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由. 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】Ｂ； 【解析】解：根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积， ②F、A重叠之后，设EF变重叠部分的长度为x，则重叠部分面积为 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 1 1 s= x  xtanEFG  x2  tanEFG， 2 2 ∴是二次函数图象， ③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变， 1 ④F与B重合之后，重叠部分的面积等于S △EFG - x2  tanEFG，符合二次函数图象，直至最后重叠 2 部分的面积为0． 综上所述，只有B选项图形符合． 故选B． 2．【答案】 A ． 【解析】解：连接OP， ∵OC=OP， ∴∠OCP=∠OPC． ∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB， ∴∠OPC=∠DCP． ∴OP∥CD． ∴PO⊥AB． ∵OA=OP=1， ∴AP=y= （0＜x＜1）． 2 故选A． 二、填空题 3.【答案】1或3或5 5 5 5 ； 或 2 2 【解析】解：∵抛物线y=2x2向右平移2个单位， 1 ∴抛物线y 的函数解析式为y=2（x-2）2=2x2-8x+8， 2 ∴抛物线y 的对称轴为直线x=2， 2 ∵直线x=t与直线y=x、抛物线y 交于点A、B， 2 ∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2-8t+8）， ∴AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|， AP=|t-2|， ∵△APB是以点A或B为直角顶点的等腰三角形， ∴|2t2-9t+8|=|t-2|， ∴2t2-9t+8=t-2 ① 2t2-9t+8=-（t-2） ②， 整理①得，t2-5t+5=0， 解得 5 5 5 5 t  ,t  , 1 2 2 2 整理②得，t2-4t+3=0， 解得t=1，t=3， 1 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 综上所述，满足条件的t值为：1或3或5 5 5 5 ． 或 2 2 故答案为：1或3或5 5 5 5 ． 或 2 2 2 4.【答案】y= x+1． 3 【解析】∵S =OB2=9， 正方形OBAC ∴OB=AB=3， ∴点A的坐标为（3，3） ∵点A在一次函数y=kx+1的图象上， 2 ∴3k+1=3，k  ， 3 2 ∴一次函数的解析式为：y= x+1． 3 三、解答题 5.【答案与解析】 解：（1）第n层上的点数为6（n－1）（n≥2）． [66(n1)](n1) （2）n层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝1＋ ＝3n(n－1)＋ 2 1． （3）令3n(n－1)＋1＝169，得n＝8.所以，它一共是有8层． 6.【答案与解析】 解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6， ∴AB=8． ∴BQ=x，PB=8-2x； （2）由题意，得 8-2x=x， ∴x= . ∴当x= 时，△PBQ为等腰三角形； （3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2， 1 1 则 ６８－ ｘ（８－２ｘ）＝２０， 2 2 解得x=x=2． 1 2 假设成立，所以当x=2时，四边形APQC面积的面积等于20cm2． 7.【答案与解析】 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 解：（１）１,２； 12 12 （２）探索应用：设P（ｘ， ），则C（ｘ，0），D（0， ）， x x 12 ∴CA＝ｘ＋３，DB= +4, x 1 1 12 ∴S = CA×DB= (x+3) ×( +4), 四边形ABCD 2 2 x 9 化简得：S=2(x+ )+12， x ∵x>0, 9 >0,∴x+ 9 ≥2 9 =6，只有当x= 9 时，即x=3，等号成立. x x x x x ∴S≥2×6+12=24, ∴S 有最小值是24. 四边形ABCD 此时，P(3，4),C(3，0),D(0，4),AB=BC=CD=DA=5， ∴四边形是菱形. 8.【答案与解析】 14 16 解：（1）把y=4代入y=- x ，得x=1． 3 3 ∴C点的坐标为（1，4）． （2）作CM⊥AB于M，则CM=4，BM=3． ∴BC= ． CM2 BM2  32 42 5 CM 4 ∴sin∠ABC=  ． BC 5 ①0＜t＜4时，作QN⊥OB于N， 4 则QN=BQ•sin∠ABC= t 5 1 1 4 2 8 ∴S= OP  QN  (4t) t  t2  t （0＜t＜4）． 2 2 5 5 5 ②当4＜t≤5时，（如图1）， 连接QO，QP，作QN⊥OB于N． 4 同理可得QN= t， 5 1 1 4 2 8 ∴S= OP  QN  (t4) t  t2  t （4＜t≤5）． 2 2 5 5 5 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 ③当5＜t≤6时，（如图2）， 连接QO，QP． 1 1 S= OP  OD (t4)42t8 （5＜t≤6）． 2 2 （3）①在0＜t＜4时， 8 5 当t  2时， 2 2( ) 5 8 S = ． 最大 5 8  2 8 5 ②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝ t2  t,当t  2时， 5 5 2 2 5 2 8 8 S = 22  2 . 最小值 5 5 5 2 8 8 ∴抛物线S= t2  t的顶点为（2，－ ）． 5 5 5 ∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大． 2 8 ∴当t=5时，S =S = 52  5=2. 最大 最大值 5 5 ③在5＜t≤6时， 在S=2t-8中， ∵k=2＞0， ∴S随t的增大而增大． ∴当t=6时，S =2×6-8=4． 最大 综合以上三种情况，当t=6时，S取得最大值，最大值是4． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 9.【答案与解析】 解：（1）据题意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0）． ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4， ）， ∴ ， ∴ ， ∴y=﹣ x2+ x+2； （2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M． ∵A（0，2）、D（4， ）， ∴直线AD的解析式为：y=﹣ x+2， 当x=1时，y= ， 则M（1， ）； （3）①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，AP=2t， ∵在Rt△PBQ中，∠B=90°， ∴S=PQ2=PB2+BQ2， ∴=（2﹣2t）2+t2， 即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）． ②当S= 时， =5t2﹣8t+4 即20t2﹣32t+11=0， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 解得：t= ，t= ＞1（舍） ∴P（1，2），Q（2， ）． PB=1． 若R点存在，分情况讨论： （i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB， RQ∥PB， 则R的横坐标为3，R的纵坐标为 ，即R（3， ），代入y=﹣ x2+ x+2，左右两边相等， 故这时存在R（3， ）满足题意； （ii）假设R在PB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB， 则R（1， ）代入y=﹣ x2+ x+2，左右两边不相等， 则R不在抛物线上 综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R为顶点的四边形只能是口PQRB． 则R（3， ）． 此时，点R（3， ）在抛物线=- x2+ x+2上． 10.【答案与解析】 解：（1）点A（0，2m﹣7）代入y=﹣x2+2x+m﹣2， m﹣2=2m﹣7， 解得：m=5 故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）如图1，由 ， 得 ， ∴B（ ，2 ），C（﹣ ，﹣2 ） B（ ，2 ），关于抛物线对称轴x=1的对称点为B′（2﹣ ，2 ）， 将B′，C代入y=kx+b，得： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 ， 解得： ， 可得直线B'C的解析式为： ， 由 ，可得 ， 故当F（1，6）使得∠BFE=∠CFE； （3）如图2，当t秒时，P点横坐标为﹣t，则纵坐标为﹣2t，则M（﹣2t，﹣2t）在抛物线上时，可得﹣ （﹣2t） 2﹣4t+3=﹣2t，整理得出：4t2+2t﹣3=0， 解得： ， 当P（﹣t，﹣2t）在抛物线上时，可得﹣t2﹣2t+3=﹣2t，整理得出：t2=3， 解得： ，舍去负值， 所以若△PMQ与抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2有公共点t的取值范围是 ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 11．【答案与解析】 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0），B（4，0）两点， ∴ ，解得 ， ∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4； （2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ， ∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4）， ∴AC=5，BC=4 ，AB=7． ∵BD=BC， ∴AD=AB﹣BD=7﹣4 ， ∵CD垂直平分PQ， ∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP． ∵BD=BC， ∴∠DCB=∠CDB． ∴∠CDQ=∠DCB． ∴DQ∥BC． ∴△ADQ∽△ABC． ∴ = ， ∴ = ， ∴ = ， 解得DP=4 ﹣ ， ∴AP=AD+DP= ． ∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 ； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共13页让更多的孩子得到更好的教育 （3）如图2，设抛物线y=﹣ x2+ x+4的对称轴x= 与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x= 对称，连 接BQ交该对称轴于点M． 则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ， ∵当BQ⊥AC时，BQ最小，此时，∠EBM=∠ACO， ∴tan∠EBM=tan∠ACO= ， ∴ = ， ∴ = ，解ME= ． ∴M（ ， ），即在抛物线y=﹣ x2+ x+4的对称轴上存在一点M（ ， ），使得MQ+MA的值最小． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第13页 共13页