许兴华——高考数学模拟题中的最后一题T19如何解答?

【第一题解题方法小结】

本题是高三数学的模拟考试中典型的解析几何压轴题，核心在于“设线联立”与“韦达定理”的熟练运用。解题首先通过代入已知点确定椭圆方程。第（2）问证明直线过定点，技巧在于“反客为主”：不直接求动点P的坐标，而是设出目标直线CD的方程，利用P点在两条直线（PA、PB）的交点上这一条件，结合A、B的坐标，推导出关于C、D坐标的约束关系式。随后联立直线与椭圆，利用韦达定理将两根之和与积代入约束式，化简后提取参数n的定值，从而证明定点。第（3）问探索等比数列的存在性，关键在于利用第（2）问得出的定点Q和直线CD方程，将三个三角形的面积表示为坐标的函数。通过等比中项性质建立等式，再次代入韦达定理的结果，利用多项式恒成立的条件化简，最终解出常数t。通法在于“设而不求”，利用代数化简的耐心与技巧，将几何条件转化为代数恒等式。

【第二题解题方法小结】定积分定义与不等式证明

本题属于“高等数学下放”的新定义题型，重点考查类比迁移与数列的极限思想。解题的核心在于深刻理解定积分的定义：用无穷多个小矩形面积之和无限逼近曲边梯形面积。第（1）问证明积分不等式，先利用微积分基本定理求出定积分的精确值（sinα），再通过构造函数[φ(x)=sinx-x]并利用导数判断单调性，证明在给定区间内sinα<α。第（2）问考查定义的双向转化，能将图形面积正确表示为定积分形式，并能写成黎曼和的极限形式，最后通过求原函数计算面积。第（3）问正是问题的难点，需利用第（2）问的结论，结合函数f(x)=1/x在区间[1,2]上的单调递减性质，分别用区间左端点和右端点的函数值作为高来近似表示小矩形的面积。通过比较“左端点求和”（大矩形）、“右端点求和”（小矩形）与“精确积分值”的大小关系，构造出夹逼的数列不等式链，从而证明对数平均的界限。基本技巧就在于灵活运用“以直代曲”的误差分析来解决问题。