初中几何重难点:三角形五心知识点+经典习题汇总

一、重心

知识点：

概念：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。(中线是连接顶点与对边中点的线段)

性质：

①唯一性：无论是锐角、直角还是钝角三角形，一个三角形有且只有一个重心，且重心始终位于三角形内部。‌‌

②2∶1比例关系：重心将每条中线分成两段，从顶点到重心的距离是中线全长的 2/3，从重心到对边中点的距离是中线全长的 1/3，即重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的 2 倍。‌‌

AG＝⅔AE，GE＝⅓AE，AG＝2GE

③面积性质：重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等；所有中线一起将三角形分成 6 个面积相等的小三角形。‌‌

S△ABG =S△ACG =S△BCG =1/3S△ABC

④中线长定理：AB²+AC²＝2AD²+2BD²

重点题：

1.如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若四边形AEFD的面积为6，则△CBF的面积为____。

2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB于点O，中线AE与CO相交于点F，则OF／AO的值为____

二、垂心

知识点：

概念：垂心是三角形三条高（从顶点向对边作的垂线）的交点。

性质：

①锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外部 。‌‌‌

②垂心到三角形任意一边的距离等于该边的一半。③垂心到三角形顶点的距离等于垂线段的长度。④垂心到三角形任意一边的中点的距离等于该边长度的四分之一。

重点题：

1.如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH=BC，则∠BAC的度数是____。

2.在△ABC中，已知AB=5，CA=7，BC=6，H为垂心，则AH=____。

三、外心

知识点：

概念：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形的三个顶点距离相等。三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心。

性质：①锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心就是斜边的中点。②三角形的外心到三角形顶点的距离相等，且在各边的中垂线上。

③若O为△ABC的外心，当∠A为锐角时，有∠BOC=2∠A当∠A为钝角时，有

∠BOC=360°−2∠A   

重点题：

1.如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA=17°，则∠C的度数为____°

(同弧圆心角=2倍圆周角)

2.已知△ABC的三边a，b，c满足|c-4|+b+a²-10a=4√(b+1)-30，则△ABC的外接圆半径的长为____。

四、内心

概念：三角形的三条内角平分线相交于点I，I叫做三角形的内心。

性质：

①∠BIC=90°+1/2∠A，∠CIA=90°+1/2∠B，∠AIB=90°+1/2∠C

②BC=a，AC=b，AB=c，面积为S，内心到边的距离为r，令p=1/2(a+b+c)，则S=pr，r=2S/(a+b+c)

五、旁心(了解即可)

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。