文档内容
东三省名校联盟 届高三《最后一卷》联合模拟考试
2025
数 学
参考答案及评分细则
一、选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把
8 5 40
正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
题号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案
B C A A B C D C
二、选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得
3 6 18
分,部分选对的得部分分,有选错的得 分.
6 0
题号
9 10 11
答案
AC ACD ACD
三、填空题:本题共 小题,每小题 分,共 分.
3 5 15
12. 13. 14.
5 24 2
四、解答题:本题共 小题,共 分.解答应写出文字说明、过程证明或验算步骤.
5 77
15. 证明:如图 连接BD 交AC于点O 连接MO. 分
(1) 1, , , ………………………………………………… (1 )
四边形ABCD为菱形
∵ ,
O为线段AC的中点. 分
∴ ……………………………………………………………………………… (2 )
M为线段PD的中点
∵ ,
MO PB. 分
∴ ∥ ……………………………………………………………………………………………… (3 )
PB 平面ACM MO 平面ACM 分
∵ ⊄ , ⊂ ,…………………………………………………………………… (4 )
PB 平面ACM. 分
∴ ∥ ……………………………………………………………………………………… (5 )
图 图
1 2
解:如图 连接CE.
(2) 2,
四边形ABCD为菱形 ABC °
∵ ,∠ =60 ,
ABC为正三角形.
∴ △
PAB为正三角形 E为线段AB的中点
∵ △ , ,
PE AB CE AB.
∴ ⊥ , ⊥
侧面PAB 底面ABCD
∵ ⊥ ,
数学 D 1
{#{QQABbYqo4gAwgAbACR4KUQE+C0qQkIChLcoMRUCfKAwCgIFAFIA=}#}PE BE CE两两垂直. 分
∴ , , ……………………………………………………………………………… (6 )
如图 以E为原点 EB EC EP所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系.
2, , 、 、 、 、
PA PB AB BC PAB ABC °
∵ = = = =2,∠ =∠ =60 ,
EA EB PE EC .
∴ = =1, = = 3
如图 过点D作DF BA交BA的延长线于点F 则在 AFD中 FAD ° AD
2, ⊥ , Rt△ ,∠ =60 , =2,
AF DF .
∴ =1, = 3
( )
E A B C D P M 3 3
∴ (0,0,0), (-1,0,0), (1,0,0), (0, 3,0), (-2, 3,0), (0,0, 3), -1, , ,
2 2
( )
P→B P→C A→C A→M 3 3 . 分
∴ =(1,0,- 3), =(0, 3,- 3), =(1, 3,0), = 0, , ………………………… (7 )
2 2
设m x y z 为平面PBC的法向量
=( 1, 1, 1) ,
{
m P→B x z
则
· = 1- 3 1=0,
分
…………………………………………………………………………… (8 )
m P→C y z
· = 3 1- 3 1=0,
令z 则x y
1=1, 1= 3, 1=1,
m 为平面PBC的一个法向量. 分
∴ =( 3,1,1) ………………………………………………………… (9 )
设n x y z 为平面ACM的法向量
=( 2, 2, 2) ,
ì ïn A→C x y
ï · = 2+ 3 2=0,
则í 分
ï ………………………………………………………………………… (10 )
ïn A→M 3y 3z
î · = 2+ 2=0,
2 2
令y 则x z
2=1, 2=- 3, 2=-1,
n 为平面ACM的一个法向量 分
∴ =(- 3,1,-1) , …………………………………………………… (11 )
m n -3+1+(-1) 3. 分
∴ cos〈 , 〉= =- …………………………………………………………… (12 )
3+1+1· 3+1+1 5
设平面PBC和平面ACM的夹角为θ
,
则 θ 2 m n 4. 分
sin = 1-cos 〈 , 〉 = ……………………………………………………………………… (13 )
5
16.解: 由表得 x 1 5 x x 2 . 分
(1) , = (2+3+4+5+6)= 4,∑i ( i- ) =4+1+0+1+4=10 …………………………… (2 )
5 =1
由s2 1 5 y y 2 得 5 y y 2 . 分
y= ∑i ( i- ) =540, ∑i ( i- ) =2 700 ……………………………………………………… (3 )
5 =1 =1
5 x x y y 5 x x y y
∑i ( i- )( i- ) ∑i ( i- )( i- )
r =1 =1 .
∵ = = =0 98,
∑i 5 ( x i- x ) 2 ∑i 5 ( y i- y ) 2 10×2 700
=1 =1
5 x x y y . . 分
∴ ∑i ( i- )( i- )= 0 98×10 270≈161 014, ……………………………………………………… (4 )
=1
5 x x y y
b
∑i
=1
( i- )( i- )
161
.
014 . . 分
∴ ^= ∑i 5 ( x i- x ) 2 ≈ 10 ≈16 1 …………………………………………………………… (5 )
=1
回归直线y . x . 过样本中心点 x y 且x
(2)(ⅰ)∵ ^=16 1 +5 6 ( , ), =4,
数学 D 2
{#{QQABbYqo4gAwgAbACR4KUQE+C0qQkIChLcoMRUCfKAwCgIFAFIA=}#}m
y . . 即45+55+70+ +110 解得m . 分
∴ =16 1×4+5 6=70, =70, =70 …………………………………… (7 )
5
这 个月中销量大于 的月份有 个
(ⅱ)∵ 5 60 3 ,
每次抽取到销量大于 的月份的概率为3
∴ 60 ,
5
( )
X B 3 分
∴ ~ 3, , ………………………………………………………………………………………… (8 )
5
( ) ( ) ( ) ( )
0 3 1 2
P X 0 3 3 8 P X 1 3 3 36
∴ ( =0)=C3 1- = , ( =1)=C3 1- = ,
5 5 125 5 5 125
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 0
P X 2 3 3 54 P X 3 3 3 27 分
( =2)=C3 1- = , ( =3)=C3 1- = ,……………………………… (12 )
5 5 125 5 5 125
X的分布列为
∴
X
0 1 2 3
分
…………………………………………………… (13 )
P 8 36 54 27
125 125 125 125
E X 8 36 54 27 9 D X E X2 E X 2 18. 分
∴ ( )= 0× +1× +2× +3× = , ( )= ( )-[ ( )] = …………………… (15 )
125 125 125 125 5 25
17. 解: na S n n n
(1) ∵ 3 n +1-6 n= ( +1)( +2),①
当n 时 n a S n n n
∴ ≥2 ,3( -1) n-6 n -1=( -1) ( +1),②
得na n a n n 分
①-②, n +1-( +1) n= ( +1), ………………………………………………………………… (2 )
a a
两边同时除以n n 得 n +1 n n . 分
( +1), n -n =1( ≥2) ……………………………………………………… (3 )
+1
当n 时 a S a a .
=1 ,3 2-6 1=3 2-6 1=1×2×3=6
a
∵ 1=1,
a 解得a 分
∴ 3 2-6=6, 2=4, ……………………………………………………………………………… (5 )
a a a a
此时 2 1 也满足 n +1 n 分
- =1, n -n =1, …………………………………………………………………… (6 )
2 1 +1
{a } a
数列 n 是以 1 为首项 为公差的等差数列
∴ n =1 ,1 ,
1
a
n n n 即a n2. 分
∴ n =1+( -1)·1= , n= …………………………………………………………………… (8 )
证明:当n 时 1 1 分
(2) =1 ,a = =1, ……………………………………………………………………… (9 )
1 1
当n 时 1 1 1 1 1 分
≥2 ,a
n
=n2 0,∴ =1,
当 x 时 f′ x f x 单调递减
∴ 0< <1 , ( )<0, ( ) ;
当x 时 f′ x f x 单调递增 分
>1 , ( )>0, ( ) , ………………………………………………………………… (3 )
f x 的极小值点为x 极小值为f 2 . 分
∴ ( ) =1, (1)= 1 -2ln 1=1 …………………………………………… (4 )
解:
f x
x2
x x
(2) ∵ ( )= a -2ln , ∈(0,+∞),
x
f′ x 2 2.
∴ ( )= a -x
当a 时 f′ x 恒成立 f x 在 上单调递减 分
<0 , ( )<0 ,∴ ( ) (0,+∞) ; ……………………………………… (6 )
x
当a 时 令f′ x 即2 2 解得x a
>0 , ( )= 0, a -x =0, = ,
当x a 时 f′ x f x 单调递减
∴ ∈(0, ) , ( )<0, ( ) ;
当x a 时 f′ x f x 单调递增. 分
∈( ,+∞) , ( )>0, ( ) ……………………………………………………… (9 )
综上所述 当a 时 f x 在 上单调递减
, <0 , ( ) (0,+∞) ;
当a 时 f x 在 a 上单调递减 在 a 上单调递增. 分
>0 , ( ) (0, ) , ( ,+∞) ………………………………… (10 )
证明:方法一:当a 2 时 f x
x2
x x .
(3) =e , ( )=
2
-2ln , ∈(0,+∞)
e
由 知 f x 在 上单调递减 在 上单调递增.
(2) , ( ) (0,e) , (e,+∞)
2
f e
∵ (e)= -2ln e=-1<0,
2
e
x x . 分
∴ 1∈(0,e), 2∈(e,+∞) ………………………………………………………………………… (11 )
2
f (2e) f x
∵ (2e)=
2
-2ln(2e)= 2-2ln 2>0, ( 2)= 0,
e
x . 分
∴ 2∈(e,2e) ………………………………………………………………………………………… (12 )
要证x x 只需证x x .
1+ 2>2e, 1>2e- 2
f x 在 上单调递减 且f x
∵ ( ) (0,e) , ( 1)= 0,
只要证明f x 即可. 分
∴ (2e- 2)>0 ……………………………………………………………………… (13 )
x2
f x 2 x
∵ ( 2)=
2
-2ln 2=0,
e
x2 2 x 分
∴ 2=2e ln 2,………………………………………………………………………………………… (14 )
x 2 2 x x2 2 x 2 x
f x (2e- 2) x 4e -4e 2+ 2 x 4e -4e 2+2e ln 2 x
∴ (2e- 2)=
2
-2ln(2e- 2)=
2
-2ln(2e- 2)=
2
-2ln(2e- 2)= 4-
e e e
x
4 2 x x x .
+2ln 2-2ln(2e- 2), 2∈(e,2e)
e
t
令g t 4 t t t 分
( )= 4- +2ln -2ln(2e- ), ∈(e,2e), ……………………………………………………… (15 )
e
数学 D 4
{#{QQABbYqo4gAwgAbACR4KUQE+C0qQkIChLcoMRUCfKAwCgIFAFIA=}#}t 2
g′ t 4 2 2 4(e- )
∴ ( )= - + t + t= t t >0,
e 2e- e (2e- )
g t 在 上单调递增
∴ ( ) (e,2e) ,
g t g 即f x
∴ ( )> (e)= 0, (2e- 2)>0,
x x . 分
∴ 1+ 2>2e …………………………………………………………………………………………… (17 )
方法二:当a 2 时 f x
x2
x x .
=e , ( )=
2
-2ln , ∈(0,+∞)
e
f x 有两个零点x x x x
∵ ( ) 1, 2( 1< 2),
x2 x2
f x f x 即 1 x 2 x
∴ ( 1)= ( 2),
2
-2ln 1=
2
-2ln 2,
e e
x2 x2
化简得 x x 2- 1 分
2(ln 2-ln 1)=
2
,………………………………………………………………………… (12 )
e
x x x x
两边同时除以 x x 得2(ln 2-ln 1) 2+ 1
( 2- 1), x x =
2
,
2- 1 e
x x
2- 1 2e 2 .
∴ x x =x x
ln 2-ln 1 2+ 1
x
设h x x 2( -1) x 分
( )=ln - x ( >1), ……………………………………………………………………… (14 )
+1
x 2
则h′ x 1 4 ( -1)
( )= x - x 2 =x x 2 >0,
( +1) ( +1)
h x 在 上单调递增
∴ ( ) (1,+∞) ,
h x h
∴ ( )> (1)= 0,
x
x 2( -1)
∴ ln > x ,
+1
( a )
a a 2 b -1
令x 则 分
= b , ln b > a , ………………………………………………………………………… (16 )
b +1
a b a b( a )
化简得 - + a b
a b< >0, >0,b >1 ,
ln -ln 2
x x x x
2- 1 2+ 1.
∴ x x <
ln 2-ln 1 2
x x
2- 1 2e 2
∵ x x =x x ,
ln 2-ln 1 2+ 1
x x
2e 2 2+ 1 解得x x . 分
∴ x x < , 1+ 2>2e ……………………………………………………………………… (17 )
2+ 1 2
方法三:当a 2 时 f x
x2
x x .
=e , ( )=
2
-2ln , ∈(0,+∞)
e
f x 有两个零点x x x x
∵ ( ) 1, 2( 1< 2),
x2 x2
f x f x 即 1 x 2 x
∴ ( 1)= ( 2),
2
-2ln 1=
2
-2ln 2,
e e
数学 D 5
{#{QQABbYqo4gAwgAbACR4KUQE+C0qQkIChLcoMRUCfKAwCgIFAFIA=}#}x2 x2
则 x x 2 1. 分
2ln 2-2ln 1=
2
-
2
…………………………………………………………………………… (12 )
e e
x
令t 2 则x tx
=x , 2= 1,
1
tx 2 x2 2 t
代入上式中 得 tx x ( 1) 1 化简得x 2e ln
, 2ln( 1)-2ln 1= 2 - 2 , 1= t2 ,
e e -1
2 t
x t 2e ln
∴ 2= t2 ,
-1
2 t 2 t 2 t t 2 2 t t 2 t
x x 2e ln t 2e ln t 2e ln ( +1) 2e ln ( +1)2e ln 分
∴ 1+ 2= t2 + t2 =( +1) t2 = t2 = t ,……………… (14 )
-1 -1 -1 -1 -1
t 2 t t
要证x x 只需证( +1)2e ln 2 即证 t 2( -1) .
1+ 2>2e, t >4e , ln - t >0
-1 +1
t
设w t t 2( -1) t 分
( )=ln - t ( >1),………………………………………………………………………… (16 )
+1
t 2
w′ t 1 4 ( -1)
∴ ( )= t - t 2 =t t 2 >0,
( +1) ( +1)
w t 在 上单调递增
∴ ( ) (1,+∞) ,
w t w
∴ ( )> (1)= 0,
t
t 2( +1)
∴ ln - t >0,
-1
x x . 分
∴ 1+ 2>2e …………………………………………………………………………………………… (17 )
19.解: 由题意得 直线l 过点A 设直线l 的斜率为k 显然k存在且不为
(1) , 1 ( 2,0), 1 , 0,
则直线l 的方程为y k x 即kx y k . 分
1 = ( - 2), - - 2 =0 ………………………………………………… (1 )
直线l 与圆O相切于点P
∵ 1 ,
k
|0-0- 2 | 解得k 分
∴ =1, =±1,………………………………………………………………………… (2 )
k2
+1
直线l 的方程为x y 或x y . 分
∴ 1 - - 2=0 + - 2=0 ……………………………………………………… (3 )
由题意得 直线l 和直线l 的斜率均存在且不为 .
(2) , 1 2 0
设直线l 的方程为x ny m 即x ny m n
2 = + , - - =0( ≠0),
则直线l 的方程为x 1y m 即nx y mn . 分
1 =-n + , + - =0 …………………………………………………… (4 )
直线l 与圆O相切
∵ 1 ,
mn
|- | 即n2 1 . 分
∴
n2
+1
=1, =m2
-1
…………………………………………………………………………… (5 )
ìx ny m
ï
ï = + ,
联立í
ï ï
x2
y2
得
(
n2
+2)
y2
+2
mny
+
m2
-2=0, ……………………………………………………… (6
分
)
î + =1,
2
Δ m2n2 n2 m2 n2 m2 8 m2 分
∴ =4 -4( +2)( -2)= 8 -8 +16=m2 -8 +16>0, ………………………………… (7 )
-1
数学 D 6
{#{QQABbYqo4gAwgAbACR4KUQE+C0qQkIChLcoMRUCfKAwCgIFAFIA=}#}即m4 m2 解得3- 5 m2 3+ 5. 分
-3 +1<0, < < ……………………………………………………………… (8 )
2 2
m
∵ >1,
( )
m 1+ 5 即m的取值范围为 1+ 5 . 分
∴ 1< < , 1, ……………………………………………………… (9 )
2 2
设M x y N x y .
(3) ( 1, 1), ( 2, 2)
mn m2
由 得 y y 2 y y -2 分
(2) , 1+ 2=-n2 , 1 2=n2 , ……………………………………………………………… (10 )
+2 +2
∴ | MN |= (1+ n2 )[( y 1+ y 2) 2 -4 y 1 y 2] = (1+ n2 ) é ë ê ê ( -n 2 2 mn) 2 -4 m n2 2 -2 ù û ú ú =n 2 2 2 (1+ n2 )(- m2 + n2 +2) .
+2 +2 +2
分
……………………………………………………………………………………………………… (11 )
m m
圆心O 到直线l 的距离d |- | | | 分
∵ (0,0) 2 = n2 = n2 ,……………………………………………… (12 )
1+ 1+
m m2 ( m2 ) 2
S 1d MN 1 | | 2 2 n2 m2 n2 . 分
∴ △ OMN=
2
·| |=
2
·
1+
n2 ·n2
+2
(1+ )(- + +2)= 2· n2
+2
- n2
+2
…… (13 )
m2 ( ) 2
令t 则S t t2 t 1 1 . 分
=n2 , △ OMN= 2· - = 2· - - + ………………………………………… (14 )
+2 2 4
( )
由 知 n2 1 m 1+ 5
(2) , =m2 , ∈ 1, ,
-1 2
m2 n2
∵ >0, +2>0,
m4 m2
m2 n2 m2 1 -3 +1 分
∴ -( +2)= -m2 -2= m2 <0, ……………………………………………………… (15 )
-1 -1
t 分
∴ 0< <1, ……………………………………………………………………………………………… (16 )
当t 1时 S 2. 分
∴ = ,( △ OMN)max= ……………………………………………………………………… (17 )
2 2
数学 D 7
{#{QQABbYqo4gAwgAbACR4KUQE+C0qQkIChLcoMRUCfKAwCgIFAFIA=}#}
